Massimo Comune Divisore (MCD)

Impara a trovare il massimo comune divisore di due o più numeri usando diversi metodi.

Intermedio25 minLezione
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Definizione

Il massimo comune divisore (MCD) di due o più numeri è il numero più grande che divide tutti questi numeri senza resto.
Per esempio, per i numeri 1212 e 1818:
  • Divisori di 1212: 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12
  • Divisori di 1818: 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18
  • Divisori comuni: 1,2,3,61, 2, 3, 6
  • MCD = 6 (il più grande divisore comune)
In inglese il MCD si chiama GCF (greatest common factor) o GCD (greatest common divisor).

Prova subito

Qual è il MCD di 66 e 99?

Esempi svolti

Trova il MCD di 2424 e 3636.
1

Elenca tutti i divisori di 24

24=1×24=2×12=3×8=4×624 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6 → Divisori: 1,2,3,4,6,8,12,241, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2

Elenca tutti i divisori di 36

36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×636 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 → Divisori: 1,2,3,4,6,9,12,18,361, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3

Cerchia i divisori comuni

Entrambe le liste contengono: 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12 → Divisori comuni trovati
4

Trova il più grande

Il numero più grande in entrambe le liste è 1212 → MCD(24,36)=12\text{MCD}(24, 36) = 12

Errori comuni

Confondere MCD e mcm

Perché è sbagliato: Il MCD riguarda la divisione (quale numero divide ENTRAMBI i numeri?), il mcm la moltiplicazione (quale numero è divisibile per ENTRAMBI i numeri?).

Corretto: MCD di 12 e 18 è 6 (divide entrambi). mcm di 12 e 18 è 36 (entrambi lo dividono).

Dimenticare di prendere la potenza PIÙ BASSA nella scomposizione in fattori primi

Perché è sbagliato: Gli studenti a volte moltiplicano tutti i fattori primi invece di prendere solo quelli comuni con le potenze più basse.

Corretto: Per 24×32^4 \times 3 e 22×3×52^2 \times 3 \times 5, usa 222^2 (non 242^4) e 313^1. MCD = 22×3=122^2 \times 3 = 12.

Fermarsi prima di trovare il MASSIMO divisore comune

Perché è sbagliato: Trovare un divisore comune qualsiasi non significa che sia il massimo.

Corretto: Per 24 e 36, i divisori comuni sono 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il MCD è 12, non un altro come 2 o 6.

Visuale interattivo

Diagramma di Venn - MCD e mcm

Numero A:
Numero B:
121822, 33Solo in AComuneSolo in B

Fattori primi di 12:

223

Fattori primi di 18:

233

MCD

6

2 × 3 = 6

mcm

36

2 × 2 × 3 × 3 = 36

Come funziona:

  • • MCD = prodotto dei fattori primi comuni (centro del diagramma)
  • • mcm = prodotto di tutti i fattori primi (intero diagramma)

Trova il massimo comune divisore usando la scomposizione in fattori primi.

Albero dei fattori

Numero:
Composto
Primo

Inserisci un numero per vedere il suo albero dei fattori e la scomposizione in fattori primi.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Qual è il MCD di 66 e 99?

Perché è importante

Il MCD è utile in molte situazioni della vita quotidiana:
  • Semplificare le frazioni: per ridurre 1218\frac{12}{18} ai minimi termini, dividi per MCD(12, 18) = 6 e ottieni 23\frac{2}{3}
  • Formare gruppi uguali: con 24 piastrelle rosse e 36 blu puoi formare al massimo MCD(24, 36) = 12 gruppi uguali senza avanzi (ogni gruppo riceve 2 piastrelle rosse e 3 blu)
  • Tagliare senza scarti: per tagliare assi di 48 cm e 60 cm in pezzi uguali senza scarti, il pezzo più lungo possibile misura MCD(48, 60) = 12 cm
  • Piastrellare: un pavimento di 120 cm per 90 cm si può coprire esattamente con piastrelle quadrate di lato MCD(120, 90) = 30 cm, le più grandi possibili
Il MCD è la base per lavorare con frazioni ed espressioni algebriche!

Applicazioni nel mondo reale

Semplificare le frazioni

Ridurre le frazioni ai minimi termini richiede di trovare il MCD di numeratore e denominatore.

Esempio:

Per semplificare 4256\frac{42}{56}: MCD(42, 56) = 14, quindi 4256=42÷1456÷14=34\frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4}

1Provaci tu stesso

Devi semplificare la frazione 3045\frac{30}{45}.

Qual è la forma semplificata?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Dividi 30 e 45 per MCD(30, 45). Quale frazione ottieni?

Tagliare materiali senza scarto

Quando tagli assi o tessuto, il MCD aiuta a trovare i pezzi uguali più grandi possibili.

Esempio:

Hai un'asse di 72 cm e una di 90 cm. Per tagliarle in pezzi uguali senza scarti, usa pezzi di MCD(72, 90) = 18 cm.

2Provaci tu stesso

Hai nastri di 40 cm e 56 cm. Vuoi tagliarli in pezzi uguali senza avanzo.

Qual è il pezzo più lungo che puoi tagliare?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova MCD(40, 56):

Organizzare oggetti in gruppi

Il MCD aiuta a distribuire diversi tipi di oggetti in gruppi uguali.

Esempio:

Con 28 mele e 42 arance, puoi fare MCD(28, 42) = 14 cestini identici, ciascuno con 2 mele e 3 arance.

3Provaci tu stesso

Un insegnante ha 36 matite e 48 gomme per fare kit di materiali.

Qual è il numero massimo di kit identici possibili?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova MCD(36, 48):

Punti chiave

  • 1Il MCD è il numero più grande che divide due o più numeri senza resto
  • 2Metodo 1: Elenca tutti i divisori di ogni numero e trova il più grande comune
  • 3Metodo 2: Usa la scomposizione in fattori primi e moltiplica i fattori primi comuni con le loro potenze più basse
  • 4Il MCD si usa per semplificare le frazioni dividendo numeratore e denominatore per esso
  • 5Quando MCD = 1, i numeri si dicono primi tra loro (nessun divisore comune tranne 1)

Domande frequenti

Quando MCD = 1, i numeri si dicono primi tra loro (o coprimi). Non hanno divisori comuni tranne 1. Esempi: MCD(8, 15) = 1, MCD(7, 12) = 1.
Quando MCD = 1, i numeri si dicono primi tra loro (o coprimi). Non hanno divisori comuni tranne 1. Esempi: MCD(8, 15) = 1, MCD(7, 12) = 1.
No, il MCD è sempre minore o uguale al numero più piccolo. Il MCD deve dividere entrambi i numeri, quindi non può superare nessuno dei due.
Il MCD è il numero più grande che divide entrambi i numeri. Il mcm (minimo comune multiplo) è il numero più piccolo divisibile per entrambi i numeri. Per 12 e 18: MCD = 6, mcm = 36.

Glossario

Massimo Comune Divisore (MCD)
Il più grande intero positivo che divide due o più numeri senza resto
Divisore
Un numero che divide un altro numero senza resto
Scomposizione in fattori primi
Scrivere un numero come prodotto di numeri primi
Primi tra loro
Due numeri il cui MCD è 1 (detti anche coprimi)
Divisore comune
Un divisore condiviso da due o più numeri
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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