Risparmio con capitalizzazione continua

Versi 1000 € su un conto che paga il 5% di interesse con capitalizzazione continua. Quanto c'è sul conto dopo 10 anni? Arrotonda al centesimo.

Individuare i valori: $P = 1000$, $r = 0{,}05$, $t = 10$ = Valori individuati

Calcolare l'esponente $rt$: $rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ = $rt = 0{,}5$

Calcolare $e^{0{,}5}$ con la calcolatrice: $2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ = $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Moltiplicare per $P$: $A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ = $A \approx 1648{,}72$

Answer: Dopo 10 anni sul conto ci sono circa **1648,72 €**.

Capitalizzazione continua e annuale a confronto

Investi 2000 € al 6% per 5 anni. Confronta la capitalizzazione una volta all'anno con la capitalizzazione continua. Arrotonda al centesimo.

Capitalizzazione annuale: usare $A = P(1 + r)^t$: $A = 2000 \times 1{,}06^{5} \approx 2000 \times 1{,}338226$ = $A \approx 2676{,}45$

Capitalizzazione continua: calcolare l'esponente: $rt = 0{,}06 \times 5 = 0{,}3$ = $rt = 0{,}3$

Usare $A = Pe^{rt}$: $A = 2000 \times e^{0{,}3} \approx 2000 \times 1{,}349859$ = $A \approx 2699{,}72$

Confrontare i due risultati: $2699{,}72 - 2676{,}45 = 23{,}27$ = La continua dà 23,27 in più

Answer: Con lo stesso tasso e lo stesso tempo, la capitalizzazione continua dà **2699,72 €** e quella annuale **2676,45 €**: la continua rende **23,27 €** in più.

Batteri che crescono in modo continuo

Una coltura parte da 500 batteri e cresce in modo continuo con un tasso del 20% all'ora. Quanti batteri ci sono dopo 10 ore? Arrotonda all'unità.

Scrivere il modello: $N(t) = 500 e^{0{,}2t}$ = $P = 500$, $r = 0{,}2$

Calcolare l'esponente per $t = 10$: $0{,}2 \times 10 = 2$ = Esponente $= 2$

Calcolare $e^{2}$: $2{,}71828^{2} \approx 7{,}38905$ = $e^{2} \approx 7{,}38905$

Moltiplicare e arrotondare: $N(10) = 500 \times 7{,}38905 \approx 3694{,}5$ = $N(10) \approx 3695$

Answer: Dopo 10 ore ci sono circa **3695 batteri**, più di 7 volte la quantità iniziale.

Decadimento radioattivo

Un campione contiene 80 grammi di una sostanza radioattiva che decade in modo continuo con un tasso del 3% all'anno. Quanto ne resta dopo 20 anni? Arrotonda a due cifre decimali.

Scrivere il modello di decrescita: $A(t) = 80 e^{-0{,}03t}$ = Esponente negativo: decrescita

Calcolare l'esponente per $t = 20$: $-0{,}03 \times 20 = -0{,}6$ = Esponente $= -0{,}6$

Calcolare $e^{-0{,}6}$: $2{,}71828^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$ = $e^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$

Moltiplicare per la quantità iniziale: $A(20) = 80 \times 0{,}548812 \approx 43{,}90$ = $A(20) \approx 43{,}90$ g

Answer: Dopo 20 anni restano circa **43,90 grammi**, quindi sono decaduti circa $80 - 43{,}90 = 36{,}10$ grammi.

Trovare il valore iniziale

Quanto devi versare oggi, al 4% con capitalizzazione continua, per avere 5000 € tra 8 anni? Arrotonda al centesimo.

Scrivere l'equazione: $5000 = P e^{0{,}04 \times 8} = P e^{0{,}32}$ = $P$ è l'incognita

Calcolare $e^{0{,}32}$: $2{,}71828^{0{,}32} \approx 1{,}37713$ = $e^{0{,}32} \approx 1{,}37713$

Dividere entrambi i membri per $e^{0{,}32}$: $P = \frac{5000}{e^{0{,}32}}$ = $P = 5000 \div e^{0{,}32}$

Calcolare: $P = 5000 \div 2{,}71828^{0{,}32} \approx 3630{,}75$ = $P \approx 3630{,}75$

Answer: Devi versare oggi circa **3630,75 €**. Verifica: $3630{,}75 \times 1{,}37713 \approx 5000$.

Mistake: Scrivere il tasso in percentuale nell'esponente: $1000 e^{5 \times 10}$

Why: La formula richiede il tasso in forma decimale. $e^{50}$ è un numero enorme (circa $5 \times 10^{21}$), che non ha senso per un conto di risparmio.

Correct: Prima converti: $5\% = 0{,}05$, quindi $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$.

Mistake: Dimenticare il segno meno nella decrescita: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Why: Senza il segno meno l'esponente è positivo e la quantità sale a circa 145,77 grammi, più degli 80 grammi iniziali.

Correct: La decrescita richiede un esponente negativo: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$.

Mistake: Moltiplicare prima di elevare a potenza: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Why: L'esponente riguarda solo $e$, non $P$. Secondo l'ordine delle operazioni, le potenze vengono prima della moltiplicazione.

Correct: Calcola prima $e^{rt}$, poi moltiplica per $P$. Sulla calcolatrice: 1000 × e^(0.05 × 10), con le parentesi attorno all'esponente.

Mistake: Usare $(1 + r)^t$ quando il problema dice capitalizzazione continua

Why: $(1 + r)^t$ è la capitalizzazione una volta per periodo. La capitalizzazione continua dà sempre un po' di più allo stesso tasso.

Correct: Cerca le parole continua o tasso continuo: significano $Pe^{rt}$. Una volta all'anno significa $P(1 + r)^t$.

Banca: risparmio con capitalizzazione continua

Le banche confrontano le offerte con la capitalizzazione più generosa possibile, quella continua. Mostra il tetto di ciò che un tasso può rendere.

Al 5% con capitalizzazione continua, 1 € diventa $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ € in un anno, quindi il tasso annuo effettivo è circa il 5,13%, un po' più del 5%.

Biologia: batteri in laboratorio

I microbiologi descrivono una coltura di batteri con cibo abbondante con $N(t) = N_0 e^{rt}$, dove $r$ è il tasso di crescita continuo all'ora.

Una coltura di 1000 batteri che cresce con un tasso continuo del 30% all'ora ha $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ batteri dopo 2 ore.

Medicina: traccianti radioattivi

Gli ospedali usano sostanze radioattive come lo iodio 131 per diagnosi e terapia. La quantità rimasta segue $A = Pe^{-kt}$, così i medici sanno quanto ne resta ogni giorno.

Lo iodio 131 decade in modo continuo di circa l'8,6% al giorno. Dopo 1 giorno $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$, quindi resta circa il 91,8% del campione.

Q: Perché usiamo $e$ per la crescita continua?

A: Capitalizzare $n$ volte all'anno al tasso $r$ dà $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Quando $n$ diventa sempre più grande, questa espressione si avvicina a $e^{rt}$. Quindi $e$ è ciò che si ottiene quando la crescita avviene in ogni istante.

Q: Quanto di più dà davvero la capitalizzazione continua?

A: Non molto di più, ma sempre di più. Al 5% per un anno, la capitalizzazione annuale moltiplica per $1{,}05$ e quella continua per $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. Su periodi lunghi e con importi grandi la differenza diventa evidente.

Q: $A = Pe^{-kt}$ è la stessa cosa di $A = Pe^{rt}$ con $r$ negativo?

A: Sì. Alcuni libri scrivono la decrescita con un tasso positivo $k$ e un segno meno, altri usano un'unica formula $Pe^{rt}$ con $r$ negativo, per esempio $r = -0{,}03$. Entrambi danno lo stesso risultato.

Q: Come trovo quanto tempo serve per raggiungere un certo importo?

A: Bisogna risolvere $A = Pe^{rt}$ rispetto a $t$, e per questo serve il logaritmo naturale $\ln$. Lo imparerai nelle lezioni sui logaritmi. Per ora puoi stimare $t$ provando dei valori in una tabella.