Quanto di più dà davvero la capitalizzazione continua?

Non molto di più, ma sempre di più. Al 5% per un anno, la capitalizzazione annuale moltiplica per $1{,}05$ e quella continua per $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. Su periodi lunghi e con importi grandi la differenza diventa evidente.

$A = Pe^{-kt}$ è la stessa cosa di $A = Pe^{rt}$ con $r$ negativo?

Sì. Alcuni libri scrivono la decrescita con un tasso positivo $k$ e un segno meno, altri usano un'unica formula $Pe^{rt}$ con $r$ negativo, per esempio $r = -0{,}03$. Entrambi danno lo stesso risultato.

Come trovo quanto tempo serve per raggiungere un certo importo?

Bisogna risolvere $A = Pe^{rt}$ rispetto a $t$, e per questo serve il logaritmo naturale $\ln$. Lo imparerai nelle lezioni sui logaritmi. Per ora puoi stimare $t$ provando dei valori in una tabella.

Risorse per insegnanti

Crescita e decrescita continue

Q: Perché usiamo $e$ per la crescita continua?

Capitalizzare $n$ volte all'anno al tasso $r$ dà $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Quando $n$ diventa sempre più grande, questa espressione si avvicina a $e^{rt}$. Quindi $e$ è ciò che si ottiene quando la crescita avviene in ogni istante.

Usa A = Pe^(rt) e A = Pe^(-kt) per modellizzare la capitalizzazione continua, la crescita dei batteri e il decadimento radioattivo, e confronta con la capitalizzazione annuale.

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Nella lezione sulla base naturale

e

hai visto che capitalizzare sempre più spesso,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, si avvicina a

e \approx 2{,}71828

. Quando una grandezza cresce in modo continuo (in ogni istante, non una volta all'anno), usiamo

e

come base.

Crescita continua:

A = P e^{rt}

Decrescita continua:

A = P e^{-kt}

dove:

$P$ è il valore iniziale (per $t = 0$ )
$r$ è il tasso di crescita continuo e $k$ il tasso di decrescita continuo, entrambi scritti come decimali ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ è il tempo, nella stessa unità del tasso (anni, ore, giorni)
$A$ è la quantità dopo il tempo $t$

Il segno dell'esponente indica la direzione: un esponente positivo significa crescita, un esponente negativo significa decrescita. Puoi anche scrivere la decrescita come

A = Pe^{rt}

con un tasso negativo, per esempio

r = -0{,}03

Nella calcolatrice puoi digitare

e^{x}

direttamente come e^(x), per esempio e^0.5

\approx 1{,}6487

. Su una calcolatrice semplice senza il tasto

e

, digita 2.71828^x al suo posto.

Prova subito

Una sostanza decade in modo continuo con un tasso del 4% all'anno. Quale formula descrive la quantità

A

dopo

t

anni, partendo da

P

Esempi svolti

Versi 1000 € su un conto che paga il 5% di interesse con capitalizzazione continua. Quanto c'è sul conto dopo 10 anni? Arrotonda al centesimo.

Individuare i valori

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Valori individuati

Calcolare l'esponente $rt$

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

Calcolare $e^{0{,}5}$ con la calcolatrice

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Moltiplicare per $P$

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Risposta: Dopo 10 anni sul conto ci sono circa 1648,72 €.

Errori comuni

Scrivere il tasso in percentuale nell'esponente: $1000 e^{5 \times 10}$

Perché è sbagliato: La formula richiede il tasso in forma decimale. $e^{50}$ è un numero enorme (circa $5 \times 10^{21}$ ), che non ha senso per un conto di risparmio.

Corretto: Prima converti: $5\% = 0{,}05$ , quindi $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Dimenticare il segno meno nella decrescita: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Perché è sbagliato: Senza il segno meno l'esponente è positivo e la quantità sale a circa 145,77 grammi, più degli 80 grammi iniziali.

Corretto: La decrescita richiede un esponente negativo: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Moltiplicare prima di elevare a potenza: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Perché è sbagliato: L'esponente riguarda solo $e$ , non $P$ . Secondo l'ordine delle operazioni, le potenze vengono prima della moltiplicazione.

Corretto: Calcola prima $e^{rt}$ , poi moltiplica per $P$ . Sulla calcolatrice: 1000 × e^(0.05 × 10), con le parentesi attorno all'esponente.

Usare $(1 + r)^t$ quando il problema dice capitalizzazione continua

Perché è sbagliato: $(1 + r)^t$ è la capitalizzazione una volta per periodo. La capitalizzazione continua dà sempre un po' di più allo stesso tasso.

Corretto: Cerca le parole continua o tasso continuo: significano $Pe^{rt}$ . Una volta all'anno significa $P(1 + r)^t$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

P = 1000r = 0,05

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Asintoto

Tabella dei valori

t	0	5	10	15	20
A = P·e^(rt)	1000	1284,03	1648,72	2117	2718,28
A = P(1 + r)^t	1000	1276,28	1628,89	2078,93	2653,3

Calcolatore di interessi

Capitale (1000,00 €)

Tasso di interesse (5%)

Periodo (10 anni)

Capitalizzazione

Formula

Interesse composto:A = Pe^(rt)A = 1000 · e^(0,05 · 10) = 1648,72 €

Interesse composto

Interessi guadagnati:648,72 €

Importo totale:1648,72 €

Stessa somma, capitalizzazione diversa

Capitalizzazione	n	Importo totale	Interessi guadagnati
Annuale	1	1628,89 €	628,89 €
Mensile	12	1647,01 €	647,01 €
Giornaliero	365	1648,66 €	648,66 €
Continua	∞	1648,72 €	648,72 €

Crescita nel tempo

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Una sostanza decade in modo continuo con un tasso del 4% all'anno. Quale formula descrive la quantità $A$ dopo $t$ anni, partendo da $P$ ?

Esercizi pratici: Crescita e decrescita continue

1. Una sostanza decade in modo continuo con un tasso del 4% all'anno. Quale formula descrive la quantità A dopo t anni, partendo da P?
2. Nel modello A = 250e^{0{,}07t}, qual è il valore iniziale?
3. Usa A = Pe^{rt} con P = 1000, r = 0{,}04 e t = 5. Usa e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Quanto vale A? Arrotonda a una cifra decimale.
4. Una popolazione segue N = 300e^{0{,}12t}, con t in anni. Qual è il tasso di crescita continuo in percentuale? Scrivi solo il numero, senza il segno %.
5. Investi 1500 € al 3% con capitalizzazione continua per 10 anni. Usa e^{0{,}3} \approx 1{,}3499. Quanto hai alla fine? Arrotonda all'euro.
6. Una coltura di 400 batteri cresce in modo continuo del 25% all'ora. Quanti batteri ci sono dopo 4 ore? Usa e ≈ 2,71828 e arrotonda all'unità.
7. Che cosa descrive il modello N = 50e^{-0{,}3t}?
8. Due conti partono dallo stesso importo, con lo stesso tasso e la stessa durata. Uno capitalizza annualmente, l'altro in modo continuo. Quale finisce con più denaro?
9. 200 grammi di una sostanza radioattiva decadono in modo continuo con un tasso del 5% all'anno. Usa e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065. Quanti grammi restano dopo 10 anni? Arrotonda a una cifra decimale.
10. Quanto devi versare ora, al 5% con capitalizzazione continua, per avere 10000 € tra 10 anni? Usa e^{0{,}5} \approx 1{,}6487 e arrotonda all'euro.
11. Un paziente riceve 60 mg di un farmaco. Il corpo lo elimina in modo continuo con un tasso del 20% all'ora. Usa e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488. Quanti mg sono stati eliminati dopo 3 ore? Arrotonda a una cifra decimale.
12. Investi 3000 € al 4% per 5 anni. Usa 1{,}04^{5} \approx 1{,}2167 ed e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Confronta la capitalizzazione annuale e quella continua. Arrotonda ogni importo all'euro.
13. Quanto devi versare oggi, al 4% con capitalizzazione continua, per avere 6000 € tra 5 anni? Usa la calcolatrice (e ≈ 2,71828) e arrotonda il risultato finale all'euro.
14. Offerta A: 6% con capitalizzazione annuale. Offerta B: 5,85% con capitalizzazione continua. Usa e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602. Quale offerta dà più denaro dopo un anno?
15. 5000 € vengono investiti all'8% per 10 anni. Usa 1{,}08^{10} \approx 2{,}158925 ed e^{0{,}8} \approx 2{,}225541. Quanti euro in più dà la capitalizzazione continua rispetto a quella annuale? Arrotonda all'euro.
16. Vuoi investire 2000 € per 10 anni. La banca A paga il 5% con capitalizzazione annuale, la banca B il 4,9% con capitalizzazione continua. Usa 1{,}05^{10} \approx 1{,}6289 ed e^{0{,}49} \approx 1{,}6323. Arrotonda ogni importo all'euro. Quanti euro in più dà la banca migliore?
17. Un campione di 500 grammi di una sostanza radioattiva decade in modo continuo del 2% all'anno. Usa e⁻¹ ≈ 0,3679. Quanti grammi restano dopo 50 anni? Arrotonda al grammo.
18. Una coltura parte da 1000 batteri e cresce in modo continuo del 30% all'ora. Usa e^{0{,}6} \approx 1{,}8221 ed e^{1{,}2} \approx 3{,}3201. Di quale fattore cresce la coltura dall'ora 2 all'ora 4? Trova prima il numero di batteri dopo 2 ore e dopo 4 ore (all'unità), poi dai il fattore con due cifre decimali.

Perché è importante

Molti fenomeni non aspettano la fine dell'anno per cambiare: cambiano in ogni momento.

Finanza: alcuni conti di risparmio e prestiti capitalizzano gli interessi in modo continuo, e $Pe^{rt}$ è il limite massimo di ciò che può dare qualsiasi capitalizzazione allo stesso tasso
Biologia: i batteri in laboratorio si dividono di continuo, non secondo un orario, quindi la loro crescita si descrive con $e$
Fisica e medicina: gli atomi radioattivi decadono in istanti casuali e un farmaco lascia il sangue gradualmente, ed entrambi seguono $Pe^{-kt}$
Scienze in generale: quasi tutte le formule di crescita o decrescita in chimica, fisica ed economia si scrivono con base $e$

Quando sai leggere

Pe^{rt}

, puoi confrontare offerte bancarie, prevedere risultati di laboratorio e capire come gli scienziati datano oggetti antichi.

Applicazioni nel mondo reale

Banca: risparmio con capitalizzazione continua

Le banche confrontano le offerte con la capitalizzazione più generosa possibile, quella continua. Mostra il tetto di ciò che un tasso può rendere.

Esempio:

Al 5% con capitalizzazione continua, 1 € diventa $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ € in un anno, quindi il tasso annuo effettivo è circa il 5,13%, un po' più del 5%.

1Provaci tu stesso

Versi 4000 € su un conto al 4,5% con capitalizzazione continua e li lasci lì per 4 anni.

Quanto c'è sul conto dopo 4 anni? Arrotonda all'euro.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biologia: batteri in laboratorio

I microbiologi descrivono una coltura di batteri con cibo abbondante con $N(t) = N_0 e^{rt}$, dove $r$ è il tasso di crescita continuo all'ora.

Esempio:

Una coltura di 1000 batteri che cresce con un tasso continuo del 30% all'ora ha $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ batteri dopo 2 ore.

2Provaci tu stesso

Una coltura di laboratorio parte da 2000 batteri e cresce in modo continuo del 40% all'ora.

Quanti batteri ci sono dopo 5 ore? Arrotonda all'unità.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Medicina: traccianti radioattivi

Gli ospedali usano sostanze radioattive come lo iodio 131 per diagnosi e terapia. La quantità rimasta segue $A = Pe^{-kt}$, così i medici sanno quanto ne resta ogni giorno.

Esempio:

Lo iodio 131 decade in modo continuo di circa l'8,6% al giorno. Dopo 1 giorno $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ , quindi resta circa il 91,8% del campione.

3Provaci tu stesso

Un ospedale riceve 100 mg di iodio 131, che decade in modo continuo con un tasso dell'8,6% al giorno.

Quanto ne resta dopo 10 giorni? Arrotonda a una cifra decimale.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Punti chiave

1Crescita continua: $A = Pe^{rt}$ ; decrescita continua: $A = Pe^{-kt}$ , con i tassi scritti come decimali
2Un esponente positivo significa crescita, un esponente negativo significa decrescita
3Nella calcolatrice, digita $e^{x}$ come e^(x) (senza tasto $e$ : 2.71828^x) e metti le parentesi attorno all'esponente
4Con lo stesso tasso e lo stesso tempo, la capitalizzazione continua dà sempre un po' di più di quella annuale
5Per trovare il valore iniziale, dividi: $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Ricavare il tempo $t$ richiede i logaritmi, che arriveranno nelle prossime lezioni

Domande frequenti

Capitalizzare

n

volte all'anno al tasso

r

dà

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Quando

n

diventa sempre più grande, questa espressione si avvicina a

e^{rt}

. Quindi

e

è ciò che si ottiene quando la crescita avviene in ogni istante.

Glossario

Crescita continua: Aumento che avviene in ogni istante, descritto da $A = Pe^{rt}$ con $r > 0$
Decrescita continua: Diminuzione che avviene in ogni istante, descritta da $A = Pe^{-kt}$ con $k > 0$
Capitalizzazione continua: Interessi aggiunti in ogni istante; il limite di una capitalizzazione sempre più frequente
Tasso continuo: Il tasso $r$ o $k$ nell'esponente, scritto come decimale ( $4\% = 0{,}04$ )
Numero di Nepero $e$: La costante $e \approx 2{,}71828$ , base naturale della crescita e della decrescita continue
Valore iniziale: Il valore di partenza $P$ all'istante $t = 0$

Scheda formule

Crescita continua

A = P e^{rt}

$P$ = valore iniziale, $r$ = tasso di crescita continuo (decimale), $t$ = tempo, $A$ = quantità dopo il tempo $t$.

Decrescita continua

A = P e^{-kt}

$k$ = tasso di decrescita continuo (decimale, positivo). Il segno meno fa diminuire la quantità.

Capitalizzazione annuale (per confronto)

A = P(1 + r)^t

Interessi aggiunti una volta all'anno. Dà un po' meno di $Pe^{rt}$ allo stesso tasso.

Valore iniziale

P = \frac{A}{e^{rt}}

Dividi l'importo finale per il fattore di crescita $e^{rt}$.

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