Interesse composto mensile

Versi 5000 € su un conto di risparmio che paga il 6% di interesse annuo, con capitalizzazione mensile. Quanto c'è sul conto dopo 10 anni?

Leggi: annota le grandezze: $P = 5000$ €, $r = 0{,}06$, $n = 12$ (mensile), $t = 10$ anni = Valore iniziale, tasso, periodi all'anno e tempo trovati

Riconosci il fattore mensile: $1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ = Crescita, fattore $1{,}005$ al mese

Scrivi il modello: $A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ = $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Calcola: $1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$, quindi $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ = $A \approx 9096{,}98$

Controlla: La capitalizzazione annuale dà $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$. Quella mensile deve dare un po' di più, ed è così. = Ragionevole, in euro

Answer: Dopo 10 anni sul conto ci sono circa **9096,98 €**.

Deprezzamento di un'auto

Un'auto nuova costa 24000 € e perde il 15% del suo valore ogni anno. Quanto vale dopo 5 anni? Arrotonda al centesimo.

Leggi: annota le grandezze: $a = 24000$ €, tasso $15\% = 0{,}15$ all'anno, $t = 5$ anni = Valore iniziale, tasso e tempo trovati

Riconosci: crescita o decrescita?: Il valore scende, quindi è una decrescita: $b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = Fattore di decadimento $0{,}85$

Scrivi il modello: $V(t) = 24000 \cdot 0{,}85^{t}$, quindi $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^{5}$ = $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^5$

Calcola: $0{,}85^5 \approx 0{,}443705$, quindi $V(5) \approx 10648{,}93$ = $V(5) \approx 10648{,}93$

Controlla: Il valore è minore di 24000 e maggiore di 0. Una perdita lineare di $3600$ all'anno darebbe solo $6000$: con la decrescita esponenziale si perde meno ogni anno, perché il 15% di un valore più piccolo è più piccolo. = Ragionevole, in euro

Answer: Dopo 5 anni l'auto vale circa **10648,93 €**.

Un post diventa virale

Alle 12:00 un video divertente è stato condiviso 40 volte. Il numero di condivisioni triplica ogni 2 ore. Quante condivisioni ci saranno alle 22:00 dello stesso giorno?

Leggi: annota le grandezze: $a = 40$ condivisioni, fattore $3$ ogni $2$ ore, tempo $t = 10$ ore (dalle 12:00 alle 22:00) = Valore iniziale, fattore e tempo trovati

Riconosci il fattore e il periodo: Crescita con $b = 3$, ma ogni 2 ore, quindi l'esponente è $\frac{t}{2}$ = Crescita, $b = 3$ ogni 2 ore

Scrivi il modello: $S(t) = 40 \cdot 3^{t/2}$, quindi $S(10) = 40 \cdot 3^{10/2} = 40 \cdot 3^5$ = $S(10) = 40 \cdot 3^5$

Calcola: $3^5 = 243$, quindi $S(10) = 40 \cdot 243 = 9720$ = $9720$ condivisioni

Controlla: 5 periodi in cui triplica: $40 \to 120 \to 360 \to 1080 \to 3240 \to 9720$. Un numero intero di condivisioni che cresce in fretta: ha senso. = Ragionevole, un numero di condivisioni

Answer: Alle 22:00 il video ha circa **9720 condivisioni**.

Farmaco e tempo di dimezzamento

Un paziente prende 200 mg di un farmaco. Il suo tempo di dimezzamento nel corpo è di 6 ore. Quanto ne resta dopo 18 ore?

Leggi: annota le grandezze: $N_0 = 200$ mg, tempo di dimezzamento $T = 6$ ore, $t = 18$ ore = Valore iniziale, tempo di dimezzamento e tempo trovati

Riconosci: crescita o decrescita?: La quantità si dimezza, quindi è una decrescita con fattore $\frac{1}{2}$ ogni 6 ore = Decrescita, fattore $\frac{1}{2}$

Scrivi il modello: $N(t) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$, quindi $N(18) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $N(18) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Calcola: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, quindi $N(18) = \frac{200}{8} = 25$ = $25$ mg

Controlla: Dimezza tre volte: $200 \to 100 \to 50 \to 25$. Meno della dose, mai negativo, in mg. = Ragionevole, in mg

Answer: Dopo 18 ore restano **25 mg** di farmaco.

Lineare o esponenziale? Leggere una tabella

Un canale ha avuto questi iscritti: settimana 0: 500, settimana 1: 600, settimana 2: 720, settimana 3: 864. L'andamento è lineare o esponenziale? Prevedi il numero alla settimana 5.

Controlla le differenze: $600 - 500 = 100$, $720 - 600 = 120$, $864 - 720 = 144$ = Differenze non costanti: non è lineare

Controlla i rapporti: $\frac{600}{500} = 1{,}2$, $\frac{720}{600} = 1{,}2$, $\frac{864}{720} = 1{,}2$ = Rapporto costante $b = 1{,}2$: esponenziale

Scrivi il modello: $a = 500$ (settimana 0), $b = 1{,}2$: $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^{t}$ = $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$

Calcola la settimana 5: $S(5) = 500 \cdot 1{,}2^5 = 500 \cdot 2{,}48832 = 1244{,}16$ = Circa $1244$ iscritti

Interpreta e controlla: $a = 500$ è il numero iniziale, $b = 1{,}2$ significa una crescita del 20% a settimana. Una stima lineare ($+100$ a settimana) darebbe solo $1000$. = Ragionevole, un numero intero di persone

Answer: L'andamento è **esponenziale** ($S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$, 20% a settimana), e alla settimana 5 il canale ha circa **1244 iscritti**.

Mistake: Usare $r$ e $t$ invece di $\frac{r}{n}$ e $nt$ nell'interesse composto

Why: Con capitalizzazione mensile la banca paga $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ ogni mese, 120 volte in 10 anni. Scrivere $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ o $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ confonde il periodo.

Correct: Tasso per periodo $\frac{r}{n}$, numero di periodi $nt$: $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$.

Mistake: Usare il tasso come fattore, per esempio $b = 0{,}15$ per una perdita del 15%

Why: Una perdita del 15% significa che resta l'85% del valore. $24000 \cdot 0{,}15^5$ è quasi zero, e nessuna auto perde così tanto in 5 anni.

Correct: Decrescita: $b = 1 - r = 0{,}85$. Crescita: $b = 1 + r$. Il fattore è ciò che resta (o ciò che hai) dopo un periodo.

Mistake: Usare $t$ invece di $\frac{t}{T}$ quando il periodo non è 1

Why: "Triplica ogni 2 ore" o "tempo di dimezzamento di 6 ore" significa che il fattore agisce una volta ogni 2 o 6 ore, non ogni ora. $40 \cdot 3^{10}$ è troppo grande.

Correct: Conta prima i periodi: esponente $= \frac{\text{tempo}}{\text{durata di un periodo}}$, per esempio $3^{10/2} = 3^5$.

Mistake: Saltare il controllo del risultato

Why: Un risultato di decrescita più grande del valore iniziale, o uno di crescita più piccolo, segnala sempre un fattore o un esponente sbagliato.

Correct: Passo 5 ogni volta: la crescita finisce sopra $a$, la decrescita tra $0$ e $a$, e l'unità di misura corrisponde alla domanda.

Risparmiare per l'università

Le banche capitalizzano gli interessi ogni anno, ogni trimestre, ogni mese o ogni giorno. La formula $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ti permette di confrontare le offerte prima di scegliere.

1000 € al 4% con capitalizzazione trimestrale per 3 anni: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

Batteri in laboratorio

I microbiologi descrivono una crescita che avviene in ogni istante, non a scatti, con la crescita continua $A = P \cdot e^{rt}$.

Una coltura di 1000 cellule che cresce in modo continuo del 2% all'ora per 10 ore: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ cellule.

La caffeina nel tuo corpo

Medici e farmacisti usano il tempo di dimezzamento per decidere ogni quanto prendere un farmaco. La caffeina ha un tempo di dimezzamento di circa 5 ore in un adulto.

Un caffè da 100 mg alle 8:00 lascia ancora $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg alle 13:00.

Q: Come capisco se un problema è esponenziale e non lineare?

A: Cerca parole come "per cento all'anno", "raddoppia", "triplica", "si dimezza" o "tempo di dimezzamento": il cambiamento è un fattore. Se il testo dice "aumenta di 50 ogni anno", il cambiamento è una quantità fissa, quindi è lineare. In una tabella, controlla i rapporti tra valori consecutivi.

Q: Quando uso $e^{rt}$ invece di $(1 + r)^t$?

A: Usa $e^{rt}$ solo quando il problema dice che la crescita o la decrescita è **continua** (o che la capitalizzazione è continua). Se parla di anni, mesi, trimestri o non dice nulla sulla capitalizzazione, usa $(1 + r)^t$ oppure $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Q: La mia calcolatrice non ha il tasto $e$. Cosa faccio?

A: Usa il valore dato nel problema, come $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, oppure scrivi $2{,}71828$ al posto di $e$. La calcolatrice di questa lezione ha $e$, quindi lì puoi scrivere e^0.4 direttamente. Con 5 cifre decimali di $e$ il tuo risultato si arrotonda allo stesso centesimo o allo stesso intero nei problemi di questa lezione.

Q: Perché il passo 5 è importante se il calcolo è giusto?

A: La maggior parte delle risposte sbagliate nasce dall'impostazione, non dai conti: un fattore $0{,}15$ invece di $0{,}85$, oppure $t$ invece di $\frac{t}{2}$. Chiederti "il risultato dovrebbe essere più grande o più piccolo del valore iniziale?" trova questi errori in pochi secondi.