Quando uso $e^{rt}$ invece di $(1 + r)^t$?

Usa $e^{rt}$ solo quando il problema dice che la crescita o la decrescita è **continua** (o che la capitalizzazione è continua). Se parla di anni, mesi, trimestri o non dice nulla sulla capitalizzazione, usa $(1 + r)^t$ oppure $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

La mia calcolatrice non ha il tasto $e$. Cosa faccio?

Usa il valore dato nel problema, come $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, oppure scrivi $2{,}71828$ al posto di $e$. La calcolatrice di questa lezione ha $e$, quindi lì puoi scrivere e^0.4 direttamente. Con 5 cifre decimali di $e$ il tuo risultato si arrotonda allo stesso centesimo o allo stesso intero nei problemi di questa lezione.

Perché il passo 5 è importante se il calcolo è giusto?

La maggior parte delle risposte sbagliate nasce dall'impostazione, non dai conti: un fattore $0{,}15$ invece di $0{,}85$, oppure $t$ invece di $\frac{t}{2}$. Chiederti "il risultato dovrebbe essere più grande o più piccolo del valore iniziale?" trova questi errori in pochi secondi.

Risorse per insegnanti

Problemi con le funzioni esponenziali

Risolvi problemi reali con le funzioni esponenziali usando un metodo in 5 passi: interesse composto, deprezzamento, diffusione virale, tempo di dimezzamento e crescita continua.

Avanzato35 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un problema esponenziale descrive una grandezza che cambia dello stesso fattore in ogni periodo di tempo di uguale durata. Il tuo compito è trasformare il testo in un modello della forma

y = a \cdot b^{t}

dove

a

è il valore iniziale e

b

è il fattore di crescita (

b > 1

) o il fattore di decadimento (

0 < b < 1

Il metodo in 5 passi funziona per tutti i problemi di questa lezione:

1.Leggi: trova il valore iniziale, il tasso o il fattore, il tempo e le unità di misura.
2.Riconosci: crescita o decrescita? Trova il fattore $b$ (per un tasso $r$ : $b = 1 + r$ oppure $b = 1 - r$ ).
3.Scrivi il modello: scegli la formula giusta e sostituisci i numeri.
4.Calcola: usa la calcolatrice e arrotonda come chiede il problema.
5.Controlla: il risultato è ragionevole (più grande o più piccolo del valore iniziale?) e ha l'unità di misura giusta?

Ripasso delle formule (dalle lezioni precedenti):

Interesse composto, $n$ volte all'anno: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
Crescita o decrescita continua: $A = P \cdot e^{rt}$
Tempo di dimezzamento $T$ : $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Prova subito

Un telefono perde il 15% del suo valore ogni anno. Quale fattore

b

usi nel modello

V(t) = a \cdot b^t

Esempi svolti

Versi 5000 € su un conto di risparmio che paga il 6% di interesse annuo, con capitalizzazione mensile. Quanto c'è sul conto dopo 10 anni?

Leggi: annota le grandezze

$P = 5000$ €, $r = 0{,}06$ , $n = 12$ (mensile), $t = 10$ anni → Valore iniziale, tasso, periodi all'anno e tempo trovati

Riconosci il fattore mensile

$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ → Crescita, fattore $1{,}005$ al mese

Scrivi il modello

$A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ → $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Calcola

$1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$ , quindi $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ → $A \approx 9096{,}98$

Controlla

La capitalizzazione annuale dà $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$ . Quella mensile deve dare un po' di più, ed è così. → Ragionevole, in euro

Risposta: Dopo 10 anni sul conto ci sono circa 9096,98 €.

Errori comuni

Usare $r$ e $t$ invece di $\frac{r}{n}$ e $nt$ nell'interesse composto

Perché è sbagliato: Con capitalizzazione mensile la banca paga $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ ogni mese, 120 volte in 10 anni. Scrivere $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ o $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ confonde il periodo.

Corretto: Tasso per periodo $\frac{r}{n}$ , numero di periodi $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$ .

Usare il tasso come fattore, per esempio $b = 0{,}15$ per una perdita del 15%

Perché è sbagliato: Una perdita del 15% significa che resta l'85% del valore. $24000 \cdot 0{,}15^5$ è quasi zero, e nessuna auto perde così tanto in 5 anni.

Corretto: Decrescita: $b = 1 - r = 0{,}85$ . Crescita: $b = 1 + r$ . Il fattore è ciò che resta (o ciò che hai) dopo un periodo.

Usare $t$ invece di $\frac{t}{T}$ quando il periodo non è 1

Perché è sbagliato: "Triplica ogni 2 ore" o "tempo di dimezzamento di 6 ore" significa che il fattore agisce una volta ogni 2 o 6 ore, non ogni ora. $40 \cdot 3^{10}$ è troppo grande.

Corretto: Conta prima i periodi: esponente $= \frac{\text{tempo}}{\text{durata di un periodo}}$ , per esempio $3^{10/2} = 3^5$ .

Saltare il controllo del risultato

Perché è sbagliato: Un risultato di decrescita più grande del valore iniziale, o uno di crescita più piccolo, segnala sempre un fattore o un esponente sbagliato.

Corretto: Passo 5 ogni volta: la crescita finisce sopra $a$ , la decrescita tra $0$ e $a$ , e l'unità di misura corrisponde alla domanda.

Visuale interattivo

Calcolatore di interessi

Capitale (5000,00 €)

Tasso di interesse (6%)

Periodo (10 anni)

Capitalizzazione

Formula

Interesse composto:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 5000 · (1 + 0,06/12)^(12 · 10) = 9096,98 €

Interesse composto

Interessi guadagnati:4096,98 €

Importo totale:9096,98 €

Stessa somma, capitalizzazione diversa

Capitalizzazione	n	Importo totale	Interessi guadagnati
Annuale	1	8954,24 €	3954,24 €
Mensile	12	9096,98 €	4096,98 €
Giornaliero	365	9110,14 €	4110,14 €
Continua	∞	9110,59 €	4110,59 €

Crescita nel tempo

Esploratore di successioni

Primo termine (a₁ = 200)

Rapporto comune (r = 0,5)

200,

100,

50,

25,

12,5,

6,25

, ...

Formula

a_n = 200 × 0,5^(n-1)

a_1

200

a_5

12,5

a_10

0,391

a_20

0,000381

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Un telefono perde il 15% del suo valore ogni anno. Quale fattore $b$ usi nel modello $V(t) = a \cdot b^t$ ?

Esercizi pratici: Problemi con le funzioni esponenziali

1. Un telefono perde il 15% del suo valore ogni anno. Quale fattore b usi nel modello V(t) = a \cdot b^t?
2. Il numero di pesci in un lago è descritto da P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t, con t in anni. Che cosa ti dice il numero 1{,}04?
3. Ogni elenco mostra i valori di una grandezza per t = 0, 1, 2, 3. Quale elenco segue un modello esponenziale?
4. Investi 2000 € al 6% di interesse annuo con capitalizzazione trimestrale. Quale modello dà l'importo A dopo t anni?
5. Un'auto comprata a 20000 € perde il 10% del suo valore ogni anno. Quattro studenti hanno calcolato il suo valore dopo 4 anni. Quale risultato è corretto?
6. Un video ha 500 visualizzazioni e il numero di visualizzazioni raddoppia ogni giorno. Quante visualizzazioni ha dopo 6 giorni?
7. Una sostanza ha un tempo di dimezzamento di 5 ore. Un campione parte da 80 mg. Quanti mg restano dopo 20 ore?
8. Versi 1000 € all'8% di interesse annuo con capitalizzazione trimestrale. Quanto c'è sul conto dopo 5 anni? Arrotonda al centesimo.
9. Si investono 1500 € al 5% annuo con capitalizzazione continua. Usa e^{0{,}5} \approx 1{,}6487. Quanto vale l'investimento dopo 10 anni? Arrotonda all'euro.
10. Una tabella dà y = 80 per t = 0, y = 120 per t = 1, y = 180 per t = 2 e y = 270 per t = 3. Decidi se è lineare o esponenziale, poi trova il valore esatto di y per t = 5.
11. Un portatile costa 1200 € e perde il 20% del suo valore ogni anno. Quanto vale dopo 3 anni?
12. Lunedì 4 studenti conoscono una nuova sfida di ballo. Ogni giorno il numero di studenti che la conoscono triplica. Quanti la conoscono 4 giorni dopo?
13. Investi 3000 € al 5% di interesse annuo con capitalizzazione semestrale (due volte all'anno). Quanto hai dopo 6 anni? Arrotonda al centesimo.
14. Un materiale radioattivo ha un tempo di dimezzamento di 5 anni. Un campione pesa 640 g. Quanti grammi restano dopo 15 anni?
15. Un paziente riceve 500 mg di un farmaco. La quantità nel sangue decresce in modo continuo con un tasso del 10% all'ora, quindi A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}. Usa e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187. Quanti mg restano dopo 2 ore? Arrotonda al mg.
16. La banca A paga il 5% annuo con capitalizzazione annuale. La banca B paga il 5% annuo con capitalizzazione mensile. Versi 10000 € per 3 anni. Quanto paga in più la banca B? Arrotonda ogni importo al centesimo.
17. Un paese aveva 2000 abitanti. Due anni dopo ne aveva 2880. Supponi una crescita esponenziale P(t) = 2000 \cdot b^t (t in anni). Trova b, il tasso di crescita annuo e la popolazione dopo 4 anni (arrotondata all'unità).
18. Il valore di un'auto è V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t euro, t anni dopo l'acquisto. Interpreta il modello, poi trova dopo quanti anni interi il valore scende per la prima volta sotto i 10000 €.

Perché è importante

I modelli esponenziali sono il linguaggio del denaro, della medicina, della tecnologia e della natura. Saperli impostare da solo ti permette di verificare le affermazioni invece di crederci e basta:

Risparmi e prestiti: la differenza tra capitalizzazione annuale e mensile è denaro vero dopo 10 o 20 anni
Comprare un'auto o un telefono: il deprezzamento ti dice quanto varrà quando lo rivenderai
Salute: il tempo di dimezzamento dice a una dottoressa quanto farmaco resta nel tuo corpo dopo qualche ora
Social media: i post virali si moltiplicano per un fattore in ogni periodo, per questo esplodono così in fretta
Scienze: popolazioni, materiali radioattivi e oggetti che si raffreddano seguono leggi esponenziali

Questa lezione riunisce tutto il capitolo sulle funzioni esponenziali. Il metodo in 5 passi è sempre lo stesso; cambia solo la formula del passo 3.

Applicazioni nel mondo reale

Risparmiare per l'università

Le banche capitalizzano gli interessi ogni anno, ogni trimestre, ogni mese o ogni giorno. La formula $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ti permette di confrontare le offerte prima di scegliere.

Esempio:

1000 € al 4% con capitalizzazione trimestrale per 3 anni: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

1Provaci tu stesso

Versi 4000 € su un conto che paga il 6% di interesse annuo, con capitalizzazione trimestrale, per 2 anni.

Quanto denaro c'è sul conto dopo 2 anni (al centesimo)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ con $P = 4000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$ , $t = 2$ :

Batteri in laboratorio

I microbiologi descrivono una crescita che avviene in ogni istante, non a scatti, con la crescita continua $A = P \cdot e^{rt}$.

Esempio:

Una coltura di 1000 cellule che cresce in modo continuo del 2% all'ora per 10 ore: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ cellule.

2Provaci tu stesso

Una coltura parte da 800 cellule e cresce in modo continuo con un tasso del 3% all'ora. Usa $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ .

Quante cellule ci sono circa dopo 10 ore (arrotondando all'unità)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $A = P \cdot e^{rt}$ con $P = 800$ , $r = 0{,}03$ , $t = 10$ :

La caffeina nel tuo corpo

Medici e farmacisti usano il tempo di dimezzamento per decidere ogni quanto prendere un farmaco. La caffeina ha un tempo di dimezzamento di circa 5 ore in un adulto.

Esempio:

Un caffè da 100 mg alle 8:00 lascia ancora $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg alle 13:00.

3Provaci tu stesso

Una bevanda energetica contiene 160 mg di caffeina. Supponi un tempo di dimezzamento di 5 ore.

Quanta caffeina resta dopo 10 ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ con $N_0 = 160$ , $T = 5$ , $t = 10$ :

Punti chiave

1Ogni problema esponenziale si scrive come $y = a \cdot b^{t}$ : $a$ è il valore iniziale, $b$ il fattore per periodo
2Segui i 5 passi: leggi, riconosci crescita o decrescita e il fattore, scrivi il modello, calcola, controlla
3Un tasso $r$ dà il fattore $b = 1 + r$ per la crescita e $b = 1 - r$ per la decrescita
4Interesse composto: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ; continuo: $A = P \cdot e^{rt}$ ; dimezzamento: $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
5Se il fattore agisce una volta ogni $T$ unità di tempo, l'esponente è $\frac{t}{T}$
6In una tabella, differenze costanti indicano un andamento lineare, rapporti costanti un andamento esponenziale

Domande frequenti

Cerca parole come "per cento all'anno", "raddoppia", "triplica", "si dimezza" o "tempo di dimezzamento": il cambiamento è un fattore. Se il testo dice "aumenta di 50 ogni anno", il cambiamento è una quantità fissa, quindi è lineare. In una tabella, controlla i rapporti tra valori consecutivi.

Glossario

Modello esponenziale: Una formula $y = a \cdot b^{t}$ che descrive una grandezza che cambia dello stesso fattore $b$ in ogni periodo di uguale durata
Fattore di crescita / di decadimento: Il numero $b$ per cui moltiplichi in ogni periodo: $b = 1 + r$ per la crescita, $b = 1 - r$ per la decrescita
Interesse composto: Interesse aggiunto al saldo $n$ volte all'anno, così gli interessi successivi maturano anche sugli interessi precedenti
Deprezzamento: La perdita di valore di un oggetto (auto, telefono, macchinario) nel tempo, spesso una percentuale fissa all'anno
Tempo di dimezzamento: Il tempo $T$ necessario perché una grandezza che decresce si riduca alla metà
Crescita continua: Una crescita che avviene in ogni istante, descritta da $A = P \cdot e^{rt}$

Scheda formule

Modello esponenziale generale

y = a \cdot b^{t}

$a$ = valore iniziale, $b$ = fattore per periodo ($b = 1 + r$ crescita, $b = 1 - r$ decrescita), $t$ = numero di periodi.

Interesse composto

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = capitale iniziale, $r$ = tasso annuo in forma decimale, $n$ = capitalizzazioni all'anno, $t$ = anni.

Crescita o decrescita continua

A = P \cdot e^{rt}

$r > 0$ per la crescita, $r < 0$ per la decrescita, $e \approx 2{,}71828$.

Tempo di dimezzamento

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = quantità iniziale, $T$ = tempo di dimezzamento, $t$ = tempo trascorso (stessa unità di $T$).

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Interesse composto

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