Disegnare una curva di crescita da una tabella

Disegna $y = 3 \cdot 2^x$ per $x$ da $-2$ a $3$. Indica l'intercetta con l'asse y, l'asintoto, il dominio e l'insieme immagine.

Calcola i valori per $x$ negativi: $3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ e $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ = Punti $(-2; 0{,}75)$ e $(-1; 1{,}5)$

Calcola i valori per $x$ da $0$ a $3$: $3 \cdot 2^0 = 3$, $3 \cdot 2^1 = 6$, $3 \cdot 2^2 = 12$, $3 \cdot 2^3 = 24$ = Punti $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$

Segna i punti e uniscili: Ogni passo verso destra raddoppia $y$; ogni passo verso sinistra lo dimezza = Una curva crescente, piatta a sinistra e ripida a destra

Leggi le caratteristiche: $a = 3$ dà l'intercetta con l'asse y; non si aggiunge nulla, quindi $k = 0$ = Intercetta $(0, 3)$, asintoto $y = 0$, dominio tutti i reali, insieme immagine $y > 0$

Answer: Il grafico passa per $(-2; 0{,}75)$, $(-1; 1{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$. Sale da sinistra a destra, taglia l'asse y in $(0, 3)$, si avvicina all'asintoto $y = 0$ a sinistra, ha dominio tutti i reali e insieme immagine $y > 0$.

Una curva decrescente: base tra 0 e 1

Disegna $y = 8 \cdot (0{,}5)^x$ per $x$ da $-2$ a $3$ e confrontalo con il grafico di $y = 8 \cdot 2^x$.

Calcola i valori: $8 \cdot (0{,}5)^{-2} = 8 \cdot 4 = 32$, $8 \cdot (0{,}5)^{-1} = 16$, $8 \cdot (0{,}5)^0 = 8$, $8 \cdot (0{,}5)^1 = 4$, $8 \cdot (0{,}5)^2 = 2$, $8 \cdot (0{,}5)^3 = 1$ = Punti $(-2, 32)$, $(-1, 16)$, $(0, 8)$, $(1, 4)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

Descrivi la forma: Ogni passo verso destra dimezza $y$, quindi la curva scende e si appiattisce verso l'asse x a destra = Curva decrescente, asintoto $y = 0$

Confronta con $y = 8 \cdot 2^x$: $(0{,}5)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$, quindi $8 \cdot (0{,}5)^x = 8 \cdot 2^{-x}$: il valore in $x$ è uguale al valore di $8 \cdot 2^x$ in $-x$ = I due grafici sono simmetrici rispetto all'asse y

Answer: Il grafico scende da $(-2, 32)$, passando per $(0, 8)$, fino a $(3, 1)$ e si avvicina a $y = 0$ a destra. È il simmetrico di $y = 8 \cdot 2^x$ rispetto all'asse y; entrambi hanno l'intercetta $(0, 8)$, l'asintoto $y = 0$ e l'insieme immagine $y > 0$.

Traslare un grafico a destra e verso l'alto

Abbozza $y = 2^{x-1} + 3$. Trova l'asintoto, l'intercetta con l'asse y, il dominio e l'insieme immagine.

Riconosci la trasformazione: Confronta con $y = a \cdot b^{x-h} + k$: $a = 1$, $b = 2$, $h = 1$, $k = 3$ = Traslare $y = 2^x$ di 1 a destra e di 3 verso l'alto

Sposta tre punti di $y = 2^x$: $(0, 1) \to (1, 4)$, $(1, 2) \to (2, 5)$, $(2, 4) \to (3, 7)$: aggiungi 1 a ogni $x$ e 3 a ogni $y$ = Punti $(1, 4)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$

Sposta l'asintoto: L'asintoto $y = 0$ sale di 3 unità; la traslazione orizzontale non lo cambia = Asintoto $y = 3$

Trova l'intercetta con l'asse y: Sostituisci $x = 0$: $2^{0-1} + 3 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5$ = Intercetta $(0; 3{,}5)$

Indica dominio e insieme immagine: $a > 0$, quindi il grafico resta sopra $y = 3$ = Dominio tutti i reali, insieme immagine $y > 3$

Answer: Il grafico è $y = 2^x$ traslato di 1 a destra e di 3 verso l'alto: passa per $(0; 3{,}5)$, $(1, 4)$, $(2, 5)$ e $(3, 7)$, ha asintoto $y = 3$, dominio tutti i reali e insieme immagine $y > 3$.

Un grafico simmetrico sotto il suo asintoto

Costruisci una tabella di valori per $y = -2^x + 4$ con $x$ da $-2$ a $3$. Descrivi il grafico e trova dove taglia l'asse x.

Leggi bene l'espressione: $-2^x$ significa $-(2^x)$: prima calcoli $2^x$, poi cambi il segno. Quindi $a = -1$, $b = 2$, $k = 4$ = Simmetrico di $y = 2^x$ rispetto all'asse x, poi 4 verso l'alto

Calcola i valori: $x = -2$: $-0{,}25 + 4 = 3{,}75$; $x = -1$: $-0{,}5 + 4 = 3{,}5$; $x = 0$: $-1 + 4 = 3$; $x = 1$: $-2 + 4 = 2$; $x = 2$: $-4 + 4 = 0$; $x = 3$: $-8 + 4 = -4$ = Punti $(-2; 3{,}75)$, $(-1; 3{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 2)$, $(2, 0)$, $(3, -4)$

Trova l'asintoto e l'insieme immagine: Molto a sinistra $2^x$ è vicinissimo a 0, quindi $y$ si avvicina a 4 dal basso = Asintoto $y = 4$, insieme immagine $y < 4$

Trova l'intersezione con l'asse x: $-2^x + 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$ = Punto $(2, 0)$

Answer: Il grafico scende da appena sotto $y = 4$ a sinistra, passa per $(0, 3)$ e $(2, 0)$ e precipita fino a $(3, -4)$. Asintoto $y = 4$, dominio tutti i reali, insieme immagine $y < 4$, intersezione con l'asse x $(2, 0)$, intercetta con l'asse y $(0, 3)$.

Trovare l'equazione da due punti

Il grafico di $y = a \cdot b^x$ passa per $(1, 6)$ e $(3, 24)$. Trova $a$ e $b$, poi l'intercetta con l'asse y.

Scrivi un'equazione per ogni punto: $a \cdot b^1 = 6$ e $a \cdot b^3 = 24$ = Due equazioni in $a$ e $b$

Dividi la seconda equazione per la prima: $\frac{a \cdot b^3}{a \cdot b} = \frac{24}{6} \Rightarrow b^2 = 4$ = $b = 2$ (la base deve essere positiva)

Sostituisci $b$ per trovare $a$: $a \cdot 2 = 6 \Rightarrow a = 3$ = $a = 3$

Scrivi l'equazione e verifica: $y = 3 \cdot 2^x$; verifica con $(3, 24)$: $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$ = Intercetta $(0, 3)$

Answer: $y = 3 \cdot 2^x$, quindi $a = 3$, $b = 2$ e l'intercetta con l'asse y è $(0, 3)$. Con i punti $(0, 3)$ e $(1, 6)$ è ancora più veloce: $a$ è il valore di $y$ in $x = 0$, e $b = 6 : 3 = 2$.

Mistake: Lasciare l'asintoto in $y = 0$ dopo una traslazione verticale, per esempio in $y = 2^x + 3$

Why: Aggiungere $k$ sposta ogni punto in alto di $k$, compreso il livello a cui la curva si avvicina. Il grafico di $y = 2^x + 3$ non scende mai sotto 3.

Correct: Per $y = a \cdot b^{x-h} + k$ l'asintoto è $y = k$. Per $y = 2^x + 3$ è $y = 3$ e l'insieme immagine è $y > 3$.

Mistake: Traslare nel verso sbagliato: credere che $y = 2^{x-3}$ sposti il grafico di 3 a sinistra

Why: Con $x - 3$ serve una $x$ più grande per ottenere lo stesso esponente di prima. Il punto $(0, 1)$ di $y = 2^x$ ora si trova in $(3, 1)$.

Correct: $x - h$ trasla di $h$ a destra, $x + h$ di $h$ a sinistra. $y = 2^{x-3}$ va 3 a destra, $y = 2^{x+3}$ va 3 a sinistra.

Mistake: Leggere l'intercetta con l'asse y come $a$ (o $a + k$) quando il grafico è anche traslato in orizzontale

Why: L'intercetta è $(0, a)$ solo per $y = a \cdot b^x$. Dopo una traslazione orizzontale l'esponente in $x = 0$ non è più 0.

Correct: Sostituisci sempre $x = 0$. Per $y = 2^{x-1} + 3$: $2^{-1} + 3 = 3{,}5$, non 1 e non 4.

Mistake: Trattare $-2^x$ come $(-2)^x$

Why: Le potenze si calcolano prima del segno meno, quindi $-2^x = -(2^x)$. La base è 2, non $-2$, e $(-2)^x$ non è nemmeno una funzione esponenziale.

Correct: $-2^x$ è il grafico di $2^x$ ribaltato rispetto all'asse x: in $x = 2$ dà $-4$, mentre $(-2)^2 = 4$.

Leggere dati di laboratorio su un grafico

I biologi rappresentano il numero di cellule in funzione del tempo. Se i punti stanno su una curva esponenziale, due misure bastano per scrivere il modello e prevedere i valori successivi.

Una coltura con 100 cellule all'inizio e 200 cellule un'ora dopo segue $y = 100 \cdot 2^x$, quindi dopo 4 ore la curva è a $100 \cdot 16 = 1600$ cellule.

Visualizzazioni di un video con un livello di base

Alcune grandezze hanno una parte che cresce in modo esponenziale sopra una parte costante. La parte costante è la traslazione verticale $k$, e nel grafico è l'asintoto.

Un video riceve ogni giorno 100 visualizzazioni fisse dalla ricerca, più una parte condivisa che raddoppia ogni giorno: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$. Andando indietro nel tempo la parte condivisa tende a 0, quindi il grafico si avvicina a $V = 100$.

Piegare un foglio di carta

Ogni piega raddoppia lo spessore di un foglio, quindi lo spessore dopo $n$ pieghe è una funzione esponenziale il cui grafico sale sempre più in fretta.

Un foglio spesso 0,1 mm ha spessore $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Dopo 7 pieghe sono $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

Q: Un grafico esponenziale tocca mai il suo asintoto?

A: No. In $y = a \cdot b^x + k$ il termine $a \cdot b^x$ non è mai 0, quindi $y$ non è mai uguale a $k$. La curva si avvicina quanto vuoi, per questo l'insieme immagine è $y > k$ oppure $y < k$ e non contiene mai $k$.

Q: Quanti punti servono per abbozzare il grafico?

A: Ne bastano quattro o cinque: l'intercetta con l'asse y, uno o due punti per lato e l'asintoto. Una tabella con $x$ da $-2$ a $3$ mostra sia il lato piatto sia il lato ripido.

Q: Perché $y = 2^x$ e $y = (0{,}5)^x$ sembrano immagini allo specchio?

A: Perché $(0{,}5)^x = 2^{-x}$. Il valore di $(0{,}5)^x$ in $x = 3$ è uguale al valore di $2^x$ in $x = -3$, quindi ogni punto $(x, y)$ di un grafico ha il suo compagno $(-x, y)$ sull'altro.

Q: Una traslazione orizzontale cambia l'asintoto?

A: No. Traslare a sinistra o a destra fa scorrere la curva lungo l'asintoto, che resta in $y = k$. Solo la traslazione verticale $k$ sposta l'asintoto. Una traslazione orizzontale però cambia l'intercetta con l'asse y.