Quanti punti servono per abbozzare il grafico?

Ne bastano quattro o cinque: l'intercetta con l'asse y, uno o due punti per lato e l'asintoto. Una tabella con $x$ da $-2$ a $3$ mostra sia il lato piatto sia il lato ripido.

Perché $y = 2^x$ e $y = (0{,}5)^x$ sembrano immagini allo specchio?

Perché $(0{,}5)^x = 2^{-x}$. Il valore di $(0{,}5)^x$ in $x = 3$ è uguale al valore di $2^x$ in $x = -3$, quindi ogni punto $(x, y)$ di un grafico ha il suo compagno $(-x, y)$ sull'altro.

Una traslazione orizzontale cambia l'asintoto?

No. Traslare a sinistra o a destra fa scorrere la curva lungo l'asintoto, che resta in $y = k$. Solo la traslazione verticale $k$ sposta l'asintoto. Una traslazione orizzontale però cambia l'intercetta con l'asse y.

Risorse per insegnanti

Grafici delle funzioni esponenziali

Q: Un grafico esponenziale tocca mai il suo asintoto?

No. In $y = a \cdot b^x + k$ il termine $a \cdot b^x$ non è mai 0, quindi $y$ non è mai uguale a $k$. La curva si avvicina quanto vuoi, per questo l'insieme immagine è $y > k$ oppure $y < k$ e non contiene mai $k$.

Disegna y = a·b^x da una tabella di valori, leggi l'intercetta e l'asintoto, e scopri come traslazioni, simmetrie e dilatazioni spostano il grafico.

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Per disegnare una funzione esponenziale

f(x) = a \cdot b^x

(con

b > 0

b \neq 1

), costruisci una tabella di valori, segna i punti e uniscili con una curva continua che si avvicina a un asintoto orizzontale.

Le due forme di base (qui con

a = 1

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(0{,}5)^x$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}125$

Se $b > 1$ , il grafico sale da sinistra a destra: quasi piatto vicino all'asse x a sinistra, sempre più ripido a destra.
Se $0 < b < 1$ , il grafico scende da sinistra a destra: ripido a sinistra, quasi piatto vicino all'asse x a destra.

**Caratteristiche di

y = a \cdot b^x

:**

Intercetta con l'asse y: $(0, a)$ , perché $b^0 = 1$
Asintoto orizzontale: $y = 0$ (l'asse x); la curva si avvicina sempre di più ma non lo tocca mai
Dominio: tutti i numeri reali
Insieme immagine: $y > 0$ se $a > 0$ , e $y < 0$ se $a < 0$

Trasformazioni:

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ trasla il grafico di $h$ unità verso destra (verso sinistra se $h$ è negativo)
$k$ trasla il grafico di $k$ unità verso l'alto (verso il basso se $k$ è negativo) e sposta l'asintoto in $y = k$
$a < 0$ applica una simmetria rispetto all'asse x (prima della traslazione), quindi il grafico sta sotto il suo asintoto
un fattore $a$ con $\lvert a \rvert > 1$ dilata il grafico in verticale, con $0 < \lvert a \rvert < 1$ lo comprime
Insieme immagine del grafico trasformato: $y > k$ se $a > 0$ , e $y < k$ se $a < 0$

Prova subito

Qual è l'asintoto orizzontale di

y = 2^x - 7

? Inserisci il numero

k

y = k

Esempi svolti

Disegna $y = 3 \cdot 2^x$ per $x$ da $-2$ a $3$ . Indica l'intercetta con l'asse y, l'asintoto, il dominio e l'insieme immagine.

Calcola i valori per $x$ negativi

$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ e $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ → Punti $(-2; 0{,}75)$ e $(-1; 1{,}5)$

Calcola i valori per $x$ da $0$ a $3$

$3 \cdot 2^0 = 3$ , $3 \cdot 2^1 = 6$ , $3 \cdot 2^2 = 12$ , $3 \cdot 2^3 = 24$ → Punti $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$

Segna i punti e uniscili

Ogni passo verso destra raddoppia $y$ ; ogni passo verso sinistra lo dimezza → Una curva crescente, piatta a sinistra e ripida a destra

Leggi le caratteristiche

$a = 3$ dà l'intercetta con l'asse y; non si aggiunge nulla, quindi $k = 0$ → Intercetta $(0, 3)$ , asintoto $y = 0$ , dominio tutti i reali, insieme immagine $y > 0$

Risposta: Il grafico passa per $(-2; 0{,}75)$ , $(-1; 1{,}5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$ . Sale da sinistra a destra, taglia l'asse y in $(0, 3)$ , si avvicina all'asintoto $y = 0$ a sinistra, ha dominio tutti i reali e insieme immagine $y > 0$ .

Errori comuni

Lasciare l'asintoto in $y = 0$ dopo una traslazione verticale, per esempio in $y = 2^x + 3$

Perché è sbagliato: Aggiungere $k$ sposta ogni punto in alto di $k$ , compreso il livello a cui la curva si avvicina. Il grafico di $y = 2^x + 3$ non scende mai sotto 3.

Corretto: Per $y = a \cdot b^{x-h} + k$ l'asintoto è $y = k$ . Per $y = 2^x + 3$ è $y = 3$ e l'insieme immagine è $y > 3$ .

Traslare nel verso sbagliato: credere che $y = 2^{x-3}$ sposti il grafico di 3 a sinistra

Perché è sbagliato: Con $x - 3$ serve una $x$ più grande per ottenere lo stesso esponente di prima. Il punto $(0, 1)$ di $y = 2^x$ ora si trova in $(3, 1)$ .

Corretto: $x - h$ trasla di $h$ a destra, $x + h$ di $h$ a sinistra. $y = 2^{x-3}$ va 3 a destra, $y = 2^{x+3}$ va 3 a sinistra.

Leggere l'intercetta con l'asse y come $a$ (o $a + k$ ) quando il grafico è anche traslato in orizzontale

Perché è sbagliato: L'intercetta è $(0, a)$ solo per $y = a \cdot b^x$ . Dopo una traslazione orizzontale l'esponente in $x = 0$ non è più 0.

Corretto: Sostituisci sempre $x = 0$ . Per $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$ , non 1 e non 4.

Trattare $-2^x$ come $(-2)^x$

Perché è sbagliato: Le potenze si calcolano prima del segno meno, quindi $-2^x = -(2^x)$ . La base è 2, non $-2$ , e $(-2)^x$ non è nemmeno una funzione esponenziale.

Corretto: $-2^x$ è il grafico di $2^x$ ribaltato rispetto all'asse x: in $x = 2$ dà $-4$ , mentre $(-2)^2 = 4$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

a = 3b = 2h = 0k = 0

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = a·b^(x − h) + kAsintoto

Tabella dei valori

x	-2	-1	0	1	2	3
y	0,75	1,5	3	6	12	24

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Asintoto

Tabella dei valori

x	-2	-1	0	1	2	3
2^x	0,25	0,5	1	2	4	8
0,5^x	4	2	1	0,5	0,25	0,125

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Qual è l'intercetta con l'asse y del grafico di $y = 5 \cdot 3^x$ ?

Perché è importante

Un grafico mostra a colpo d'occhio quello che una formula nasconde. Quando sai abbozzare un grafico esponenziale, puoi:

Riconoscere dati esponenziali: quando un grafico di follower, cellule o risparmi si incurva verso l'alto sempre più in fretta, una tabella di valori ti dice se viene davvero moltiplicato per lo stesso fattore a ogni passo.
Leggere il valore iniziale e il livello minimo: l'intercetta con l'asse y è il punto di partenza, e l'asintoto $y = k$ è il livello a cui la grandezza si avvicina senza mai superarlo, per esempio una base che c'è sempre.
Controllare un modello in fretta: uno schizzo ti dice subito se una formula sale o scende, dove taglia gli assi e quali valori sono impossibili (fuori dall'insieme immagine).
Costruire un modello dai dati: due punti come $(0, 3)$ e $(1, 6)$ bastano per trovare $a$ e $b$ e prevedere i valori successivi.

Queste abilità tornano più avanti in questo argomento: decrescita, tempo di dimezzamento, crescita continua ed equazioni esponenziali, e poi nei logaritmi.

Applicazioni nel mondo reale

Leggere dati di laboratorio su un grafico

I biologi rappresentano il numero di cellule in funzione del tempo. Se i punti stanno su una curva esponenziale, due misure bastano per scrivere il modello e prevedere i valori successivi.

Esempio:

Una coltura con 100 cellule all'inizio e 200 cellule un'ora dopo segue $y = 100 \cdot 2^x$ , quindi dopo 4 ore la curva è a $100 \cdot 16 = 1600$ cellule.

1Provaci tu stesso

Una coltura cellulare ha 200 cellule a $x = 0$ ore e 600 cellule a $x = 1$ ora, e il grafico è esponenziale: $y = a \cdot b^x$ .

Quante cellule prevede il modello a $x = 3$ ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova $a$ e $b$ , poi calcola $a \cdot b^3$ :

Visualizzazioni di un video con un livello di base

Alcune grandezze hanno una parte che cresce in modo esponenziale sopra una parte costante. La parte costante è la traslazione verticale $k$, e nel grafico è l'asintoto.

Esempio:

Un video riceve ogni giorno 100 visualizzazioni fisse dalla ricerca, più una parte condivisa che raddoppia ogni giorno: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ . Andando indietro nel tempo la parte condivisa tende a 0, quindi il grafico si avvicina a $V = 100$ .

2Provaci tu stesso

Le visualizzazioni giornaliere seguono $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ , dove $t$ è il numero di giorni da quando il video è stato condiviso.

Quante visualizzazioni riceve il video il giorno $t = 4$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $25 \cdot 2^4 + 100$ :

Piegare un foglio di carta

Ogni piega raddoppia lo spessore di un foglio, quindi lo spessore dopo $n$ pieghe è una funzione esponenziale il cui grafico sale sempre più in fretta.

Esempio:

Un foglio spesso 0,1 mm ha spessore $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Dopo 7 pieghe sono $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

3Provaci tu stesso

Un foglio di carta è spesso 0,1 mm, e il suo spessore dopo $n$ pieghe è $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm.

Dopo quante pieghe la pila supera per la prima volta 1 mm?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Costruisci una tabella di $0{,}1 \cdot 2^n$ e cerca il primo valore maggiore di 1:

Punti chiave

1Per disegnare $y = a \cdot b^x$ , costruisci una tabella di valori (per esempio $x$ da $-2$ a $3$ ), segna i punti e uniscili con una curva continua
2Se $b > 1$ il grafico sale da sinistra a destra; se $0 < b < 1$ scende; $y = b^x$ e $y = (1/b)^x$ sono simmetrici rispetto all'asse y
3Per $y = a \cdot b^x$ : intercetta $(0, a)$ , asintoto $y = 0$ , dominio tutti i reali, insieme immagine $y > 0$ se $a > 0$
4In $y = a \cdot b^{x-h} + k$ : $h$ trasla a destra, $k$ verso l'alto e porta l'asintoto in $y = k$ , e $a < 0$ mette il grafico sotto l'asintoto
5Dopo una traslazione, trova l'intercetta con l'asse y sostituendo $x = 0$ ; l'insieme immagine è $y > k$ oppure $y < k$
6Due punti danno l'equazione: $a$ è il valore in $x = 0$ , e il rapporto tra le ordinate dà una potenza di $b$

Domande frequenti

No. In

y = a \cdot b^x + k

il termine

a \cdot b^x

non è mai 0, quindi

y

non è mai uguale a

k

. La curva si avvicina quanto vuoi, per questo l'insieme immagine è

y > k

oppure

y < k

e non contiene mai

k

Glossario

Tabella di valori: Un elenco di valori di $x$ scelti con i corrispondenti valori di $y$ , usato per segnare i punti di un grafico
Asintoto orizzontale: Una retta orizzontale $y = k$ a cui il grafico si avvicina sempre di più senza mai raggiungerla
Intercetta con l'asse y: Il punto in cui il grafico taglia l'asse y, che si trova sostituendo $x = 0$
Dominio: Tutti i valori di $x$ per cui la funzione è definita; per ogni funzione esponenziale sono tutti i numeri reali
Insieme immagine: Tutti i valori di $y$ raggiunti dalla funzione; per $y = a \cdot b^x + k$ è $y > k$ (se $a > 0$ ) oppure $y < k$ (se $a < 0$ )
Trasformazione: Una traslazione, simmetria o dilatazione che sposta o deforma un grafico, descritta da $h$ , $k$ e $a$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$

Scheda formule

Funzione esponenziale

y = a \cdot b^x

Intercetta $(0, a)$, asintoto $y = 0$, crescente se $b > 1$, decrescente se $0 < b < 1$

Forma trasformata

y = a \cdot b^{x-h} + k

Traslazione di $h$ a destra e di $k$ verso l'alto; asintoto $y = k$; immagine $y > k$ se $a > 0$, $y < k$ se $a < 0$

Grafico simmetrico

(1/b)^x = b^{-x}

I grafici di $b^x$ e $(1/b)^x$ sono simmetrici rispetto all'asse y

Base da due punti

b^{x_2 - x_1} = \frac{y_2}{y_1}

Dividi le ordinate di due punti di $y = a \cdot b^x$ per ottenere una potenza di $b$

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