Contare i dimezzamenti

Un campione di laboratorio contiene $80$ mg di una sostanza con tempo di dimezzamento di $4$ ore. Quanto ne resta dopo $12$ ore?

Trova il numero di dimezzamenti: $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ = 3 dimezzamenti

Scrivi la formula: $N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = Formula impostata

Calcola la potenza: $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ = Resta $\frac{1}{8}$ del campione

Moltiplica: $80 \times \frac{1}{8} = 10$ (oppure dimezza tre volte: $80 \to 40 \to 20 \to 10$) = $10$ mg

Answer: Dopo 12 ore restano **10 mg** della sostanza.

Iodio 131 in ospedale

Lo iodio 131 ha un tempo di dimezzamento di $8$ giorni. Un ospedale ne ha $200$ mg. Quanto ne resta dopo $40$ giorni e che percentuale è?

Trova il numero di dimezzamenti: $\frac{40}{8} = 5$ = 5 dimezzamenti

Trova la frazione rimasta: $\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ = $\frac{1}{32}$

Trova la quantità: $200 \times \frac{1}{32} = 6{,}25$ = $6{,}25$ mg

Scrivila come percentuale: $\frac{1}{32} = 0{,}03125 = 3{,}125\,\%$ = $3{,}125\,\%$

Answer: Dopo 40 giorni restano **6,25 mg**, cioè il **3,125 %** della quantità iniziale.

Quanti anni ha l'osso? (carbonio 14)

Un osso contiene $\frac{1}{8}$ del carbonio 14 che aveva quando l'animale era vivo. Il tempo di dimezzamento del carbonio 14 è di $5730$ anni. Quanti anni ha l'osso?

Scrivi la frazione come potenza di $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $n = 3$

Interpreta l'esponente: L'esponente è il numero di dimezzamenti: $\frac{t}{5730} = 3$ = Sono passati 3 dimezzamenti

Trova il tempo: $t = 3 \times 5730 = 17190$ = $17190$ anni

Answer: L'osso ha circa **17190 anni**.

Trovare il tempo di dimezzamento dai dati

Un campione di $96$ g scende a $12$ g in $15$ ore. Qual è il suo tempo di dimezzamento?

Trova quante volte più piccolo è il campione: $\frac{96}{12} = 8$ = Il campione è 8 volte più piccolo

Scrivi 8 come potenza di 2: $8 = 2^3$, quindi $96 \to 48 \to 24 \to 12$ = 3 dimezzamenti

Dividi il tempo per il numero di dimezzamenti: $T = \frac{15}{3} = 5$ = $T = 5$ ore

Verifica: $96 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 96 \times \frac{1}{8} = 12$ ✓ = Corretto

Answer: Il tempo di dimezzamento è di **5 ore**.

Un farmaco tra due dimezzamenti

Un paziente prende $400$ mg di un farmaco con tempo di dimezzamento di $6$ ore. Quanto ne resta nel sangue dopo $9$ ore? Usa $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ e arrotonda a una cifra decimale.

Trova il numero di dimezzamenti: $\frac{9}{6} = 1{,}5$ = 1,5 dimezzamenti (non è un numero intero)

Scrivi la formula: $N(9) = 400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$ = Formula impostata

Usa la potenza data: $400 \times 0{,}3536 = 141{,}44$ = $\approx 141{,}4$ mg

Controlla che il risultato abbia senso: Dopo 6 ore ci sono $200$ mg, dopo 12 ore $100$ mg. $141{,}4$ è compreso tra i due ✓ = Ragionevole

Answer: Dopo 9 ore restano nel sangue circa **141,4 mg** del farmaco.

Mistake: Dimezzare ogni ora (o giorno, o anno) invece che una volta per tempo di dimezzamento

Why: Con un tempo di dimezzamento di 4 ore, alcuni studenti calcolano $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ dopo 12 ore. Ma la quantità si dimezza solo ogni 4 ore, non ogni ora.

Correct: L'esponente è il numero di dimezzamenti $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$, quindi il risultato è $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$.

Mistake: Togliere metà della quantità INIZIALE a ogni dimezzamento

Why: Calcolare $100 \to 50 \to 0$ significa trattare il decadimento come lineare. Ogni dimezzamento toglie metà di quello che resta ADESSO, non metà della quantità iniziale.

Correct: Dimezza ogni volta la quantità attuale: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$. Un campione non arriva mai esattamente a zero.

Mistake: Usare il denominatore come numero di dimezzamenti

Why: Se resta $\frac{1}{8}$, alcuni studenti dicono che sono passati 8 dimezzamenti. Ma dopo 8 dimezzamenti resterebbe solo $\frac{1}{256}$.

Correct: Scrivi il denominatore come potenza di 2: $8 = 2^3$, quindi sono passati 3 dimezzamenti.

Mistake: Confondere la frazione rimasta con la frazione decaduta

Why: Dopo 3 dimezzamenti resta $\frac{1}{8}$, quindi sono decaduti $\frac{7}{8}$. La domanda può chiedere l'una o l'altra.

Correct: Leggi bene la domanda: frazione decaduta $= 1 -$ frazione rimasta. Dopo 3 dimezzamenti: resta il $12{,}5\,\%$, è decaduto l'$87{,}5\,\%$.

Datazione al carbonio 14

Gli esseri viventi assorbono carbonio 14. Dopo la morte, decade con un tempo di dimezzamento di 5730 anni, quindi la frazione rimasta rivela l'età di ossa, legno e carbone.

Un pezzo di legno con $\frac{1}{4}$ del suo carbonio 14 originale ha $2 \times 5730 = 11460$ anni.

Farmaci nel sangue

I medici usano il tempo di dimezzamento di un farmaco per decidere quando dare la dose successiva, così la quantità nel corpo resta sicura ed efficace.

Di una dose di $400$ mg con tempo di dimezzamento di $6$ ore restano $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg dopo $12$ ore.

Terapia con iodio 131

Lo iodio 131 si usa per curare le malattie della tiroide. Il suo tempo di dimezzamento di 8 giorni dice all'ospedale quanto velocemente cala la radiazione e quando i residui si possono conservare o smaltire in sicurezza.

$100$ mg di iodio 131 diventano $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg dopo $16$ giorni.

Q: Una sostanza prima o poi scompare del tutto?

A: Matematicamente no: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ non è mai zero. In pratica, dopo circa 10 dimezzamenti resta meno dello $0{,}1\,\%$ ($\frac{1}{1024}$), e di solito si considera scomparsa.

Q: Perché l'esponente è $\frac{t}{T}$ e non semplicemente $t$?

A: Il fattore $\frac{1}{2}$ si applica una volta per ogni tempo di dimezzamento, non una volta per unità di tempo. Dividendo il tempo $t$ per il tempo di dimezzamento $T$ conti quanti dimezzamenti sono avvenuti.

Q: E se il tempo non è un numero intero di dimezzamenti?

A: La formula funziona lo stesso, per esempio $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Usa una calcolatrice (scrivi 400 × 0.5^1.5) oppure un valore dato come $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Trovare un tempo sconosciuto in questo caso richiede i logaritmi, che vedrai in una lezione successiva.

Q: Che legame c'è tra tempo di dimezzamento e tasso di decrescita?

A: Nella lezione sulla decrescita esponenziale, una quantità viene moltiplicata per $b = 1 - r$ a ogni unità di tempo. Il tempo di dimezzamento usa la stessa idea, ma sceglie l'unità di tempo in modo che il fattore sia esattamente $\frac{1}{2}$, e così il calcolo a mente diventa molto più facile.