Perché l'esponente è $\frac{t}{T}$ e non semplicemente $t$?

Il fattore $\frac{1}{2}$ si applica una volta per ogni tempo di dimezzamento, non una volta per unità di tempo. Dividendo il tempo $t$ per il tempo di dimezzamento $T$ conti quanti dimezzamenti sono avvenuti.

E se il tempo non è un numero intero di dimezzamenti?

La formula funziona lo stesso, per esempio $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Usa una calcolatrice (scrivi 400 × 0.5^1.5) oppure un valore dato come $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Trovare un tempo sconosciuto in questo caso richiede i logaritmi, che vedrai in una lezione successiva.

Che legame c'è tra tempo di dimezzamento e tasso di decrescita?

Nella lezione sulla decrescita esponenziale, una quantità viene moltiplicata per $b = 1 - r$ a ogni unità di tempo. Il tempo di dimezzamento usa la stessa idea, ma sceglie l'unità di tempo in modo che il fattore sia esattamente $\frac{1}{2}$, e così il calcolo a mente diventa molto più facile.

Risorse per insegnanti

Problemi sul tempo di dimezzamento

Q: Una sostanza prima o poi scompare del tutto?

Matematicamente no: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ non è mai zero. In pratica, dopo circa 10 dimezzamenti resta meno dello $0{,}1\,\%$ ($\frac{1}{1024}$), e di solito si considera scomparsa.

Impara a usare il tempo di dimezzamento per trovare quanto resta di una sostanza, quanto tempo è passato e quanto dura un dimezzamento.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Il tempo di dimezzamento

T

di una sostanza è il tempo necessario perché metà della sostanza scompaia (decada, si degradi o lasci il corpo). Dopo ogni tempo di dimezzamento, la quantità viene moltiplicata per

\frac{1}{2}

N_0

è la quantità iniziale, la quantità rimasta dopo un tempo

t

è:

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

dove:

$N_0$ = valore iniziale (per $t = 0$ )
$T$ = tempo di dimezzamento (stessa unità di misura di $t$ )
$\frac{t}{T}$ = il numero di dimezzamenti avvenuti

Dopo

n

dimezzamenti interi, resta

\frac{N_0}{2^n}

Dimezzamenti	0	1	2	3	4	5
Frazione rimasta	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$
Percentuale rimasta	$100\,\%$	$50\,\%$	$25\,\%$	$12{,}5\,\%$	$6{,}25\,\%$	$3{,}125\,\%$

È una decrescita esponenziale con fattore di decadimento

\frac{1}{2}

per ogni dimezzamento: la quantità diventa sempre più piccola, ma non arriva mai esattamente a zero.

Prova subito

Una sostanza ha un tempo di dimezzamento di

10

anni. Quale frazione ne resta dopo

2

dimezzamenti?

Esempi svolti

Un campione di laboratorio contiene $80$ mg di una sostanza con tempo di dimezzamento di $4$ ore. Quanto ne resta dopo $12$ ore?

Trova il numero di dimezzamenti

$\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ → 3 dimezzamenti

Scrivi la formula

$N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ → Formula impostata

Calcola la potenza

$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ → Resta $\frac{1}{8}$ del campione

Moltiplica

$80 \times \frac{1}{8} = 10$ (oppure dimezza tre volte: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ) → $10$ mg

Risposta: Dopo 12 ore restano 10 mg della sostanza.

Errori comuni

Dimezzare ogni ora (o giorno, o anno) invece che una volta per tempo di dimezzamento

Perché è sbagliato: Con un tempo di dimezzamento di 4 ore, alcuni studenti calcolano $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ dopo 12 ore. Ma la quantità si dimezza solo ogni 4 ore, non ogni ora.

Corretto: L'esponente è il numero di dimezzamenti $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ , quindi il risultato è $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$ .

Togliere metà della quantità INIZIALE a ogni dimezzamento

Perché è sbagliato: Calcolare $100 \to 50 \to 0$ significa trattare il decadimento come lineare. Ogni dimezzamento toglie metà di quello che resta ADESSO, non metà della quantità iniziale.

Corretto: Dimezza ogni volta la quantità attuale: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Un campione non arriva mai esattamente a zero.

Usare il denominatore come numero di dimezzamenti

Perché è sbagliato: Se resta $\frac{1}{8}$ , alcuni studenti dicono che sono passati 8 dimezzamenti. Ma dopo 8 dimezzamenti resterebbe solo $\frac{1}{256}$ .

Corretto: Scrivi il denominatore come potenza di 2: $8 = 2^3$ , quindi sono passati 3 dimezzamenti.

Confondere la frazione rimasta con la frazione decaduta

Perché è sbagliato: Dopo 3 dimezzamenti resta $\frac{1}{8}$ , quindi sono decaduti $\frac{7}{8}$ . La domanda può chiedere l'una o l'altra.

Corretto: Leggi bene la domanda: frazione decaduta $= 1 -$ frazione rimasta. Dopo 3 dimezzamenti: resta il $12{,}5\,\%$ , è decaduto l' $87{,}5\,\%$ .

Visuale interattivo

Esploratore di successioni

Primo termine (a₁ = 64)

Rapporto comune (r = 0,5)

64,

32,

16,

, ...

Formula

a_n = 64 × 0,5^(n-1)

a_1

a_5

a_10

0,125

a_20

0,000122

Grafico della funzione

N = 80T = 4

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

N(t) = N₀·(1/2)^(t/T)Asintoto

Tabella dei valori

t	0	4	8	12	16
y	80	40	20	10	5

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Una sostanza ha un tempo di dimezzamento di $10$ anni. Quale frazione ne resta dopo $2$ dimezzamenti?

Perché è importante

Con il tempo di dimezzamento scienziati, medici e ingegneri misurano quanto velocemente qualcosa scompare:

Archeologia: il carbonio 14 ha un tempo di dimezzamento di $5730$ anni, quindi il carbonio rimasto in ossa e legno ne rivela l'età
Medicina: il tempo di dimezzamento (emivita) di un farmaco dice ai medici quando dare la dose successiva
Ospedale: lo iodio 131, usato per curare le malattie della tiroide, ha un tempo di dimezzamento di $8$ giorni, e così il personale sa quando un paziente può tornare a casa in sicurezza
Energia e sicurezza: le scorie nucleari vanno conservate finché non sono passati abbastanza dimezzamenti

La buona notizia: quando il tempo è un numero intero di dimezzamenti, puoi risolvere questi problemi dividendo per due, senza strumenti avanzati.

Applicazioni nel mondo reale

Datazione al carbonio 14

Gli esseri viventi assorbono carbonio 14. Dopo la morte, decade con un tempo di dimezzamento di 5730 anni, quindi la frazione rimasta rivela l'età di ossa, legno e carbone.

Esempio:

Un pezzo di legno con $\frac{1}{4}$ del suo carbonio 14 originale ha $2 \times 5730 = 11460$ anni.

1Provaci tu stesso

Il carbone di un antico focolare contiene $\frac{1}{16}$ del suo carbonio 14 originale. Il tempo di dimezzamento del carbonio 14 è di $5730$ anni.

Quanti anni ha il carbone?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova il numero di dimezzamenti, poi moltiplica per $5730$ :

Farmaci nel sangue

I medici usano il tempo di dimezzamento di un farmaco per decidere quando dare la dose successiva, così la quantità nel corpo resta sicura ed efficace.

Esempio:

Di una dose di $400$ mg con tempo di dimezzamento di $6$ ore restano $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg dopo $12$ ore.

2Provaci tu stesso

Un paziente prende $600$ mg di un farmaco con tempo di dimezzamento di $4$ ore.

Quanti mg restano dopo $16$ ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: $600 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/4}$

Terapia con iodio 131

Lo iodio 131 si usa per curare le malattie della tiroide. Il suo tempo di dimezzamento di 8 giorni dice all'ospedale quanto velocemente cala la radiazione e quando i residui si possono conservare o smaltire in sicurezza.

Esempio:

$100$ mg di iodio 131 diventano $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg dopo $16$ giorni.

3Provaci tu stesso

Un ospedale conserva $160$ mg di iodio 131 (tempo di dimezzamento $8$ giorni).

Quanti mg restano dopo $24$ giorni?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: $160 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Punti chiave

1Il tempo di dimezzamento $T$ è il tempo necessario perché metà di una sostanza scompaia
2La quantità rimasta è $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ , dove $\frac{t}{T}$ è il numero di dimezzamenti
3Dopo $n$ dimezzamenti, la frazione rimasta è $\frac{1}{2^n}$ : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$
4Per trovare il tempo trascorso, scrivi la frazione rimasta come $\frac{1}{2^n}$ e moltiplica $n$ per il tempo di dimezzamento
5Per trovare il tempo di dimezzamento, conta quanti dimezzamenti ci sono nei dati e dividi il tempo per quel numero
6Ogni dimezzamento toglie metà di ciò che resta in quel momento, quindi la quantità non arriva mai esattamente a zero

Domande frequenti

Matematicamente no:

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

non è mai zero. In pratica, dopo circa 10 dimezzamenti resta meno dello

0{,}1\,\%

(

\frac{1}{1024}

), e di solito si considera scomparsa.

Glossario

Tempo di dimezzamento (emivita): Il tempo $T$ necessario perché metà di una sostanza decada o scompaia
Valore iniziale: La quantità $N_0$ all'inizio, quando $t = 0$
Numero di dimezzamenti: Il rapporto $\frac{t}{T}$ : quante volte la quantità è stata dimezzata
Decadimento radioattivo: Il processo in cui atomi instabili si trasformano in altri atomi, perdendo una frazione fissa in ogni intervallo di tempo uguale
Datazione al carbonio 14: Un metodo che trova l'età di un materiale un tempo vivente dalla frazione di carbonio 14 rimasta (tempo di dimezzamento $5730$ anni)

Scheda formule

Formula del tempo di dimezzamento

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = valore iniziale, $T$ = tempo di dimezzamento, $t$ = tempo trascorso (stessa unità di $T$).

Dopo n dimezzamenti

N = \frac{N_0}{2^n}, \quad n = \frac{t}{T}

Dividi per 2 una volta per ogni dimezzamento. Il tempo trascorso è $t = n \cdot T$.

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