Valutare una funzione composta in un punto

Se $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2$, trova $(f \circ g)(3)$.

Capire la notazione: $(f \circ g)(3) = f(g(3))$ = Prima trovare $g(3)$, poi applicare $f$

Valutare la funzione interna: $g(3) = 3^2 = 9$ = $g(3) = 9$

Sostituire nella funzione esterna: $f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1$ = $f(9) = 18 + 1$

Calcolare il risultato finale: $18 + 1 = 19$ = $(f \circ g)(3) = 19$

Answer: $(f \circ g)(3) = 19$

Trovare una formula per la funzione composta

Se $f(x) = x - 4$ e $g(x) = 3x$, trova $(f \circ g)(x)$.

Scrivere la composizione: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ = Sostituire $x$ in $f$ con $g(x)$

Sostituire $g(x)$ in $f$: $f(g(x)) = f(3x)$ = L'input per $f$ è $3x$

Applicare la regola di $f$: $f(3x) = (3x) - 4$ = Sostituire $x$ con $3x$ in $f(x) = x - 4$

Semplificare: $3x - 4$ = $(f \circ g)(x) = 3x - 4$

Answer: $(f \circ g)(x) = 3x - 4$

Confrontare l'ordine di composizione

Se $f(x) = x^2$ e $g(x) = x + 5$, trova sia $(f \circ g)(x)$ che $(g \circ f)(x)$. Sono uguali?

Trovare $(f \circ g)(x)$: $f(g(x)) = f(x + 5) = (x + 5)^2$ = $(f \circ g)(x) = x^2 + 10x + 25$

Trovare $(g \circ f)(x)$: $g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 5$ = $(g \circ f)(x) = x^2 + 5$

Confrontare i risultati: $x^2 + 10x + 25 \neq x^2 + 5$ = Le composizioni NON sono uguali

Verificare con un numero: Per $x = 1$: $(f \circ g)(1) = 36$, $(g \circ f)(1) = 6$ = $36 \neq 6$ conferma che sono diverse

Answer: $(f \circ g)(x) = x^2 + 10x + 25$ e $(g \circ f)(x) = x^2 + 5$. NON sono uguali.

Composizione di tre funzioni

Se $f(x) = x + 1$, $g(x) = 2x$ e $h(x) = x^2$, trova $(f \circ g \circ h)(2)$.

Capire l'ordine: $(f \circ g \circ h)(2) = f(g(h(2)))$ = Iniziare dalla più interna: $h(2)$

Valutare $h(2)$: $h(2) = 2^2 = 4$ = $h(2) = 4$

Valutare $g(4)$: $g(4) = 2(4) = 8$ = $g(h(2)) = 8$

Valutare $f(8)$: $f(8) = 8 + 1 = 9$ = $(f \circ g \circ h)(2) = 9$

Answer: $(f \circ g \circ h)(2) = 9$

Mistake: Confondere $(f \circ g)(x)$ con $f(x) \cdot g(x)$

Why: La notazione con il cerchio $\circ$ significa composizione, non moltiplicazione. $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, che sostituisce $g(x)$ in $f$.

Correct: $(f \circ g)(x)$ significa applicare $g$ prima, poi $f$. La moltiplicazione $f(x) \cdot g(x)$ è un'operazione completamente diversa.

Mistake: Sbagliare l'ordine

Why: In $(f \circ g)(x)$, potresti pensare che $f$ viene prima perché appare per primo.

Correct: Leggi dall'interno verso l'esterno: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ significa che $g$ viene applicato prima, poi $f$.

Mistake: Assumere che $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$

Why: A differenza della moltiplicazione, la composizione generalmente NON è commutativa.

Correct: Verifica sempre entrambi gli ordini. Di solito $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$.

Catene di conversione di unità

Convertire tra unità di misura spesso richiede di comporre più funzioni di conversione.

Per convertire miglia in metri: prima convertire miglia in chilometri con $g(x) = 1,609x$, poi chilometri in metri con $f(x) = 1000x$. Quindi $(f \circ g)(x) = 1609x$ metri.

Programmazione informatica

Le chiamate di funzioni annidate nella programmazione sono funzioni composte.

In Python, `len(str(n))` conta le cifre di un numero. Qui $g(n) = \text{str}(n)$ converte in stringa, e $f(s) = \text{len}(s)$ conta i caratteri.

Q: Come ricordo quale funzione applicare prima?

A: Pensa "dall'interno verso l'esterno". In $f(g(x))$, $g$ è all'interno, quindi viene applicato prima. Poi $f$ viene applicato a quel risultato. La funzione più vicina a $x$ viene prima.

Q: Si possono comporre due funzioni qualsiasi?

A: Il codominio (output) della funzione interna deve essere nel dominio (input ammessi) della funzione esterna. Per esempio, se $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x - 10$, allora $f(g(5))$ non è definito perché $g(5) = -5$ e non possiamo calcolare la radice quadrata di un numero negativo.

Q: C'è una scorciatoia per trovare le funzioni composte?

A: Sì! Sostituisci semplicemente l'intera espressione di $g(x)$ ovunque vedi $x$ in $f(x)$. Poi semplifica il risultato.