Verificare la continuità di un polinomio

La funzione $f(x) = x^2 - 3x + 1$ è continua in $x = 2$? Verifica tutte e tre le condizioni.

Condizione 1: $f(2)$ è definita?: $f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ = $f(2) = -1$

Condizione 2: il limite esiste?: $f$ è un polinomio, quindi il limite si trova per sostituzione diretta: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ = Il limite esiste e vale $-1$

Condizione 3: confrontare limite e valore: $\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ = Tutte e tre le condizioni valgono

Answer: Sì, $f$ è continua in $x = 2$ (anzi, essendo un polinomio, è continua ovunque).

Quando limite e valore non coincidono

Sia $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ per $x \neq 3$ e $g(3) = 5$. La funzione $g$ è continua in $x = 3$?

Condizione 1: $g(3)$ è definita?: La definizione dà direttamente $g(3) = 5$ = Sì, $g(3) = 5$

Condizione 2: calcolare il limite: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ per $x \neq 3$, quindi $\lim_{x \to 3} g(x) = 3 + 3$ = Il limite esiste e vale $6$

Condizione 3: confrontare: $\lim_{x \to 3} g(x) = 6$, ma $g(3) = 5$ = $6 \neq 5$: la condizione 3 non vale

Come si potrebbe rimediare?: Ridefinire il solo valore $g(3) = 6$ = Allora $g$ sarebbe continua in $3$

Answer: No. Il limite esiste ($6$) e $g(3)$ è definita ($5$), ma non sono uguali, quindi $g$ non è continua in $x = 3$. Ponendo $g(3) = 6$ diventerebbe continua. Il secondo grafico qui sotto lo mostra: un cerchietto vuoto in $(3, 6)$ e, più in basso, il punto pieno $g(3) = 5$.

Dove è continua una funzione razionale?

Su quali intervalli è continua $h(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$?

Ricordare la regola: Una funzione razionale è continua ovunque tranne dove il suo denominatore vale $0$ = Cercare gli zeri di $x^2 - 4$

Risolvere denominatore $= 0$: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0$ = $x = 2$ oppure $x = -2$

Scrivere gli intervalli: Togliere $-2$ e $2$ dalla retta reale = $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$

Answer: $h$ è continua su $(-\infty, -2)$, su $(-2, 2)$ e su $(2, \infty)$. È discontinua solo in $x = -2$ e $x = 2$, dove non è definita.

Trovare k perché una funzione a tratti sia continua

Trova $k$ in modo che $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 2 \\ kx - 1, & x > 2 \end{cases}$ sia continua ovunque.

Ogni tratto è un polinomio: Entrambi i tratti sono continui sui loro intervalli, quindi basta controllare il punto di raccordo $x = 2$ = Controllare $x = 2$

Valore e limite sinistro (primo tratto): $f(2) = 2^2 + 1$ e $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1$ = Entrambi valgono $5$

Limite destro (secondo tratto): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = k \cdot 2 - 1$ = $2k - 1$

Far coincidere i due lati: $2k - 1 = 5 \Rightarrow 2k = 6$ = $k = 3$

Verifica: Con $k = 3$: $3 \cdot 2 - 1 = 5$, quindi entrambi i limiti unilaterali valgono $5 = f(2)$ = Continua in $x = 2$

Answer: $k = 3$. Provalo nel grafico interattivo qui sotto: sposta il cursore su $k = 3$ e i due tratti si uniscono nel punto $(2, 5)$.

Teorema dei valori intermedi: dimostrare che esiste uno zero

Dimostra che $x^3 + x - 1 = 0$ ha una soluzione tra $x = 0$ e $x = 1$.

Dare un nome alla funzione e verificare la continuità: $f(x) = x^3 + x - 1$ è un polinomio = $f$ è continua su $[0, 1]$

Calcolare agli estremi: $f(0) = 0 + 0 - 1$ e $f(1) = 1 + 1 - 1$ = $f(0) = -1$, $f(1) = 1$

$0$ è compreso tra i due valori?: $-1 < 0 < 1$ = Sì, il segno cambia

Applicare il teorema: Una funzione continua che va da $-1$ a $1$ deve assumere il valore $0$ da qualche parte nel mezzo = Esiste un $c$ in $(0, 1)$ con $f(c) = 0$

Answer: Per il teorema dei valori intermedi esiste un numero $c$ tra $0$ e $1$ con $c^3 + c - 1 = 0$. Il terzo grafico qui sotto lo mostra: $c \approx 0{,}68$.

Mistake: Controllare solo che $f(a)$ esista e concludere che $f$ è continua

Why: Una funzione può avere un valore in $a$ e comunque fare un salto lì. Per esempio $f(x) = 1$ per $x < 0$ e $f(x) = 2$ per $x \geq 0$ ha $f(0) = 2$, ma il limite sinistro è $1$.

Correct: Controlla sempre tutte e tre le condizioni: $f(a)$ è definita, il limite esiste e il limite è uguale a $f(a)$.

Mistake: Pensare che se il limite esiste, la funzione debba essere continua

Why: Il limite non considera ciò che accade esattamente in $x = a$. Nell'esempio 2 il limite è $6$, ma il punto si trova in $g(3) = 5$.

Correct: Dopo aver trovato il limite, confrontalo con il valore effettivo $f(a)$. Devono essere uguali.

Mistake: Trovare $k$ sostituendo il punto di raccordo in un solo tratto

Why: La continuità nel punto di raccordo riguarda l'incontro dei due tratti: un tratto da solo non dà nessuna equazione per $k$.

Correct: Calcola entrambi i tratti nel punto di raccordo (limite sinistro e limite destro) e uguagliali: nell'esempio 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$.

Mistake: Usare il teorema dei valori intermedi per una funzione che non è continua sull'intervallo

Why: $f(x) = \frac{1}{x}$ ha $f(-1) = -1$ e $f(1) = 1$, ma non vale mai $0$. Il teorema non si applica perché $f$ non è definita in $x = 0$.

Correct: Prima di usare il teorema, verifica che $f$ sia continua su tutto l'intervallo chiuso $[a, b]$.

Tariffe di parcheggio eque

Un parcheggio usa una tariffa per le soste brevi e un'altra per quelle lunghe. Se le formule non coincidono nel punto di passaggio, il prezzo fa un salto, e chi resta un minuto in più paga molto di più o molto di meno.

Una tariffa di $C(t) = 5t$ € fino a 2 ore e $C(t) = 3t + 4$ € dopo dà $C(2) = 10$ € con entrambe le formule, quindi la tariffa non fa salti.

L'altitudine in un'escursione e il teorema dei valori intermedi

La tua altitudine durante un'escursione cambia in modo continuo nel tempo: non puoi teletrasportarti da un'altezza all'altra. Il teorema dei valori intermedi garantisce allora che sei passato per tutte le altezze tra la partenza e l'arrivo.

Se parti da 800 m e raggiungi una vetta a 2000 m, in un certo momento eri esattamente a 1500 m, anche se in quell'istante non hai guardato l'orologio.

Raccordare due tratti di strada

Chi progetta strade e ferrovie descrive il tracciato con formule diverse nei vari tratti. In ogni raccordo le altezze devono coincidere: è la condizione perché una funzione definita a tratti sia continua.

Una rampa di altezza $y = 0{,}5x$ per $x \leq 2$ seguita da $y = -0{,}25x + 1{,}5$ per $x > 2$ (in metri) si raccorda a $y = 1$ m, quindi non c'è nessun gradino.

Q: La funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ è continua?

A: È continua sul suo dominio, cioè in ogni $x \neq 0$. In $x = 0$ non è definita, quindi lì non è continua. Quando si dice che una funzione è continua senza indicare un punto, di solito si intende continua su tutto il suo dominio.

Q: Perché la sostituzione diretta dà il limite per i polinomi?

A: Perché i polinomi sono continui ovunque, ed essere continua significa esattamente $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Quindi il limite è il valore della funzione. Se la sostituzione dà $\frac{0}{0}$, la funzione non è continua in quel punto e bisogna prima semplificare.

Q: Il teorema dei valori intermedi mi dice dove si trova lo zero?

A: No. Garantisce solo che esiste almeno un $c$ in $(a, b)$. Per restringere la ricerca puoi dimezzare l'intervallo più volte e tenere la metà in cui il segno cambia (metodo di bisezione).

Q: Una funzione può essere continua ovunque e avere un punto angoloso?

A: Sì. $f(x) = |x|$ ha un punto angoloso in $x = 0$, ma puoi disegnarla senza staccare la matita, e $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. I punti angolosi contano per la derivata, non per la continuità.