Perché la sostituzione diretta dà il limite per i polinomi?

Perché i polinomi sono continui ovunque, ed essere continua significa esattamente $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Quindi il limite è il valore della funzione. Se la sostituzione dà $\frac{0}{0}$, la funzione non è continua in quel punto e bisogna prima semplificare.

Il teorema dei valori intermedi mi dice dove si trova lo zero?

No. Garantisce solo che esiste almeno un $c$ in $(a, b)$. Per restringere la ricerca puoi dimezzare l'intervallo più volte e tenere la metà in cui il segno cambia (metodo di bisezione).

Una funzione può essere continua ovunque e avere un punto angoloso?

Sì. $f(x) = |x|$ ha un punto angoloso in $x = 0$, ma puoi disegnarla senza staccare la matita, e $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. I punti angolosi contano per la derivata, non per la continuità.

Risorse per insegnanti

Continuità

Q: La funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ è continua?

È continua sul suo dominio, cioè in ogni $x \neq 0$. In $x = 0$ non è definita, quindi lì non è continua. Quando si dice che una funzione è continua senza indicare un punto, di solito si intende continua su tutto il suo dominio.

Impara le tre condizioni della continuità, dove sono continue le funzioni più comuni, come trovare una costante che rende continua una funzione definita a tratti e il teorema dei valori intermedi.

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Una funzione

f

è **continua in

x = a

** se il suo grafico lì non si interrompe: puoi passare per il punto senza staccare la matita. Con il linguaggio dei limiti, devono valere tutte e tre le condizioni:

1. $f(a)$ è definita (il grafico ha un punto in $x = a$ )
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste (il limite sinistro e il limite destro sono uguali)
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (il limite è uguale al valore della funzione)

f \text{ è continua in } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Se anche una sola condizione non vale,

f

ha una discontinuità in

x = a

. I diversi tipi di interruzione (buchi, salti, asintoti verticali) sono studiati nella lezione Tipi di discontinuità.

Continuità su un intervallo:

f

è continua su un intervallo aperto

(a, b)

se è continua in ogni punto dell'intervallo. Su un intervallo chiuso

[a, b]

servono in più

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

agli estremi.

Funzioni continue su tutto il loro dominio:

i polinomi (ovunque)
le funzioni razionali (ovunque tranne dove il denominatore vale $0$ )
le funzioni esponenziali $b^x$ ed $e^x$ (ovunque)
i logaritmi $\log_b x$ e $\ln x$ (per $x > 0$ )
$\sqrt{x}$ (per $x \geq 0$ )

Anche somme, differenze, prodotti, quozienti (dove il denominatore non è

0

) e composizioni di funzioni continue sono continue. È proprio per questo che la sostituzione diretta funziona: per una funzione continua,

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Prova subito

Quale di queste NON è una delle tre condizioni perché

f

sia continua in

x = a

Esempi svolti

La funzione $f(x) = x^2 - 3x + 1$ è continua in $x = 2$ ? Verifica tutte e tre le condizioni.

Condizione 1: $f(2)$ è definita?

$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ → $f(2) = -1$

Condizione 2: il limite esiste?

$f$ è un polinomio, quindi il limite si trova per sostituzione diretta: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ → Il limite esiste e vale $-1$

Condizione 3: confrontare limite e valore

$\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ → Tutte e tre le condizioni valgono

Risposta: Sì, $f$ è continua in $x = 2$ (anzi, essendo un polinomio, è continua ovunque).

Errori comuni

Controllare solo che $f(a)$ esista e concludere che $f$ è continua

Perché è sbagliato: Una funzione può avere un valore in $a$ e comunque fare un salto lì. Per esempio $f(x) = 1$ per $x < 0$ e $f(x) = 2$ per $x \geq 0$ ha $f(0) = 2$ , ma il limite sinistro è $1$ .

Corretto: Controlla sempre tutte e tre le condizioni: $f(a)$ è definita, il limite esiste e il limite è uguale a $f(a)$ .

Pensare che se il limite esiste, la funzione debba essere continua

Perché è sbagliato: Il limite non considera ciò che accade esattamente in $x = a$ . Nell'esempio 2 il limite è $6$ , ma il punto si trova in $g(3) = 5$ .

Corretto: Dopo aver trovato il limite, confrontalo con il valore effettivo $f(a)$ . Devono essere uguali.

Trovare $k$ sostituendo il punto di raccordo in un solo tratto

Perché è sbagliato: La continuità nel punto di raccordo riguarda l'incontro dei due tratti: un tratto da solo non dà nessuna equazione per $k$ .

Corretto: Calcola entrambi i tratti nel punto di raccordo (limite sinistro e limite destro) e uguagliali: nell'esempio 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$ .

Usare il teorema dei valori intermedi per una funzione che non è continua sull'intervallo

Perché è sbagliato: $f(x) = \frac{1}{x}$ ha $f(-1) = -1$ e $f(1) = 1$ , ma non vale mai $0$ . Il teorema non si applica perché $f$ non è definita in $x = 0$ .

Corretto: Prima di usare il teorema, verifica che $f$ sia continua su tutto l'intervallo chiuso $[a, b]$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

k = 1

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

In x = 2: da sinistra f(x) → 5, da destra f(x) → 1. I valori sono diversi, quindi il limite non esiste (salto). f(2) = 5.

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

In x = 3: da sinistra e da destra g(x) → 6, quindi il limite è 6. g(3) = 5.

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

f(x) = x³ + x - 1

Zero (intersezione con l'asse x): (0,68; 0)

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale di queste NON è una delle tre condizioni perché $f$ sia continua in $x = a$ ?

Perché è importante

La continuità è la proprietà su cui si regge quasi tutta l'analisi:

Sostituzione diretta: è permessa solo perché polinomi, esponenziali e logaritmi sono continui. Il limite è semplicemente il valore della funzione.
Ricerca degli zeri: il teorema dei valori intermedi garantisce che una funzione continua che cambia segno deve passare per lo zero. Calcolatrici e computer lo usano per localizzare le soluzioni delle equazioni.
Modellizzazione: temperatura, altitudine, distanza e volume d'acqua in un serbatoio cambiano in modo continuo nel tempo. Prezzi, scaglioni fiscali e tariffe di parcheggio spesso no, e chi li stabilisce deve scegliere le costanti per evitare un salto improvviso.
Ingegneria: due tratti di strada, binario o tubo devono incontrarsi alla stessa altezza. È esattamente la condizione perché una funzione definita a tratti sia continua nel punto di raccordo.

Sapere dove una funzione è continua ti dice dove puoi fidarti del suo grafico, dove puoi sostituire e dove succede qualcosa di particolare (un buco, un salto, un asintoto).

Applicazioni nel mondo reale

Tariffe di parcheggio eque

Un parcheggio usa una tariffa per le soste brevi e un'altra per quelle lunghe. Se le formule non coincidono nel punto di passaggio, il prezzo fa un salto, e chi resta un minuto in più paga molto di più o molto di meno.

Esempio:

Una tariffa di $C(t) = 5t$ € fino a 2 ore e $C(t) = 3t + 4$ € dopo dà $C(2) = 10$ € con entrambe le formule, quindi la tariffa non fa salti.

1Provaci tu stesso

Il parcheggio costa $C(t) = 4t$ € per $0 \leq t \leq 3$ ore e $C(t) = 2t + k$ € per $t > 3$ .

Quale valore di $k$ rende la tariffa continua in $t = 3$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $4 \cdot 3 = 2 \cdot 3 + k$ rispetto a $k$ :

L'altitudine in un'escursione e il teorema dei valori intermedi

La tua altitudine durante un'escursione cambia in modo continuo nel tempo: non puoi teletrasportarti da un'altezza all'altra. Il teorema dei valori intermedi garantisce allora che sei passato per tutte le altezze tra la partenza e l'arrivo.

Esempio:

Se parti da 800 m e raggiungi una vetta a 2000 m, in un certo momento eri esattamente a 1500 m, anche se in quell'istante non hai guardato l'orologio.

2Provaci tu stesso

Un'escursionista è a 800 m alle 8:00 e in vetta, a 2000 m, alle 13:00. L'altitudine è una funzione continua del tempo.

Per quante delle altitudini 500 m, 1200 m, 1900 m e 2100 m l'escursionista passa sicuramente tra le 8:00 e le 13:00, secondo il teorema dei valori intermedi?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Conta i valori compresi tra 800 e 2000:

Raccordare due tratti di strada

Chi progetta strade e ferrovie descrive il tracciato con formule diverse nei vari tratti. In ogni raccordo le altezze devono coincidere: è la condizione perché una funzione definita a tratti sia continua.

Esempio:

Una rampa di altezza $y = 0{,}5x$ per $x \leq 2$ seguita da $y = -0{,}25x + 1{,}5$ per $x > 2$ (in metri) si raccorda a $y = 1$ m, quindi non c'è nessun gradino.

3Provaci tu stesso

Il profilo di una strada (in metri) è $y = 0{,}5x$ per $0 \leq x \leq 4$ e $y = -0{,}25x + b$ per $x > 4$ .

Quale valore di $b$ rende la strada continua in $x = 4$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $0{,}5 \cdot 4 = -0{,}25 \cdot 4 + b$ rispetto a $b$ :

Punti chiave

1 $f$ è continua in $x = a$ quando $f(a)$ è definita, $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste e $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
2Se una delle tre condizioni non vale, $f$ ha una discontinuità in $a$ (i tipi sono trattati nella lezione Tipi di discontinuità)
3Polinomi, esponenziali, $\sin$ e $\cos$ sono continui ovunque; funzioni razionali, logaritmi e radici sono continui sul loro dominio
4Su un intervallo chiuso $[a, b]$ , la continuità agli estremi usa i limiti unilaterali
5Per rendere continua una funzione a tratti, uguaglia limite sinistro, limite destro e valore in ogni punto di raccordo e ricava la costante
6Teorema dei valori intermedi: se $f$ è continua su $[a, b]$ e $N$ è compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ , allora $f(c) = N$ per qualche $c$ in $(a, b)$

Domande frequenti

È continua sul suo dominio, cioè in ogni

x \neq 0

. In

x = 0

non è definita, quindi lì non è continua. Quando si dice che una funzione è continua senza indicare un punto, di solito si intende continua su tutto il suo dominio.

Glossario

Continua in un punto: $f$ è continua in $a$ se $f(a)$ è definita, $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste e i due sono uguali
Continua su un intervallo: Continua in ogni punto dell'intervallo, usando i limiti unilaterali agli estremi di un intervallo chiuso
Discontinuità: Un punto in cui almeno una delle tre condizioni della continuità non vale
Funzione definita a tratti: Una funzione definita da formule diverse su intervalli diversi; può interrompersi solo nei punti di raccordo o dove un tratto stesso si interrompe
Teorema dei valori intermedi: Una funzione continua su $[a, b]$ assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$

Scheda formule

Continuità in un punto

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Contiene tutte e tre le condizioni: $f(a)$ definita, il limite esiste, e sono uguali

Condizione nel punto di raccordo

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Calcolare i due tratti nel punto di raccordo, uguagliarli e ricavare la costante incognita

Teorema dei valori intermedi

f(a) < N < f(b) \Rightarrow f(c) = N \text{ per qualche } c \in (a, b)

Solo per $f$ continua su $[a, b]$; con $N = 0$ dimostra che esiste uno zero

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Punti chiave

Domande frequenti

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Scheda formule

Continuità in un punto

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