Un buco e un punto per la stessa x

Il grafico di $f$ è la retta $y = x + 1$ con un cerchietto vuoto in $(2, 3)$ e un punto pieno in $(2, 5)$ (il primo grafico di questa lezione). Trova $\lim_{x \to 2} f(x)$ e $f(2)$.

Segui la curva da sinistra: Per $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ la retta sale verso il cerchietto vuoto = L'altezza tende a $3$

Segui la curva da destra: Per $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ la retta scende verso lo stesso cerchietto vuoto = L'altezza tende a $3$

Confronta i due lati: Entrambi i lati vanno verso la stessa altezza = $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Trova il punto pieno in $x = 2$: Il punto pieno è in $(2, 5)$, fuori dalla retta = $f(2) = 5$

Answer: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ ma $f(2) = 5$. Il limite segue la curva, il valore della funzione è il punto pieno.

Un buco senza punto

Nel secondo grafico di questa lezione, $g$ segue $y = (x - 1)^2$ fino a $x = 2$ e $y = 3 - x$ dopo $x = 2$, con un cerchietto vuoto in $(2, 1)$ e nessun punto pieno in $x = 2$. Trova $\lim_{x \to 2} g(x)$ e $g(2)$.

Lato sinistro: La parabola tende all'altezza $(2 - 1)^2 = 1$ = Tende a $1$

Lato destro: La retta tende all'altezza $3 - 2 = 1$ = Tende a $1$

Confronta: Entrambi i lati vanno verso $1$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$

Cerca un punto pieno in $x = 2$: C'è solo il cerchietto vuoto, nessun punto pieno = $g(2)$ non è definito

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$ anche se $g(2)$ non è definito. Un punto mancante non impedisce al limite di esistere.

Un salto: il limite non esiste

Nello stesso grafico, $g$ segue $y = x + 3$ fino a un punto pieno in $(-1, 2)$, e subito a destra di $x = -1$ continua come $y = (x - 1)^2$, partendo da un cerchietto vuoto in $(-1, 4)$. Trova $\lim_{x \to -1} g(x)$ e $g(-1)$.

Lato sinistro: La retta $y = x + 3$ tende all'altezza $-1 + 3 = 2$ = Tende a $2$

Lato destro: La parabola tende all'altezza $(-1 - 1)^2 = 4$ = Tende a $4$

Confronta: $2 \neq 4$: i due lati non coincidono = $\lim_{x \to -1} g(x)$ non esiste

Leggi il punto pieno: Il punto pieno è in $(-1, 2)$ = $g(-1) = 2$

Answer: $\lim_{x \to -1} g(x)$ non esiste (i lati tendono a $2$ e a $4$), eppure $g(-1) = 2$. Una funzione può avere un valore dove non ha limite.

Una parabola con un punto spostato

Il grafico di $h$ è la parabola $y = 4 - x^2$, tranne che in $x = 1$ c'è un cerchietto vuoto in $(1, 3)$ e un punto pieno in $(1, 0)$. Trova $\lim_{x \to 1} h(x)$, $h(1)$ e $\lim_{x \to 0} h(x)$.

Altezza del buco: Entrambi i lati della parabola tendono a $4 - 1^2 = 3$ = $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$

Valore in $x = 1$: Il punto pieno è in $(1, 0)$ = $h(1) = 0$

Limite in $x = 0$: In $x = 0$ non succede niente di speciale: la curva passa senza interruzioni per $(0, 4)$ = $\lim_{x \to 0} h(x) = 4$

Confronta con $h(0)$: Il punto $(0, 4)$ sta sulla curva = $h(0) = 4$, uguale al limite

Answer: $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$, $h(1) = 0$ e $\lim_{x \to 0} h(x) = h(0) = 4$. Dove il grafico non ha interruzioni, il limite è uguale al valore.

Tre limiti su un solo grafico

Il grafico di $p$: per $x < 1$ è la retta orizzontale $y = 2$, che termina con un cerchietto vuoto in $(1, 2)$; c'è un punto pieno in $(1, 4)$; per $1 < x \le 3$ è la retta $y = x + 1$, che parte da un cerchietto vuoto in $(1, 2)$ e termina con un punto pieno in $(3, 4)$; per $x > 3$ è la retta $y = 1$, che parte da un cerchietto vuoto in $(3, 1)$. Trova $\lim_{x \to 1} p(x)$, $\lim_{x \to 2} p(x)$ e $\lim_{x \to 3} p(x)$.

In $x = 1$, entrambi i lati: Sinistra: $y = 2$. Destra: $y = x + 1 \to 1 + 1 = 2$. Stessa altezza = $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$

Confronta con $p(1)$: Il punto pieno è in $(1, 4)$ = $p(1) = 4 \neq 2$

In $x = 2$: La retta $y = x + 1$ passa senza interruzioni per $(2, 3)$ = $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$

In $x = 3$, entrambi i lati: Sinistra: $y = x + 1 \to 4$. Destra: $y = 1$. Altezze diverse = $\lim_{x \to 3} p(x)$ non esiste

Answer: $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$ (anche se $p(1) = 4$), $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$, e $\lim_{x \to 3} p(x)$ non esiste (i lati tendono a $4$ e a $1$).

Mistake: Prendere il punto pieno come limite: rispondere $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ perché c'è un punto in $(2, 5)$

Why: Il limite descrive dove va la curva vicino a $x = 2$. Un singolo punto fuori dalla curva non cambia la direzione della curva.

Correct: Segui la curva da entrambi i lati: va verso il cerchietto vuoto ad altezza $3$, quindi $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$, mentre $f(2) = 5$.

Mistake: Dire che il limite non esiste perché c'è un buco

Why: Un buco significa solo che $f(a)$ manca. Il limite non guarda mai $x = a$ stesso, solo i valori intorno.

Correct: Se entrambi i lati tendono all'altezza del buco, il limite esiste ed è uguale a quell'altezza, anche quando $f(a)$ non è definito.

Mistake: In un salto, dare come limite l'altezza del punto pieno (o di un solo lato)

Why: Un limite da entrambi i lati richiede che i due lati coincidano. In un salto, il lato sinistro e il destro tendono ad altezze diverse.

Correct: Controlla entrambi i lati. Se tendono ad altezze diverse, scrivi che il limite non esiste, qualunque cosa mostri il punto pieno.

Mistake: Rispondere con il valore di $x$: scrivere $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Why: Il $2$ sotto il simbolo di limite è dove va $x$. Il limite stesso è un'altezza, un valore di $y$.

Correct: Leggi la risposta sull'asse $y$: l'altezza a cui tende la curva quando $x$ si avvicina a $2$.

Spese di spedizione con limite di peso

I corrieri fanno pagare per fasce di peso, quindi il grafico del prezzo in funzione del peso è una scala con salti ai confini delle fasce.

Un corriere chiede 5 € fino a 2 kg e 8 € oltre i 2 kg. Appena sotto i 2 kg il grafico è a 5, appena sopra è a 8: il limite del prezzo quando il peso tende a 2 kg quindi non esiste.

Un errore nei dati di un sensore

Stazioni meteo e braccialetti fitness rappresentano le misure nel tempo. Quando una misura va persa o è sbagliata, il grafico ha un buco o un punto isolato, e il limite recupera l'andamento reale.

Un grafico del battito cardiaco che tende a 120 battiti al minuto da entrambi i lati di un istante, con un'unica misura sbagliata pari a 0 in quell'istante, ha comunque limite 120 in quel punto.

Buchi sulla calcolatrice grafica

Un software di grafici disegna $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ come qualcosa che sembra una retta, ma percorrendo il grafico (trace) in $x = 3$ compare un errore. Lì il grafico ha un buco, e la sua altezza è il limite.

Per $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ il grafico sembra $y = x + 2$ con un buco in $(2, 4)$, quindi $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ mentre $f(2)$ non è definito.

Q: Il limite può esistere se $f(a)$ non è definito?

A: Sì. Se il grafico ha un buco in $x = a$ e entrambi i lati tendono all'altezza del buco, il limite è quell'altezza. Per esempio $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ non è definita in $x = 2$, ma il suo limite lì è $4$.

Q: Se c'è un punto pieno in $x = a$, il limite esiste per forza?

A: No. Il punto dà solo $f(a)$. In un salto il grafico ha un punto pieno, ma i due lati tendono ad altezze diverse, quindi il limite non esiste.

Q: Cosa scrivo quando un limite non esiste?

A: Scrivi: $\lim_{x \to a} f(x)$ non esiste, e indica il motivo, per esempio: il lato sinistro tende a $2$ e il lato destro a $4$.

Q: Quanto è preciso leggere un limite su un grafico?

A: Solo quanto il grafico. Usa la griglia e i punti segnati, e quando l'altezza non cade chiaramente su una linea della griglia, verificala con una tabella dei valori o con l'algebra (le prossime lezioni).