Se c'è un punto pieno in $x = a$, il limite esiste per forza?

No. Il punto dà solo $f(a)$. In un salto il grafico ha un punto pieno, ma i due lati tendono ad altezze diverse, quindi il limite non esiste.

Cosa scrivo quando un limite non esiste?

Scrivi: $\lim_{x \to a} f(x)$ non esiste, e indica il motivo, per esempio: il lato sinistro tende a $2$ e il lato destro a $4$.

Quanto è preciso leggere un limite su un grafico?

Solo quanto il grafico. Usa la griglia e i punti segnati, e quando l'altezza non cade chiaramente su una linea della griglia, verificala con una tabella dei valori o con l'algebra (le prossime lezioni).

Risorse per insegnanti

Calcolare i limiti dal grafico

Q: Il limite può esistere se $f(a)$ non è definito?

Sì. Se il grafico ha un buco in $x = a$ e entrambi i lati tendono all'altezza del buco, il limite è quell'altezza. Per esempio $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ non è definita in $x = 2$, ma il suo limite lì è $4$.

Leggi i limiti direttamente sul grafico, distingui il limite dal valore della funzione e riconosci quando un limite non esiste.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Per calcolare un limite dal grafico, leggi

\lim_{x \to a} f(x)

direttamente sul grafico di

f

. Metti un dito sulla curva da ciascun lato di

x = a

, scorri verso

x = a

e osserva verso quale altezza (valore di

y

) si dirige la curva.

Se entrambi i lati si dirigono verso la stessa altezza $L$ , allora $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Se i due lati si dirigono verso altezze diverse, il limite non esiste.

Limite e valore della funzione. Sono due domande diverse:

$\lim_{x \to a} f(x)$ chiede dove va la curva vicino a $x = a$ .
$f(a)$ chiede dove si trova davvero il punto pieno in $x = a$ .

Un cerchietto vuoto (un buco) indica un punto che manca nel grafico. Un punto pieno indica il valore effettivo della funzione. Il limite ignora ciò che succede esattamente in

x = a

: un buco, o un punto che si trova altrove, non cambia quindi il limite.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{quando entrambi i lati del grafico tendono all'altezza } L

Esempi svolti

Il grafico di $f$ è la retta $y = x + 1$ con un cerchietto vuoto in $(2, 3)$ e un punto pieno in $(2, 5)$ (il primo grafico di questa lezione). Trova $\lim_{x \to 2} f(x)$ e $f(2)$ .

Segui la curva da sinistra

Per $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ la retta sale verso il cerchietto vuoto → L'altezza tende a $3$

Segui la curva da destra

Per $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ la retta scende verso lo stesso cerchietto vuoto → L'altezza tende a $3$

Confronta i due lati

Entrambi i lati vanno verso la stessa altezza → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Trova il punto pieno in $x = 2$

Il punto pieno è in $(2, 5)$ , fuori dalla retta → $f(2) = 5$

Risposta: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ ma $f(2) = 5$ . Il limite segue la curva, il valore della funzione è il punto pieno.

Errori comuni

Prendere il punto pieno come limite: rispondere $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ perché c'è un punto in $(2, 5)$

Perché è sbagliato: Il limite descrive dove va la curva vicino a $x = 2$ . Un singolo punto fuori dalla curva non cambia la direzione della curva.

Corretto: Segui la curva da entrambi i lati: va verso il cerchietto vuoto ad altezza $3$ , quindi $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , mentre $f(2) = 5$ .

Dire che il limite non esiste perché c'è un buco

Perché è sbagliato: Un buco significa solo che $f(a)$ manca. Il limite non guarda mai $x = a$ stesso, solo i valori intorno.

Corretto: Se entrambi i lati tendono all'altezza del buco, il limite esiste ed è uguale a quell'altezza, anche quando $f(a)$ non è definito.

In un salto, dare come limite l'altezza del punto pieno (o di un solo lato)

Perché è sbagliato: Un limite da entrambi i lati richiede che i due lati coincidano. In un salto, il lato sinistro e il destro tendono ad altezze diverse.

Corretto: Controlla entrambi i lati. Se tendono ad altezze diverse, scrivi che il limite non esiste, qualunque cosa mostri il punto pieno.

Rispondere con il valore di $x$ : scrivere $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Perché è sbagliato: Il $2$ sotto il simbolo di limite è dove va $x$ . Il limite stesso è un'altezza, un valore di $y$ .

Corretto: Leggi la risposta sull'asse $y$ : l'altezza a cui tende la curva quando $x$ si avvicina a $2$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

In x = 2: da sinistra e da destra f(x) → 3, quindi il limite è 3. f(2) = 5.

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

In x = -1: da sinistra g(x) → 2, da destra g(x) → 4. I valori sono diversi, quindi il limite non esiste (salto). g(-1) = 2.
In x = 2: da sinistra e da destra g(x) → 1, quindi il limite è 1. g(2) non è definita (un buco).

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = (x^2 - 4)/(x - 2)

m=1, b=2

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Il grafico di $f$ è una retta che passa per un cerchietto vuoto in $(3, 4)$ . C'è anche un punto pieno in $(3, 1)$ . Quanto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Esercizi pratici: Calcolare i limiti dal grafico

1. Il grafico di f è una retta che passa per un cerchietto vuoto in (3, 4). C'è anche un punto pieno in (3, 1). Quanto vale \lim_{x \to 3} f(x)?
2. Il grafico di g è la parabola y = x^2 con un cerchietto vuoto in (2, 4) e un punto pieno in (2, 0). Quanto vale \lim_{x \to 2} g(x)?
3. Il grafico di f è la retta y = x + 2 con un cerchietto vuoto in (1, 3) e un punto pieno in (1, 6). Trova \lim_{x \to 1} f(x) e confrontalo con f(1).
4. Il grafico di f è una retta che passa per un cerchietto vuoto in (3, 4), e in più c'è un punto pieno in (3, 1). Quanto vale f(3)?
5. Il grafico di g è la parabola y = x² con un cerchietto vuoto in (2, 4) e un punto pieno in (2, 0). Quanto vale g(2)?
6. Il grafico di f è la retta y = 4 - x, disegnata senza buchi né punti in più. Trova \lim_{x \to 1} f(x) e verifica se è uguale a f(1).
7. Per x < 2 il grafico di f segue y = x e termina con un cerchietto vuoto in (2, 2). Per x \ge 2 segue y = 5 - x, partendo da un punto pieno in (2, 3). Quanto vale \lim_{x \to 2} f(x)?
8. Il grafico di h è la retta passante per (0, -1) e (4, 7), con un cerchietto vuoto in x = 2 e nessun punto pieno lì. Quanto vale \lim_{x \to 2} h(x)?
9. Per x < 2 il grafico di f è la retta y = x, che termina con un cerchietto vuoto in (2, 2). Per x \ge 2 è la retta y = x + 3, che parte da un punto pieno in (2, 5). Esiste \lim_{x \to 2} f(x), e quanto vale f(2)?
10. Quale affermazione su \lim_{x \to a} f(x) è sempre vera?
11. Vicino a x = -2 il grafico di f tende da entrambi i lati a un cerchietto vuoto in (-2, 3), e c'è un punto pieno in (-2, -1). Calcola \lim_{x \to -2} f(x) + f(-2).
12. Il grafico di g: per x ≤ -1 è y = x + 3, che termina con un punto pieno in (-1, 2); per -1 < x < 2 è y = (x - 1)², che parte da un cerchietto vuoto in (-1, 4); per x > 2 è y = 3 - x. In x = 2 c'è un cerchietto vuoto in (2, 1) e nessun punto pieno. Leggi i limiti sul grafico.
13. Il grafico di f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} sembra la retta y = x - 1 con un buco. Usa il grafico per trovare \lim_{x \to -1} f(x).
14. Il grafico di f ha tre punti particolari. In x = 1 la parte sinistra termina ad altezza 2 e la parte destra inizia ad altezza -1. In x = 3 la curva tende da entrambi i lati a un cerchietto vuoto in (3, 4), senza punto pieno. In x = 5 la curva tende da entrambi i lati a (5, 0), ma il punto pieno è in (5, 3). Per quale a il limite \lim_{x \to a} f(x) non esiste?
15. Il grafico di f segue y = 3x + k per x < 2 e y = x^2 per x > 2, con cerchietti vuoti a entrambe le estremità in x = 2. Per quale valore di k esiste \lim_{x \to 2} f(x)?
16. Il grafico di q: per x < 2 è y = x^2, che termina con un cerchietto vuoto in (2, 4); c'è un punto pieno in (2, 1); per 2 < x < 5 è y = 6 - x, tra cerchietti vuoti in (2, 4) e (5, 1); per x \ge 5 è y = x - 2, che parte da un punto pieno in (5, 3). Trova \lim_{x \to 2} q(x) e q(2), e decidi se \lim_{x \to 5} q(x) esiste.
17. Per x < 3 il grafico di f è y = ax, per x > 3 è y = 12 - x, e c'è un punto pieno in (3, 0). Trova il valore di a per cui esiste \lim_{x \to 3} f(x).
18. Il grafico di f: per x \le 0 è y = -x, che termina con un punto pieno in (0, 0); per 0 < x < 4 è y = x + 2, tra cerchietti vuoti in (0, 2) e (4, 6); c'è un punto pieno in (4, 1); per x > 4 è y = 10 - x, che parte da un cerchietto vuoto in (4, 6). Calcola \lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0).

Perché è importante

Un grafico è spesso il modo più rapido per vedere cosa fa una funzione vicino a un punto:

L'analisi comincia qui: la derivata (pendenza di una retta tangente) è un limite, e la incontri prima come immagine.
I dati reali hanno buchi ed errori: il grafico di un sensore può avere una misura mancante o un picco sbagliato. Il limite ti dà l'andamento reale intorno a quell'istante.
Prezzi e tariffe fanno salti: spese di spedizione, tariffe dei taxi e scaglioni fiscali hanno grafici con salti, dove il valore appena prima e appena dopo un confine è diverso.
La continuità si basa su questo: più avanti dirai che una funzione è continua in $a$ esattamente quando il limite esiste ed è uguale a $f(a)$ , cosa che puoi controllare a occhio su un grafico.

Leggere i limiti sui grafici allena l'abitudine più importante dell'analisi: guardare cosa succede vicino a un punto, non solo nel punto.

Applicazioni nel mondo reale

Spese di spedizione con limite di peso

I corrieri fanno pagare per fasce di peso, quindi il grafico del prezzo in funzione del peso è una scala con salti ai confini delle fasce.

Esempio:

Un corriere chiede 5 € fino a 2 kg e 8 € oltre i 2 kg. Appena sotto i 2 kg il grafico è a 5, appena sopra è a 8: il limite del prezzo quando il peso tende a 2 kg quindi non esiste.

1Provaci tu stesso

Un corriere chiede 5 € per i pacchi fino a 2 kg (2 kg compresi) e 8 € per i pacchi da poco più di 2 kg fino a 5 kg. Il grafico del prezzo $C(w)$ ha un punto pieno in $(2, 5)$ e un cerchietto vuoto in $(2, 8)$ .

Quanto è grande il salto in $w = 2$ (l'altezza a cui tende il lato destro meno quella a cui tende il lato sinistro)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Altezza a destra meno altezza a sinistra:

Un errore nei dati di un sensore

Stazioni meteo e braccialetti fitness rappresentano le misure nel tempo. Quando una misura va persa o è sbagliata, il grafico ha un buco o un punto isolato, e il limite recupera l'andamento reale.

Esempio:

Un grafico del battito cardiaco che tende a 120 battiti al minuto da entrambi i lati di un istante, con un'unica misura sbagliata pari a 0 in quell'istante, ha comunque limite 120 in quel punto.

2Provaci tu stesso

Una stazione meteo rappresenta la temperatura $T(t)$ in °C, con $t$ in ore. Intorno a $t = 3$ la curva tende a $18$ °C da entrambi i lati, ma un errore ha salvato il singolo valore $T(3) = 0$ .

Quanto vale $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

L'altezza a cui tendono entrambi i lati:

Buchi sulla calcolatrice grafica

Un software di grafici disegna $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ come qualcosa che sembra una retta, ma percorrendo il grafico (trace) in $x = 3$ compare un errore. Lì il grafico ha un buco, e la sua altezza è il limite.

Esempio:

Per $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ il grafico sembra $y = x + 2$ con un buco in $(2, 4)$ , quindi $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ mentre $f(2)$ non è definito.

3Provaci tu stesso

Disegni $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Percorrendo il grafico compare ERROR in $x = 3$ , e il grafico sembra la retta $y = x + 3$ con un buco.

Quanto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

L'altezza del buco:

Punti chiave

1Per leggere $\lim_{x \to a} f(x)$ su un grafico, segui la curva da entrambi i lati verso $x = a$ e leggi l'altezza a cui tende
2Il limite è un valore di $y$ (un'altezza), non il valore $a$ di $x$
3Un cerchietto vuoto (buco) indica un punto mancante, un punto pieno indica il valore effettivo $f(a)$
4Il limite ignora il punto in $x = a$ : un buco o un punto che si trova altrove non lo cambia
5Se i due lati tendono ad altezze diverse (un salto), il limite non esiste, qualunque sia $f(a)$
6Dove il grafico non ha interruzioni, il limite è semplicemente uguale a $f(a)$

Domande frequenti

Sì. Se il grafico ha un buco in

x = a

e entrambi i lati tendono all'altezza del buco, il limite è quell'altezza. Per esempio

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

non è definita in

x = 2

, ma il suo limite lì è

4

Glossario

Limite: L'altezza $L$ a cui tende il grafico di $f$ da entrambi i lati quando $x$ tende ad $a$ , si scrive $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Valore della funzione $f(a)$: L'altezza effettiva del grafico in $x = a$ , indicata da un punto pieno o dalla curva che passa per $x = a$
Cerchietto vuoto (buco): Un punto disegnato come cerchio vuoto: il grafico gli si avvicina, ma non fa parte del grafico
Punto pieno: Un punto pieno che fa parte del grafico e dà il valore della funzione in quel punto
Salto: Un punto in cui il grafico si interrompe e riprende a un'altra altezza, così i due lati tendono a valori diversi
Non esiste: Ciò che diciamo di un limite quando i due lati del grafico non tendono alla stessa altezza

Scheda formule

Leggere un limite sul grafico

\lim_{x \to a} f(x) = L

Entrambi i lati del grafico tendono all'altezza $L$ quando $x$ tende ad $a$

Quando il limite non esiste

\text{altezza a sinistra} \neq \text{altezza a destra} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ non esiste}

Se i due lati tendono ad altezze diverse, $\lim_{x \to a} f(x)$ non esiste

Limite e valore

\lim_{x \to a} f(x) \text{ e } f(a) \text{ possono essere diversi}

Il limite segue la curva vicino ad $a$, il valore è il punto pieno in $a$. Possono essere diversi

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