Un limite in un buco

Usa una tabella per stimare $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Controlla il punto stesso: In $x = 2$: $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ = $f(2)$ non è definita, quindi serve una tabella

Avvicinati da sinistra: $f(1{,}9) = 3{,}9$, $f(1{,}99) = 3{,}99$, $f(1{,}999) = 3{,}999$ = Da sinistra tende a $4$

Avvicinati da destra: $f(2{,}1) = 4{,}1$, $f(2{,}01) = 4{,}01$, $f(2{,}001) = 4{,}001$ = Da destra tende a $4$

Confronta i due lati: Entrambi i lati si avvicinano allo stesso valore = $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$, anche se $f(2)$ non esiste

Un limite che non si può scomporre

Stima $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ($x$ in radianti).

Imposta la calcolatrice in radianti: I limiti con $\sin x$ usano sempre i radianti = Modalità: RAD

Avvicinati da destra: $x = 0{,}1$: $0{,}998334$; $x = 0{,}01$: $0{,}999983$; $x = 0{,}001$: $0{,}9999998$ = I valori tendono a $1$

Avvicinati da sinistra: $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x}$, quindi $x = -0{,}1$ dà di nuovo $0{,}998334$ = Stessi valori, che tendono a $1$

Concludi: Entrambi i lati si avvicinano a $1$ = $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Answer: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Quando i due lati non sono d'accordo

Usa una tabella per decidere se $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ esiste.

Avvicinati da sinistra: $x = -0{,}1$: $\frac{0{,}1}{-0{,}1} = -1$; $x = -0{,}01$: $-1$; $x = -0{,}001$: $-1$ = Da sinistra resta a $-1$

Avvicinati da destra: $x = 0{,}1$: $\frac{0{,}1}{0{,}1} = 1$; $x = 0{,}01$: $1$; $x = 0{,}001$: $1$ = Da destra resta a $1$

Confronta i due lati: $-1 \neq 1$ = I lati tendono a numeri diversi

Concludi: Un limite bilaterale richiede un unico valore = $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ non esiste

Answer: Il limite non esiste: da sinistra tende a $-1$ e da destra tende a $1$

Risultati che crescono senza limite

Usa una tabella per descrivere $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2}$.

Avvicinati da sinistra: $x = 2{,}9$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$; $x = 2{,}99$: $10\,000$; $x = 2{,}999$: $1\,000\,000$ = I valori esplodono verso l'alto

Avvicinati da destra: $x = 3{,}1$: $100$; $x = 3{,}01$: $10\,000$; $x = 3{,}001$: $1\,000\,000$ = La stessa esplosione verso l'alto

Cerca una regolarità: Ogni volta che $x$ diventa $10$ volte più vicino a $3$, $f(x)$ diventa $100$ volte più grande = I valori non si avvicinano a nessun numero

Descrivi il comportamento: I risultati crescono senza limite da entrambi i lati = $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$

Answer: La funzione cresce senza limite: $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$, quindi non c'è un limite finito (asintoto verticale $x = 3$)

Quando una tabella ti inganna

Una studentessa usa $x = 0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ per stimare $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ e ottiene $0$ ogni volta. Il limite è $0$?

Controlla i suoi valori: $\sin(10\pi) = 0$, $\sin(100\pi) = 0$, $\sin(1000\pi) = 0$ = Tutti zeri, sembra convincente

Prova altri valori vicini a $0$: $x = 0{,}4$: $\sin(2{,}5\pi) = 1$; $x = \frac{2}{9} \approx 0{,}222$: $\sin(4{,}5\pi) = 1$ = Compaiono valori uguali a $1$

Prova ancora altri valori: $x = \frac{2}{3}$: $\sin(1{,}5\pi) = -1$; $x = \frac{2}{7}$: $\sin(3{,}5\pi) = -1$ = Compaiono anche valori uguali a $-1$

Concludi: Vicino a $0$ la funzione continua a oscillare tra $-1$ e $1$ = Il limite non esiste

Answer: No. $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ oscilla infinite volte tra $-1$ e $1$ vicino a $0$, quindi il limite non esiste. I valori di $x$ scelti cadevano per caso sugli zeri.

Mistake: Usare un solo lato di $a$

Why: Una tabella con solo $x = 1{,}9$, $1{,}99$, $1{,}999$ mostra il limite sinistro. Da destra i valori possono tendere altrove, come per $\frac{|x|}{x}$.

Correct: Costruisci sempre entrambe le colonne: valori appena sotto $a$ e valori appena sopra $a$.

Mistake: Scegliere valori di $x$ non vicini ad $a$

Why: Valori come $x = 1$, $1{,}5$, $2{,}5$, $3$ sono troppo lontani. Lontano dal punto la funzione può comportarsi in modo molto diverso.

Correct: Avvicinati di un fattore $10$ ogni volta: $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$.

Mistake: Mettere $x = a$ nella tabella e prendere $f(a)$ come limite

Why: Il limite descrive ciò che accade vicino ad $a$, non in $a$. In un buco $f(a)$ può non essere definita, e in un punto spostato può essere un altro numero.

Correct: Lascia $x = a$ fuori dalla tabella e leggi solo la tendenza dei valori vicini.

Mistake: Fidarsi ciecamente di pochi valori

Why: Scelte particolari di $x$ possono nascondere un'oscillazione, come per $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$, e l'arrotondamento può nascondere piccole differenze tra i lati.

Correct: Usa diversi valori che non seguano tutti lo stesso schema, tieni abbastanza decimali e conferma con un grafico o con l'algebra.

Velocità istantanea in fisica

Il tachimetro mostra la velocità in un istante. I fisici la trovano calcolando velocità medie su intervalli di tempo sempre più brevi e leggendo la tendenza nella tabella.

Una palla cade di $s(t) = 5t^2$ metri in $t$ secondi. Velocità medie a partire da $t = 2$: in $0{,}1$ s è $20{,}5$ m/s, in $0{,}01$ s è $20{,}05$ m/s, in $0{,}001$ s è $20{,}005$ m/s.

Tassi di crescita in biologia

Una coltura di batteri che raddoppia ogni ora non cresce a scatti. Il suo tasso di crescita istantaneo si ricava da una tabella dell'espressione $\frac{2^h - 1}{h}$ per passi di tempo $h$ piccolissimi.

Per $h = 0{,}1$ ore la tabella dà $0{,}7177$, per $h = 0{,}01$ dà $0{,}6956$, per $h = 0{,}001$ dà $0{,}6934$: il tasso si stabilizza vicino a $0{,}693$ all'ora.

Elaborazione dei segnali e audio

I software audio usano funzioni come $\frac{\sin(2x)}{x}$ per filtrare il suono. In $x = 0$ la formula dà $\frac{0}{0}$, quindi i programmatori usano il limite ricavato da una tabella per riempire il valore mancante.

Vicino a $0$ (in radianti), $\frac{\sin(2x)}{x}$ dà $1{,}98669$ in $x = 0{,}1$ e $1{,}99987$ in $x = 0{,}01$.

Q: Quanti valori servono nella tabella?

A: Di solito ne bastano tre per lato, come $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$, per vedere una tendenza chiara. Se la tendenza non è chiara, aggiungi valori ancora più vicini, come $a \pm 0{,}0001$.

Q: Perché non sostituisco semplicemente $x = a$?

A: Perché il limite riguarda i valori vicino ad $a$, non in $a$. Spesso $f(a)$ non è definita (un buco o $\frac{0}{0}$), e a volte esiste ma è diversa dal limite. La tabella mostra la tendenza che $f(a)$ non può mostrare.

Q: Una tabella dimostra che il limite è corretto?

A: No. Una tabella dà solo indizi forti. I risultati esatti vengono dall'algebra (Limiti per sostituzione diretta, scomposizione) o dai teoremi sui limiti. Le tabelle sono ottime per stimare e per controllare un risultato algebrico.

Q: Che cosa significa se la calcolatrice mostra valori strani molto vicino ad $a$?

A: Con differenze piccolissime come $x - a = 0{,}0000000001$, una calcolatrice può perdere cifre sottraendo numeri quasi uguali. Se i valori iniziano a saltare all'improvviso, torna a $a \pm 0{,}001$ o $a \pm 0{,}0001$, dove il calcolo è ancora affidabile.