Perché non sostituisco semplicemente $x = a$?

Perché il limite riguarda i valori vicino ad $a$, non in $a$. Spesso $f(a)$ non è definita (un buco o $\frac{0}{0}$), e a volte esiste ma è diversa dal limite. La tabella mostra la tendenza che $f(a)$ non può mostrare.

Una tabella dimostra che il limite è corretto?

No. Una tabella dà solo indizi forti. I risultati esatti vengono dall'algebra (Limiti per sostituzione diretta, scomposizione) o dai teoremi sui limiti. Le tabelle sono ottime per stimare e per controllare un risultato algebrico.

Che cosa significa se la calcolatrice mostra valori strani molto vicino ad $a$?

Con differenze piccolissime come $x - a = 0{,}0000000001$, una calcolatrice può perdere cifre sottraendo numeri quasi uguali. Se i valori iniziano a saltare all'improvviso, torna a $a \pm 0{,}001$ o $a \pm 0{,}0001$, dove il calcolo è ancora affidabile.

Risorse per insegnanti

Calcolare i limiti con la tabella dei valori

Q: Quanti valori servono nella tabella?

Di solito ne bastano tre per lato, come $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$, per vedere una tendenza chiara. Se la tendenza non è chiara, aggiungi valori ancora più vicini, come $a \pm 0{,}0001$.

Stima un limite numericamente: costruisci una tabella dei valori da entrambi i lati, avvicinati sempre di più e osserva verso cosa tendono i risultati.

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Per calcolare un limite con la tabella dei valori, scegli valori di

x

che si avvicinano sempre di più ad

a

da entrambi i lati, calcoli

f(x)

per ciascuno e osservi a quale valore si avvicinano i risultati.

\lim_{x \to a} f(x) = L

Come costruire la tabella:

Da sinistra ( $x < a$ ): per esempio $a - 0{,}1$ , $a - 0{,}01$ , $a - 0{,}001$
Da destra ( $x > a$ ): per esempio $a + 0{,}001$ , $a + 0{,}01$ , $a + 0{,}1$
Non usare $x = a$ : il limite non dipende da $f(a)$

Esempio:

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

non è definita in

x = 2

, ma la tabella mostra dove si sta dirigendo:

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$f(x)$	$3{,}9$	$3{,}99$	$3{,}999$	$4{,}001$	$4{,}01$	$4{,}1$

Entrambi i lati tendono a

4

, quindi stimiamo

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

Tre risultati possibili:

Entrambi i lati tendono allo stesso numero $L$ : il limite è $L$
I lati tendono a numeri diversi: il limite non esiste
I risultati crescono senza limite: scriviamo $\infty$ (nessun limite finito)

Una tabella dà una stima, non una dimostrazione. È il lato numerico della stessa idea che hai visto nella lezione Calcolare i limiti dal grafico.

Prova subito

Vuoi stimare

\lim_{x \to 3} f(x)

con una tabella dei valori. Quali valori di

x

sono la scelta migliore?

Esempi svolti

Usa una tabella per stimare $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Controlla il punto stesso

In $x = 2$ : $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ → $f(2)$ non è definita, quindi serve una tabella

Avvicinati da sinistra

$f(1{,}9) = 3{,}9$ , $f(1{,}99) = 3{,}99$ , $f(1{,}999) = 3{,}999$ → Da sinistra tende a $4$

Avvicinati da destra

$f(2{,}1) = 4{,}1$ , $f(2{,}01) = 4{,}01$ , $f(2{,}001) = 4{,}001$ → Da destra tende a $4$

Confronta i due lati

Entrambi i lati si avvicinano allo stesso valore → $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Risposta: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ , anche se $f(2)$ non esiste

Errori comuni

Usare un solo lato di $a$

Perché è sbagliato: Una tabella con solo $x = 1{,}9$ , $1{,}99$ , $1{,}999$ mostra il limite sinistro. Da destra i valori possono tendere altrove, come per $\frac{|x|}{x}$ .

Corretto: Costruisci sempre entrambe le colonne: valori appena sotto $a$ e valori appena sopra $a$ .

Scegliere valori di $x$ non vicini ad $a$

Perché è sbagliato: Valori come $x = 1$ , $1{,}5$ , $2{,}5$ , $3$ sono troppo lontani. Lontano dal punto la funzione può comportarsi in modo molto diverso.

Corretto: Avvicinati di un fattore $10$ ogni volta: $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ .

Mettere $x = a$ nella tabella e prendere $f(a)$ come limite

Perché è sbagliato: Il limite descrive ciò che accade vicino ad $a$ , non in $a$ . In un buco $f(a)$ può non essere definita, e in un punto spostato può essere un altro numero.

Corretto: Lascia $x = a$ fuori dalla tabella e leggi solo la tendenza dei valori vicini.

Fidarsi ciecamente di pochi valori

Perché è sbagliato: Scelte particolari di $x$ possono nascondere un'oscillazione, come per $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ , e l'arrotondamento può nascondere piccole differenze tra i lati.

Corretto: Usa diversi valori che non seguano tutti lo stesso schema, tieni abbastanza decimali e conferma con un grafico o con l'algebra.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

f(x) = (x² - 4)/(x - 2)

Tabella dei valori

x	1,9	1,99	1,999	2,001	2,01	2,1
y	3,9	3,99	3,999	4,001	4,01	4,1

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

g(x) = |x|/x

In x = 0: da sinistra g(x) → -1, da destra g(x) → 1. I valori sono diversi, quindi il limite non esiste (salto). g(0) non è definita.

Tabella dei valori

x	-0,1	-0,01	-0,001	0,001	0,01	0,1
y	-1	-1	-1	1	1	1

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

h(x) = 1/(x - 3)²Asintoto

Tabella dei valori

x	2,9	2,99	2,999	3,001	3,01	3,1
y	100	10000	1000000	1000000	10000	100

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Vuoi stimare $\lim_{x \to 3} f(x)$ con una tabella dei valori. Quali valori di $x$ sono la scelta migliore?

Esercizi pratici: Calcolare i limiti con la tabella dei valori

1. Vuoi stimare \lim_{x \to 3} f(x) con una tabella dei valori. Quali valori di x sono la scelta migliore?
2. Una tabella dei valori dà f(4{,}9) = 9{,}9; f(4{,}99) = 9{,}99; f(4{,}999) = 9{,}999; f(5{,}001) = 10{,}001; f(5{,}01) = 10{,}01; f(5{,}1) = 10{,}1. Stima \lim_{x \to 5} f(x).
3. A sinistra di 2: f(1{,}9) = 6{,}8; f(1{,}99) = 6{,}98; f(1{,}999) = 6{,}998. A destra di 2: f(2{,}1) = 7{,}2; f(2{,}01) = 7{,}02; f(2{,}001) = 7{,}002. Quanto vale \lim_{x \to 2} f(x)?
4. Per f(x) = (x² - 9)/(x - 3), calcola il valore della tabella f(2,99).
5. Usa una tabella dei valori per stimare \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}.
6. Usa una tabella dei valori per stimare \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}.
7. Una tabella di g(x) vicino a x = 1 mostra g(0{,}9) = -2; g(0{,}99) = -2; g(0{,}999) = -2; g(1{,}001) = 5; g(1{,}01) = 5; g(1{,}1) = 5. Che cosa puoi concludere su \lim_{x \to 1} g(x)?
8. Una tabella di f(x) = \frac{e^x - 1}{x} dà x = -0{,}01: 0{,}99502; x = -0{,}001: 0{,}99950; x = 0{,}001: 1{,}00050; x = 0{,}01: 1{,}00502. Stima \lim_{x \to 0} f(x).
9. Usa una tabella dei valori per stimare \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}, con x in radianti.
10. Usa una tabella dei valori per stimare \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}.
11. Per f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} una tabella dà f(-0{,}01) \approx 0{,}16671; f(-0{,}001) \approx 0{,}16667; f(0{,}001) \approx 0{,}16666; f(0{,}01) \approx 0{,}16662. Stima \lim_{x \to 0} f(x) come numero decimale, arrotondato a tre cifre decimali.
12. Una tabella di h(x) vicino a x = 1 mostra h(0{,}9) = 100; h(0{,}99) = 10\,000; h(0{,}999) = 1\,000\,000; h(1{,}001) = 1\,000\,000; h(1{,}01) = 10\,000; h(1{,}1) = 100. Quale affermazione descrive meglio \lim_{x \to 1} h(x)?
13. Sia f(x) = x + 1 per x < 2 e f(x) = x^2 per x \geq 2. Usa una tabella dei valori per decidere se \lim_{x \to 2} f(x) esiste.
14. Una tabella di f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}} dà x = -0{,}01: 2{,}73200; x = -0{,}001: 2{,}71964; x = 0{,}001: 2{,}71692; x = 0{,}01: 2{,}70481. Stima \lim_{x \to 0} f(x), arrotondato a due cifre decimali.
15. Una tabella di f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) con x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001 dà 0 ogni volta. Però f\left(\frac{2}{101}\right) = 1 e f\left(\frac{2}{103}\right) = -1, ed entrambi i valori di x distano meno di 0{,}02 da 0. Quanto vale \lim_{x \to 0} f(x)?
16. Usa una tabella dei valori per stimare \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}.
17. Usa una tabella dei valori per descrivere \lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}.
18. Studia \lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) con valori della tabella scelti con cura (x in radianti).

Perché è importante

Le tabelle dei valori sono spesso il modo più diretto e pratico per trovare un limite:

Nessun trucco algebrico: funzioni come $\frac{\sin x}{x}$ o $\frac{e^x - 1}{x}$ non si semplificano scomponendo, ma una tabella trova il loro limite in pochi secondi
Calcolatrici e computer stimano i limiti proprio così: calcolano la funzione in numeri sempre più vicini al punto
Controllare i tuoi calcoli: se l'algebra dice che il limite è $4$ ma la tabella tende a $3$ , qualcosa è andato storto
Basi dell'analisi: la velocità istantanea e la pendenza di una curva nascono come tabelle di velocità medie su intervalli di tempo sempre più brevi

Sapere quando una tabella può ingannarti (funzioni che oscillano, arrotondamenti) è importante quanto saperla costruire.

Applicazioni nel mondo reale

Velocità istantanea in fisica

Il tachimetro mostra la velocità in un istante. I fisici la trovano calcolando velocità medie su intervalli di tempo sempre più brevi e leggendo la tendenza nella tabella.

Esempio:

Una palla cade di $s(t) = 5t^2$ metri in $t$ secondi. Velocità medie a partire da $t = 2$ : in $0{,}1$ s è $20{,}5$ m/s, in $0{,}01$ s è $20{,}05$ m/s, in $0{,}001$ s è $20{,}005$ m/s.

1Provaci tu stesso

La velocità media della palla tra $t = 2$ e $t = 2 + h$ secondi è $\frac{5(2 + h)^2 - 20}{h}$ m/s.

Qual è la velocità istantanea a $t = 2$ secondi, in m/s?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Rendi $h$ sempre più piccolo e osserva dove si dirige la velocità media:

Tassi di crescita in biologia

Una coltura di batteri che raddoppia ogni ora non cresce a scatti. Il suo tasso di crescita istantaneo si ricava da una tabella dell'espressione $\frac{2^h - 1}{h}$ per passi di tempo $h$ piccolissimi.

Esempio:

Per $h = 0{,}1$ ore la tabella dà $0{,}7177$ , per $h = 0{,}01$ dà $0{,}6956$ , per $h = 0{,}001$ dà $0{,}6934$ : il tasso si stabilizza vicino a $0{,}693$ all'ora.

2Provaci tu stesso

Alcuni biologi stimano $\lim_{h \to 0} \frac{2^h - 1}{h}$ con una tabella dei valori. Usa una calcolatrice.

Quanto vale il limite, arrotondato a due cifre decimali?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola l'espressione per valori di $h$ sempre più piccoli:

Elaborazione dei segnali e audio

I software audio usano funzioni come $\frac{\sin(2x)}{x}$ per filtrare il suono. In $x = 0$ la formula dà $\frac{0}{0}$, quindi i programmatori usano il limite ricavato da una tabella per riempire il valore mancante.

Esempio:

Vicino a $0$ (in radianti), $\frac{\sin(2x)}{x}$ dà $1{,}98669$ in $x = 0{,}1$ e $1{,}99987$ in $x = 0{,}01$ .

3Provaci tu stesso

Un programmatore ha bisogno del valore a cui si avvicina $\frac{\sin(2x)}{x}$ per $x \to 0$ ( $x$ in radianti).

Quale valore deve usare il programma in $x = 0$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Costruisci una tabella con $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ :

Punti chiave

1Per stimare $\lim_{x \to a} f(x)$ con una tabella, usa valori di $x$ sempre più vicini ad $a$ da entrambi i lati
2Uno schema efficace: $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ ; lascia fuori $x = a$
3Se entrambi i lati tendono allo stesso numero $L$ , il limite è $L$ , anche quando $f(a)$ non è definita
4Se i lati tendono a numeri diversi, il limite non esiste
5Se i risultati crescono senza limite, non c'è un limite finito e scriviamo $\infty$ (o $-\infty$ )
6Una tabella è una stima: funzioni che oscillano come $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ e gli arrotondamenti possono ingannarla, quindi conferma con un grafico o con l'algebra

Domande frequenti

Di solito ne bastano tre per lato, come

a \pm 0{,}1

a \pm 0{,}01

a \pm 0{,}001

, per vedere una tendenza chiara. Se la tendenza non è chiara, aggiungi valori ancora più vicini, come

a \pm 0{,}0001

Glossario

Tabella dei valori: Un elenco di valori di $x$ scelti e dei loro risultati $f(x)$ , che serve a vedere una tendenza
Limite sinistro: Il valore a cui si avvicina $f(x)$ quando $x \to a$ con valori minori di $a$ , scritto $\lim_{x \to a^-} f(x)$
Limite destro: Il valore a cui si avvicina $f(x)$ quando $x \to a$ con valori maggiori di $a$ , scritto $\lim_{x \to a^+} f(x)$
Non esiste: I risultati non si avvicinano a un unico numero finito, per esempio perché i due lati non sono d'accordo o la funzione oscilla
Crescere senza limite: I risultati superano qualsiasi numero tu scelga; si scrive come un limite uguale a $\infty$ (limite infinito)
Oscillazione: Comportamento in cui i risultati continuano ad andare avanti e indietro senza stabilizzarsi, come $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ vicino a $0$

Scheda formule

Schema della tabella

x = a - 0{,}1;\ a - 0{,}01;\ a - 0{,}001 \ \mid\ a + 0{,}001;\ a + 0{,}01;\ a + 0{,}1

Avvicinati ad $a$ da entrambi i lati, dieci volte più vicino a ogni passo, senza mai usare $x = a$

Il limite esiste

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L

Le due colonne della tabella tendono allo stesso numero

Il limite non esiste

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Le due colonne tendono a numeri diversi, oppure i valori oscillano

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Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Velocità istantanea in fisica

Tassi di crescita in biologia

Elaborazione dei segnali e audio

Punti chiave

Domande frequenti

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Scheda formule

Schema della tabella

Il limite esiste

Il limite non esiste

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Notazione dei limiti

Calcolare i limiti dal grafico

Limiti per sostituzione diretta