Entrambi i lati salgono

Calcola $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$.

Prova la sostituzione diretta: $\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$: il numeratore è $1$, il denominatore è $0$ = Non è un numero: guardiamo più da vicino

Tabella dei valori da sinistra: $x = 1{,}9$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$; $x = 1{,}99$: $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ = I valori crescono senza limite

Tabella dei valori da destra: $x = 2{,}1$: $100$; $x = 2{,}01$: $10000$ = I valori crescono senza limite

Usa il segno: $(x-2)^2$ è un quadrato, quindi è positivo da entrambi i lati di $2$ = Entrambi i limiti unilaterali sono $\infty$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Entrambi i lati esplodono nella stessa direzione, quindi scriviamo $\infty$ per il limite, e $x = 2$ è un asintoto verticale.

I due lati non sono d'accordo

Calcola $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2}$, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2}$ e $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$.

A sinistra di 2: $x = 1{,}9$: $\frac{1}{-0{,}1} = -10$; $x = 1{,}99$: $\frac{1}{-0{,}01} = -100$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$

A destra di 2: $x = 2{,}1$: $\frac{1}{0{,}1} = 10$; $x = 2{,}01$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty$

Confronta i due lati: Un lato tende a $-\infty$, l'altro a $\infty$ = Nessun comportamento comune

Indica il limite: Per il limite in $2$ non possiamo scrivere né $\infty$ né $-\infty$ = Il limite in $2$ non esiste

Answer: Sinistra: $-\infty$, destra: $\infty$. Il limite $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$ non esiste (e non si scrive $\infty$). La retta $x = 2$ è comunque un asintoto verticale.

Studio del segno senza tabella

Calcola $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3}$ e $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3}$.

Numeratore in $x = 3$: $3 + 1 = 4$ = Tende a $4$ (positivo, non $0$)

Denominatore in $x = 3$: $3 - 3 = 0$ = Tende a $0$: il limite è infinito

Segno del denominatore per $x < 3$: Per esempio $x = 2{,}99$: $2{,}99 - 3 = -0{,}01$ = Piccolo numero negativo

Limite sinistro: $\frac{\text{positivo}}{\text{piccolo negativo}}$; verifica: $\frac{3{,}99}{-0{,}01} = -399$ = $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$

Limite destro: Per $x > 3$ il denominatore è un piccolo numero positivo; verifica: $\frac{4{,}01}{0{,}01} = 401$ = $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$

Answer: $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$ e $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$. Il grafico ha un asintoto verticale in $x = 3$: scende a sinistra e sale a destra.

Asintoto o buco?

Trova gli asintoti verticali di $f(x) = \frac{x-2}{x^2-x-2}$ e descrivi il comportamento vicino a ogni zero del denominatore.

Scomponi il denominatore: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ = Zeri in $x = 2$ e $x = -1$

Controlla il numeratore in $x = 2$: $2 - 2 = 0$: è la forma $\frac{0}{0}$ = Non è automaticamente un asintoto

Semplifica: $\frac{x-2}{(x-2)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$ per $x \neq 2$, quindi $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}$ = Un buco in $\left(2, \frac{1}{3}\right)$

Controlla il numeratore in $x = -1$: $-1 - 2 = -3 \neq 0$, denominatore $0$ = Asintoto verticale $x = -1$

Segni vicino a $x = -1$: Con $\frac{1}{x+1}$: per $x > -1$ il denominatore è piccolo e positivo, per $x < -1$ piccolo e negativo = $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$

Answer: L'unico asintoto verticale è $x = -1$ (a destra $\infty$, a sinistra $-\infty$). In $x = 2$ il grafico ha un buco, perché lì il limite è il numero $\frac{1}{3}$.

Un numeratore negativo su un quadrato

Calcola $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2}$.

Numeratore in $x = -4$: $-4 - 1 = -5$ = Tende a $-5$ (negativo)

Denominatore vicino a $x = -4$: $(x+4)^2$ tende a $0$ ed è un quadrato, quindi è positivo da entrambi i lati = Piccolo numero positivo da entrambi i lati

Combina i segni: $\frac{\text{negativo}}{\text{piccolo positivo}}$; verifica: $x = -3{,}9$ dà $\frac{-4{,}9}{0{,}01} = -490$ = Entrambi i limiti unilaterali sono $-\infty$

Answer: $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2} = -\infty$. Entrambi i lati scendono, quindi il limite si scrive $-\infty$, e $x = -4$ è un asintoto verticale.

Mistake: Dire «il limite esiste e vale $\infty$»

Why: $\infty$ non è un numero reale. Scrivere $= \infty$ descrive solo come cresce la funzione; il limite non esiste come numero.

Correct: Di' «$f(x)$ cresce senza limite per $x \to a$» oppure «il limite è $\infty$», e ricorda che un limite uguale a $\infty$ non è un limite che esiste.

Mistake: Scrivere $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Why: Da sinistra i valori tendono a $-\infty$, da destra a $\infty$. Puoi scrivere $\infty$ per il limite solo quando entrambi i lati tendono a $\infty$.

Correct: Indica entrambi i limiti unilaterali ($-\infty$ e $\infty$) e di' che il limite in $2$ non esiste.

Mistake: Pensare che ogni zero del denominatore sia un asintoto verticale

Why: Se anche il numeratore vale $0$ in quel punto, l'espressione ha la forma $\frac{0}{0}$ e si può semplificare. Allora il limite può essere un numero e il grafico ha solo un buco.

Correct: Controlla prima il numeratore: denominatore $0$ e numeratore diverso da $0$ significa asintoto verticale; entrambi $0$ significa semplificare e ricontrollare.

Mistake: Scegliere il segno guardando solo il denominatore

Why: Un numeratore negativo ribalta il risultato: $\frac{-5}{\text{piccolo positivo}}$ tende a $-\infty$, non a $\infty$.

Correct: Trova il segno del numeratore e quello del denominatore dal lato che stai studiando, poi combinali come in una divisione.

La forza elettrica a piccole distanze

La forza tra due particelle cariche è inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza, quindi cresce senza limite quando la distanza si riduce a zero.

Con $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (in newton, $r$ in metri), dimezzare la distanza quadruplica la forza, e $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$.

Eliminare le ultime impurità

Depurare l'acqua diventa sempre più difficile man mano che ci si avvicina alla purezza totale. I modelli dello sforzo hanno spesso un asintoto verticale al 100%.

Se filtrare il $p$ per cento delle impurità richiede $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minuti, allora $T(50) = 50$ minuti, ma $T(90) = 450$ minuti.

Immagini formate da una lente

Per una lente con distanza focale $f$, la distanza dell'immagine è $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Quando l'oggetto si avvicina al fuoco, l'immagine si allontana all'infinito.

Per $f = 10$ cm: un oggetto a $d_o = 20$ cm dà un'immagine a $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, e $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$.

Q: Se il limite è $\infty$, il limite esiste?

A: No. Un limite esiste solo quando è un numero reale. Scrivere $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ è un modo più preciso di dire «il limite non esiste perché i valori crescono senza limite verso il positivo».

Q: Che differenza c'è tra un limite infinito e un limite all'infinito?

A: In un limite infinito $x$ tende a un numero e $f(x)$ esplode: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. In un limite all'infinito è $x$ stesso a crescere senza limite: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. Il primo dà asintoti verticali, il secondo asintoti orizzontali.

Q: Un grafico può attraversare un asintoto verticale?

A: No. In un asintoto verticale $x = a$ i valori della funzione esplodono vicino ad $a$, e di solito $f(a)$ non è nemmeno definita. (Gli asintoti orizzontali sono diversi: un grafico può attraversarli.)

Q: Perché una potenza pari al denominatore dà lo stesso segno da entrambi i lati?

A: Un quadrato (o qualsiasi potenza pari) non è mai negativo. Vicino ad $a$, $(x-a)^2$ è un piccolo numero positivo da entrambi i lati, quindi il segno del quoziente dipende solo dal numeratore.