Limiti infiniti

Scopri cosa significa che una funzione cresce senza limite vicino a un punto, come trovare il segno studiando il denominatore e come i limiti infiniti creano asintoti verticali.

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Definizione

Un limite infinito descrive una funzione i cui valori crescono senza limite quando xx tende a un numero aa.
lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty
significa: quando xx si avvicina ad aa (da entrambi i lati), f(x)f(x) diventa più grande di qualsiasi numero tu possa indicare. Allo stesso modo, lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty significa che f(x)f(x) diventa più piccolo di qualsiasi numero tu possa indicare.
Le versioni unilaterali funzionano allo stesso modo: lim⁡x→a−f(x)=∞\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty guarda solo x<ax < a, e lim⁡x→a+f(x)=−∞\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty guarda solo x>ax > a.
Importante: ∞\infty non è un numero. Scrivere lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty ti dice *come* il limite non esiste come numero reale: i valori esplodono verso il positivo. Il limite non esiste come numero.
Asintoto verticale: la retta x=ax = a è un asintoto verticale di ff se almeno uno dei limiti unilaterali in aa è ∞\infty o −∞-\infty. Per una funzione razionale p(x)q(x)\frac{p(x)}{q(x)} questo succede dove q(a)=0q(a) = 0 ma p(a)≠0p(a) \neq 0.
Studio del segno: quando il numeratore tende a un numero diverso da zero e il denominatore tende a 00, il quoziente cresce senza limite in valore assoluto. Il suo segno dipende dai segni delle due parti:
  • positivo diviso un piccolo numero positivo: ∞\infty
  • positivo diviso un piccolo numero negativo: −∞-\infty
  • negativo diviso un piccolo numero positivo: −∞-\infty
  • negativo diviso un piccolo numero negativo: ∞\infty

Prova subito

Calcola lim⁡x→01x2\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}.

Esempi svolti

Calcola lim⁡x→21(x−2)2\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}.

1

Prova la sostituzione diretta

1(2−2)2=10\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}: il numeratore è 11, il denominatore è 00 → Non è un numero: guardiamo più da vicino

2

Tabella dei valori da sinistra

x=1,9x = 1{,}9: 10,01=100\frac{1}{0{,}01} = 100; x=1,99x = 1{,}99: 10,0001=10000\frac{1}{0{,}0001} = 10000 → I valori crescono senza limite

3

Tabella dei valori da destra

x=2,1x = 2{,}1: 100100; x=2,01x = 2{,}01: 1000010000 → I valori crescono senza limite

4

Usa il segno

(x−2)2(x-2)^2 è un quadrato, quindi è positivo da entrambi i lati di 22 → Entrambi i limiti unilaterali sono ∞\infty

Errori comuni

Dire «il limite esiste e vale ∞\infty»

Perché è sbagliato: ∞\infty non è un numero reale. Scrivere =∞= \infty descrive solo come cresce la funzione; il limite non esiste come numero.

Corretto: Di' «f(x)f(x) cresce senza limite per x→ax \to a» oppure «il limite è ∞\infty», e ricorda che un limite uguale a ∞\infty non è un limite che esiste.

Scrivere lim⁡x→21x−2=∞\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty

Perché è sbagliato: Da sinistra i valori tendono a −∞-\infty, da destra a ∞\infty. Puoi scrivere ∞\infty per il limite solo quando entrambi i lati tendono a ∞\infty.

Corretto: Indica entrambi i limiti unilaterali (−∞-\infty e ∞\infty) e di' che il limite in 22 non esiste.

Pensare che ogni zero del denominatore sia un asintoto verticale

Perché è sbagliato: Se anche il numeratore vale 00 in quel punto, l'espressione ha la forma 00\frac{0}{0} e si può semplificare. Allora il limite può essere un numero e il grafico ha solo un buco.

Corretto: Controlla prima il numeratore: denominatore 00 e numeratore diverso da 00 significa asintoto verticale; entrambi 00 significa semplificare e ricontrollare.

Scegliere il segno guardando solo il denominatore

Perché è sbagliato: Un numeratore negativo ribalta il risultato: −5piccolo positivo\frac{-5}{\text{piccolo positivo}} tende a −∞-\infty, non a ∞\infty.

Corretto: Trova il segno del numeratore e quello del denominatore dal lato che stai studiando, poi combinali come in una divisione.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-2-10123456-10-50510xyx = 2y = 0

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Asintoto

Tabella dei valori

x1,91,9922,012,1
1/(x - 2)-10-100non def.10010
1/(x - 2)²10010000non def.10000100

Grafico della funzione

-4-2024-505xyx = -1y = 0

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = (x - 2)/(x² - x - 2)Asintoto

Tabella dei valori

x-1,1-1,01-0,99-0,91,992,01
y-10-100100100,3344480,332226

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi
Problema 1 di 18
Facile

Calcola lim⁡x→01x2\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}.

Perché è importante

I limiti infiniti descrivono situazioni in cui una grandezza esplode avvicinandosi a un valore critico:
  • Fisica: la forza tra due cariche, F=kr2F = \frac{k}{r^2}, cresce senza limite quando la distanza rr tende a 00
  • Ottica: quando un oggetto è posto vicino al fuoco di una lente, l'immagine si allontana all'infinito
  • Ambiente: il costo o il tempo per eliminare l'ultima percentuale di un inquinante spesso cresce senza limite avvicinandosi al 100%
  • Grafici: i limiti infiniti ti dicono esattamente dove si trovano gli asintoti verticali di una funzione razionale e in che direzione va il grafico da ogni lato
In analisi userai i limiti infiniti per disegnare grafici, descrivere discontinuità e lavorare con gli integrali impropri.

Applicazioni nel mondo reale

La forza elettrica a piccole distanze

La forza tra due particelle cariche è inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza, quindi cresce senza limite quando la distanza si riduce a zero.

Esempio:

Con F(r)=100r2F(r) = \frac{100}{r^2} (in newton, rr in metri), dimezzare la distanza quadruplica la forza, e lim⁡r→0+F(r)=∞\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty.

1Provaci tu stesso

Due particelle cariche si respingono con una forza di F(r)=100r2F(r) = \frac{100}{r^2} newton, dove rr è la distanza in metri.

Quanto vale la forza, in newton, a una distanza di r=0,1r = 0{,}1 metri?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola F(0,1)F(0{,}1):

Eliminare le ultime impurità

Depurare l'acqua diventa sempre più difficile man mano che ci si avvicina alla purezza totale. I modelli dello sforzo hanno spesso un asintoto verticale al 100%.

Esempio:

Se filtrare il pp per cento delle impurità richiede T(p)=50p100−pT(p) = \frac{50p}{100-p} minuti, allora T(50)=50T(50) = 50 minuti, ma T(90)=450T(90) = 450 minuti.

2Provaci tu stesso

Un filtro impiega T(p)=50p100−pT(p) = \frac{50p}{100-p} minuti per eliminare il pp per cento delle impurità da un serbatoio d'acqua.

A cosa tende T(p)T(p) per p→100−p \to 100^-?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Scegli il valore di lim⁡p→100−T(p)\lim_{p \to 100^-} T(p):

Immagini formate da una lente

Per una lente con distanza focale $f$, la distanza dell'immagine è $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Quando l'oggetto si avvicina al fuoco, l'immagine si allontana all'infinito.

Esempio:

Per f=10f = 10 cm: un oggetto a do=20d_o = 20 cm dà un'immagine a di=20010=20d_i = \frac{200}{10} = 20 cm, e lim⁡do→10+di=∞\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty.

3Provaci tu stesso

Una lente d'ingrandimento ha distanza focale 1010 cm, quindi la distanza dell'immagine è di=10 dodo−10d_i = \frac{10 \, d_o}{d_o - 10} cm.

Qual è la distanza dell'immagine, in cm, quando l'oggetto è a do=11d_o = 11 cm?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola did_i per do=11d_o = 11:

Punti chiave

  • 1lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty significa che f(x)f(x) cresce senza limite quando xx tende ad aa; −∞-\infty significa che decresce senza limite
  • 2∞\infty non è un numero: un limite uguale a ∞\infty o −∞-\infty non esiste come numero reale
  • 3Se il numeratore tende a un numero diverso da zero e il denominatore a 00, il limite è infinito; lo studio del segno decide tra ∞\infty e −∞-\infty
  • 4Studia ogni lato separatamente: se sinistra e destra vanno in direzioni diverse, il limite non esiste e non si scrive ∞\infty
  • 5x=ax = a è un asintoto verticale quando almeno un limite unilaterale in aa è ∞\infty o −∞-\infty
  • 6Uno zero del denominatore in cui anche il numeratore vale 00 può essere un buco e non un asintoto: semplifica prima

Domande frequenti

No. Un limite esiste solo quando è un numero reale. Scrivere lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty è un modo più preciso di dire «il limite non esiste perché i valori crescono senza limite verso il positivo».
No. Un limite esiste solo quando è un numero reale. Scrivere lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty è un modo più preciso di dire «il limite non esiste perché i valori crescono senza limite verso il positivo».
In un limite infinito xx tende a un numero e f(x)f(x) esplode: lim⁡x→21(x−2)2=∞\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty. In un limite all'infinito è xx stesso a crescere senza limite: lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0. Il primo dà asintoti verticali, il secondo asintoti orizzontali.
No. In un asintoto verticale x=ax = a i valori della funzione esplodono vicino ad aa, e di solito f(a)f(a) non è nemmeno definita. (Gli asintoti orizzontali sono diversi: un grafico può attraversarli.)
Un quadrato (o qualsiasi potenza pari) non è mai negativo. Vicino ad aa, (x−a)2(x-a)^2 è un piccolo numero positivo da entrambi i lati, quindi il segno del quoziente dipende solo dal numeratore.

Glossario

Limite infinito
Un limite in cui f(x)f(x) cresce (o decresce) senza limite per x→ax \to a; si scrive lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty o −∞-\infty
Asintoto verticale
Una retta verticale x=ax = a a cui il grafico si avvicina mentre i suoi valori tendono a ∞\infty o −∞-\infty almeno da un lato
Studio del segno
Stabilire se numeratore e denominatore sono positivi o negativi vicino ad aa per decidere tra ∞\infty e −∞-\infty
Cresce senza limite
Diventa più grande di qualsiasi numero si possa indicare; è questo il significato di →∞\to \infty
Non esiste
Il limite non è un numero reale, per esempio perché i valori esplodono o perché i due lati non sono d'accordo

Scheda formule

Criterio del limite infinito

lim⁡x→a±p(x)q(x)=±∞ se p(a)≠0, q(a)=0\lim_{x \to a^{\pm}} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty \text{ se } p(a) \neq 0,\ q(a) = 0

Numeratore diverso da zero su un denominatore che tende a $0$: ogni limite unilaterale è $\infty$ o $-\infty$, decidono i segni; il limite bilaterale è $\pm\infty$ solo se i due lati coincidono

Potenza dispari

lim⁡x→a−1x−a=−∞,lim⁡x→a+1x−a=∞\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty, \quad \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = \infty

I due lati vanno in direzioni opposte, quindi il limite in $a$ non esiste

Potenza pari

lim⁡x→a1(x−a)2=∞\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^2} = \infty

Un quadrato è positivo da entrambi i lati, quindi entrambi i lati tendono a $\infty$

Asintoto verticale

x=a se lim⁡x→a−f(x) o lim⁡x→a+f(x) vale ±∞x = a \text{ se } \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ o } \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ vale } \pm\infty

Basta un solo limite unilaterale infinito

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