Un termine che svanisce

Calcola $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$.

Prova alcuni valori grandi di x: $x = 10$: $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$; $x = 100$: $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ = I valori si avvicinano a $3$

Usa la regola di base: $\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ e $\frac{1}{x^2} \to 0$ = $\frac{5}{x^2} \to 0$

Somma i limiti: $3 + 0$ = $3$

Answer: $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$, quindi $y = 3$ è un asintoto orizzontale.

Gradi uguali: rapporto dei coefficienti direttivi

Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$.

Confronta i gradi: Numeratore: grado $2$. Denominatore: grado $2$ = Gradi uguali

Dividi ogni termine per $x^2$: $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = \frac{6 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}}$ = Cambiano solo le frazioni con $x$ al denominatore

Fai crescere x senza limite: $\frac{1}{x^2} \to 0$ e $\frac{5}{x^2} \to 0$, quindi l'espressione tende a $\frac{6 - 0}{2 + 0}$ = $\frac{6}{2} = 3$

Verifica con un valore grande: $x = 100$: $\frac{59999}{20005} \approx 2{,}9992$ = Molto vicino a $3$

Answer: $\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = 3$. L'asintoto orizzontale è $y = 3$.

Grado minore al numeratore

Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$.

Confronta i gradi: Numeratore: grado $1$. Denominatore: grado $2$ = Il denominatore cresce più in fretta

Dividi ogni termine per $x^2$: $\frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = Numeratore $\to 0$, denominatore $\to 1$

Trova il limite: $\frac{0 + 0}{1 + 0}$ = $0$

Answer: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1} = 0$, quindi $y = 0$ (l'asse $x$) è l'asintoto orizzontale. Per $x = 100$ il valore è $\frac{301}{10001} \approx 0{,}03$.

Verso meno infinito

Calcola $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3}$.

Trova i termini di grado massimo: Numeratore: $4x^3$. Denominatore: $-8x^3$ (la potenza più alta, anche se è scritta per ultima) = Entrambi hanno grado $3$

Dividi ogni termine per $x^3$: $\frac{4 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x^3} - 8}$ = Le frazioni piccole tendono a $0$ anche per $x \to -\infty$

Fai il rapporto dei coefficienti direttivi: $\frac{4}{-8}$ = $-\frac{1}{2}$

Verifica con un valore: $x = -10$: $\frac{-3990}{8002} \approx -0{,}4986$ = Vicino a $-0{,}5$

Answer: $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} = -\frac{1}{2}$. L'asintoto orizzontale è $y = -\frac{1}{2}$ (da entrambe le parti).

Grado maggiore al numeratore: nessun limite finito

Descrivi $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2 + 1}$.

Confronta i gradi: Numeratore: grado $3$. Denominatore: grado $2$ = Il numeratore cresce più in fretta

Dividi ogni termine per $x^2$: $\frac{x}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = Il denominatore $\to 1$, ma il numeratore $x$ continua a crescere

Prova valori grandi: $x = 10$: $\frac{1000}{101} \approx 9{,}9$; $x = 100$: $\frac{1000000}{10001} \approx 99{,}99$ = I valori crescono senza limite

Answer: Non c'è un limite finito: $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ cresce senza limite, e si scrive $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2 + 1} = +\infty$. Il grafico non ha asintoto orizzontale. (Approfondimento oltre questa lezione: molto a destra il grafico segue la retta obliqua $y = x$.)

Mistake: Sostituire l'infinito: $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Why: $\infty$ non è un numero, quindi non puoi sostituirlo né semplificarlo. Numeratore e denominatore possono crescere a velocità molto diverse: è una forma indeterminata.

Correct: Dividi prima per la potenza più alta di $x$. Per $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ il limite è $3$, non $1$.

Mistake: Usare il primo coefficiente scritto invece di quello direttivo: $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Why: Il coefficiente direttivo appartiene al termine con la potenza più alta, ovunque si trovi nell'espressione.

Correct: Il termine di grado massimo di $2 - 8x^3$ è $-8x^3$, quindi il limite è $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$.

Mistake: Scambiare le regole: "grado minore sopra significa nessun limite"

Why: Quando il denominatore ha il grado maggiore, cresce molto più in fretta e spinge la frazione verso $0$.

Correct: Grado minore sopra: limite $0$. Grado maggiore sopra: nessun limite finito. Gradi uguali: rapporto dei coefficienti direttivi.

Mistake: Credere che un grafico non possa mai attraversare il suo asintoto orizzontale

Why: Un asintoto orizzontale descrive solo il grafico all'estrema sinistra e all'estrema destra. Nella parte centrale la curva può attraversarlo.

Correct: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ ha l'asintoto $y = 0$ e tuttavia lo attraversa in $x = -\frac{1}{3}$.

Il caffè che si raffredda

La legge di raffreddamento di Newton dice che una bevanda calda si raffredda verso la temperatura della stanza. La temperatura a lungo termine è un limite all'infinito.

Una tazza di tè segue $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (gradi Celsius, $t$ in minuti). Poiché $e^{-0{,}05t} \to 0$, il tè si avvicina a $22°C$.

Costo medio in un laboratorio

I costi fissi (affitto, macchinari) si dividono tra tutti i pezzi prodotti. Più pezzi si producono, più piccola è la quota di ciascuno, quindi il costo medio si avvicina al costo del materiale per pezzo.

Una pasticceria con 300 € di costi fissi al giorno e 2 € di ingredienti per torta ha un costo medio $\frac{300 + 2x}{x}$, che si avvicina a 2 € per torta.

Concentrazione di sale in una vasca

Gli ingegneri chimici modellano come cambia una miscela nel tempo. Quando acqua salata entra continuamente in una vasca, la concentrazione si stabilizza su un valore fisso.

Se il sale in una vasca cresce come $50t$ grammi e il volume è $100 + 2t$ litri, la concentrazione $\frac{50t}{100 + 2t}$ tende a $\frac{50}{2} = 25$ grammi al litro.

Q: Posso semplicemente sostituire un numero molto grande invece di calcolare il limite?

A: Un numero grande come $x = 1000$ è un buon controllo e spesso mostra la tendenza, ma non è una dimostrazione. Il calcolo (dividere per la potenza più alta) dà il valore esatto, per esempio esattamente $3$ invece di $2{,}9992$.

Q: I limiti a $+\infty$ e a $-\infty$ sono sempre uguali?

A: Per le funzioni razionali con limite finito sì: entrambe le parti danno lo stesso asintoto orizzontale. Altre funzioni possono essere diverse. Per esempio $e^{-x} \to 0$ per $x \to +\infty$, ma $e^{-x}$ cresce senza limite per $x \to -\infty$.

Q: Un grafico può attraversare il suo asintoto orizzontale?

A: Sì. L'asintoto descrive solo il comportamento all'estrema sinistra o all'estrema destra. Il grafico di $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ attraversa $y = 0$ in $x = -\frac{1}{3}$ e poi si riavvicina alla retta.

Q: Che cosa succede quando il grado del numeratore supera esattamente di uno quello del denominatore?

A: Questo è un approfondimento che va oltre questa lezione. In quel caso non c'è un asintoto orizzontale, ma il grafico si avvicina a una retta inclinata (un asintoto obliquo). Per $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ è la retta $y = x$. Si trova con la divisione tra polinomi.