I limiti a $+\infty$ e a $-\infty$ sono sempre uguali?

Per le funzioni razionali con limite finito sì: entrambe le parti danno lo stesso asintoto orizzontale. Altre funzioni possono essere diverse. Per esempio $e^{-x} \to 0$ per $x \to +\infty$, ma $e^{-x}$ cresce senza limite per $x \to -\infty$.

Un grafico può attraversare il suo asintoto orizzontale?

Sì. L'asintoto descrive solo il comportamento all'estrema sinistra o all'estrema destra. Il grafico di $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ attraversa $y = 0$ in $x = -\frac{1}{3}$ e poi si riavvicina alla retta.

Che cosa succede quando il grado del numeratore supera esattamente di uno quello del denominatore?

Questo è un approfondimento che va oltre questa lezione. In quel caso non c'è un asintoto orizzontale, ma il grafico si avvicina a una retta inclinata (un asintoto obliquo). Per $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ è la retta $y = x$. Si trova con la divisione tra polinomi.

Risorse per insegnanti

Limiti all'infinito

Q: Posso semplicemente sostituire un numero molto grande invece di calcolare il limite?

Un numero grande come $x = 1000$ è un buon controllo e spesso mostra la tendenza, ma non è una dimostrazione. Il calcolo (dividere per la potenza più alta) dà il valore esatto, per esempio esattamente $3$ invece di $2{,}9992$.

Scopri a quale valore tende una funzione quando x cresce senza limite, confronta i gradi delle funzioni razionali e collega i limiti all'infinito agli asintoti orizzontali.

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un limite all'infinito descrive che cosa succede a

f(x)

quando

x

cresce senza limite (o decresce senza limite).

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L

significa: quando

x

assume valori sempre più grandi (

10, 100, 1000, \ldots

), i valori

f(x)

si avvicinano a

L

quanto vogliamo. Allo stesso modo,

\lim_{x \to -\infty} f(x) = L

considera

x = -10, -100, -1000, \ldots

(si scrive anche

x \to \infty

per

x \to +\infty

Quando esiste un limite finito di questo tipo, la retta

y = L

è un asintoto orizzontale del grafico.

Il mattone fondamentale: per ogni esponente positivo

n

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0

Un numero fisso diviso per un numero enorme è piccolissimo. Inoltre

\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0

, perché

e^{-x} = \frac{1}{e^x}

Funzioni razionali: confronta il grado del numeratore (

n

) con il grado del denominatore (

m

$n < m$ : il limite è $0$ (asintoto $y = 0$ )
$n = m$ : il limite è il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo
$n > m$ : non c'è un limite finito (nessun asintoto orizzontale)

Perché funziona: dividi ogni termine per la potenza più alta di

x

del denominatore. Ogni termine della forma

\frac{c}{x^k}

tende a

0

e restano solo i termini di grado massimo. Per esempio,

\frac{2x^2 + 1}{x^2 + 3} = \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \to \frac{2}{1} = 2

Prova subito

Calcola

\lim_{x \to +\infty} \frac{7}{x^3}

Esempi svolti

Calcola $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$ .

Prova alcuni valori grandi di x

$x = 10$ : $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$ ; $x = 100$ : $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ → I valori si avvicinano a $3$

Usa la regola di base

$\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ e $\frac{1}{x^2} \to 0$ → $\frac{5}{x^2} \to 0$

Somma i limiti

$3 + 0$ → $3$

Risposta: $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$ , quindi $y = 3$ è un asintoto orizzontale.

Errori comuni

Sostituire l'infinito: $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Perché è sbagliato: $\infty$ non è un numero, quindi non puoi sostituirlo né semplificarlo. Numeratore e denominatore possono crescere a velocità molto diverse: è una forma indeterminata.

Corretto: Dividi prima per la potenza più alta di $x$ . Per $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ il limite è $3$ , non $1$ .

Usare il primo coefficiente scritto invece di quello direttivo: $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Perché è sbagliato: Il coefficiente direttivo appartiene al termine con la potenza più alta, ovunque si trovi nell'espressione.

Corretto: Il termine di grado massimo di $2 - 8x^3$ è $-8x^3$ , quindi il limite è $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$ .

Scambiare le regole: "grado minore sopra significa nessun limite"

Perché è sbagliato: Quando il denominatore ha il grado maggiore, cresce molto più in fretta e spinge la frazione verso $0$ .

Corretto: Grado minore sopra: limite $0$ . Grado maggiore sopra: nessun limite finito. Gradi uguali: rapporto dei coefficienti direttivi.

Credere che un grafico non possa mai attraversare il suo asintoto orizzontale

Perché è sbagliato: Un asintoto orizzontale descrive solo il grafico all'estrema sinistra e all'estrema destra. Nella parte centrale la curva può attraversarlo.

Corretto: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ ha l'asintoto $y = 0$ e tuttavia lo attraversa in $x = -\frac{1}{3}$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

a = 2

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = (a·x² + 1)/(x² + 3)Asintoto

Tabella dei valori

x	-1000	-100	-10	0	10	100	1000
y	2	1,9995	1,95146	0,333333	1,95146	1,9995	2

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Asintoto

Tabella dei valori

x	10	100	1000
grado 1 / grado 2	0,306931	0,030097	0,003001
grado 2 / grado 2	2,92195	2,9992	2,99999
grado 3 / grado 2	9,90099	99,99	999,999
2 + 5e^(−x)	2,00023	2	2

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{7}{x^3}$ .

Perché è importante

I limiti all'infinito rispondono alla domanda "che cosa succede a lungo termine?":

Scienze: un caffè caldo si raffredda verso la temperatura della stanza; il limite del suo modello di temperatura è proprio la temperatura ambiente
Economia: il costo medio per pezzo scende verso il costo del materiale quando la produzione cresce, perché i costi fissi si distribuiscono su molti pezzi
Medicina e chimica: le concentrazioni in una vasca di miscelazione o nel sangue si stabilizzano su un livello fisso
Disegnare grafici: gli asintoti orizzontali mostrano a colpo d'occhio il comportamento all'infinito delle funzioni razionali
Analisi: gli integrali impropri, le serie e molti modelli della fisica si basano sui limiti all'infinito

Questa lezione si basa sulle lezioni «Introduzione ai limiti» e «Notazione dei limiti»: lì hai incontrato il simbolo

x \to \infty

, qui impari a calcolare questi limiti in modo rapido e sicuro.

Applicazioni nel mondo reale

Il caffè che si raffredda

La legge di raffreddamento di Newton dice che una bevanda calda si raffredda verso la temperatura della stanza. La temperatura a lungo termine è un limite all'infinito.

Esempio:

Una tazza di tè segue $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (gradi Celsius, $t$ in minuti). Poiché $e^{-0{,}05t} \to 0$ , il tè si avvicina a $22°C$ .

1Provaci tu stesso

Un caffè appena preparato ha la temperatura $T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}$ gradi Celsius dopo $t$ minuti.

A quale temperatura si avvicina il caffè a lungo termine?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\lim_{t \to +\infty} T(t)$ :

Costo medio in un laboratorio

I costi fissi (affitto, macchinari) si dividono tra tutti i pezzi prodotti. Più pezzi si producono, più piccola è la quota di ciascuno, quindi il costo medio si avvicina al costo del materiale per pezzo.

Esempio:

Una pasticceria con 300 € di costi fissi al giorno e 2 € di ingredienti per torta ha un costo medio $\frac{300 + 2x}{x}$ , che si avvicina a 2 € per torta.

2Provaci tu stesso

Un laboratorio di ceramica ha costi fissi di 5000 €, e ogni tazza costa 12 € di argilla e smalto. Il costo medio di $x$ tazze è $C(x) = \frac{5000 + 12x}{x}$ euro.

A che cosa tende il costo medio per tazza quando il numero di tazze cresce senza limite?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ in euro:

Concentrazione di sale in una vasca

Gli ingegneri chimici modellano come cambia una miscela nel tempo. Quando acqua salata entra continuamente in una vasca, la concentrazione si stabilizza su un valore fisso.

Esempio:

Se il sale in una vasca cresce come $50t$ grammi e il volume è $100 + 2t$ litri, la concentrazione $\frac{50t}{100 + 2t}$ tende a $\frac{50}{2} = 25$ grammi al litro.

3Provaci tu stesso

Una vasca contiene 200 litri di acqua pura. Acqua salata con 30 grammi di sale per litro entra a 4 litri al minuto (e non esce nulla). Dopo $t$ minuti la concentrazione è $C(t) = \frac{120t}{200 + 4t}$ grammi al litro.

A quale concentrazione si avvicina la vasca a lungo termine?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ in grammi al litro:

Punti chiave

1 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ significa che $f(x)$ si avvicina a $L$ quanto vogliamo quando $x$ cresce senza limite; $x \to -\infty$ funziona allo stesso modo verso sinistra
2Fatti di base: $\frac{1}{x^n} \to 0$ per ogni $n$ positivo quando $x \to \pm\infty$ , e $e^{-x} \to 0$ quando $x \to +\infty$
3Per il limite di una funzione razionale, dividi ogni termine per la potenza più alta di $x$ del denominatore
4Grado minore sopra: limite $0$ . Gradi uguali: rapporto dei coefficienti direttivi. Grado maggiore sopra: nessun limite finito
5Un limite finito $L$ all'infinito significa che $y = L$ è un asintoto orizzontale; il grafico può comunque attraversarlo nella parte centrale
6Non sostituire mai $\infty$ : espressioni come $\frac{\infty}{\infty}$ sono forme indeterminate

Domande frequenti

Un numero grande come

x = 1000

è un buon controllo e spesso mostra la tendenza, ma non è una dimostrazione. Il calcolo (dividere per la potenza più alta) dà il valore esatto, per esempio esattamente

3

invece di

2{,}9992

Glossario

Limite all'infinito: Il valore $L$ a cui tende $f(x)$ per $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ , scritto $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$
Asintoto orizzontale: Una retta orizzontale $y = L$ a cui il grafico si avvicina all'estrema sinistra o all'estrema destra, dove $L$ è un limite all'infinito
Grado: La potenza più alta di $x$ in un polinomio, per esempio $3$ in $4x^3 - x$
Termine di grado massimo: Il termine con la potenza più alta di $x$ ; il suo numero è il coefficiente direttivo (in $2 - 8x^3$ è $-8x^3$ )
Comportamento all'infinito: Come si comportano i valori di una funzione quando $x$ cresce senza limite in una delle due direzioni

Scheda formule

Reciproci delle potenze

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{c}{x^n} = 0 \quad (n > 0)

Un numero fisso diviso per una potenza sempre più grande si avvicina a zero

Decadimento esponenziale

\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0

Perché $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ e $e^x$ cresce senza limite

Grado minore sopra

n < m: \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = 0

Asintoto orizzontale $y = 0$

Gradi uguali

n = m: \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = \frac{a_n}{b_m}

Asintoto orizzontale al rapporto dei coefficienti direttivi

Grado maggiore sopra

n > m: \ \text{nessun limite finito}

I valori crescono senza limite in valore assoluto, nessun asintoto orizzontale

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Grafico della funzione

Tabella dei valori

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Tabella dei valori

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Graficatore interattivo

Calcolatrice di espressioni

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Perché è importante

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Il caffè che si raffredda

Costo medio in un laboratorio

Concentrazione di sale in una vasca

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Domande frequenti

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Reciproci delle potenze

Decadimento esponenziale

Grado minore sopra

Gradi uguali

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