Limite di un polinomio

Calcola $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3)$.

Riconosci il tipo di funzione: $x^2 - 2x + 3$ è un polinomio, definito per ogni $x$ = La sostituzione diretta funziona

Sostituisci $x = 3$: $3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3$ = $6$

Scrivi il limite: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ = Il limite è $6$

Answer: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$. Nel primo grafico il punto $(3, 6)$ sta sulla curva e i valori della tabella si avvicinano a $6$.

Funzione razionale, denominatore non nullo

Calcola $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x + 3}$.

Controlla il denominatore in $x = 2$: $2 + 3 = 5 \neq 0$ = Vale il teorema del quoziente

Sostituisci nel numeratore: $2^2 + 1 = 5$ = $5$

Dividi: $\frac{5}{5} = 1$ = $1$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x + 3} = 1$

0/0: scomporre e semplificare

Calcola $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$.

Prova la sostituzione diretta: $\frac{9 - 3 - 6}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ = Forma indeterminata: prima riscrivi

Scomponi il numeratore: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ = Fattore comune $(x - 3)$

Semplifica il fattore comune ($x \neq 3$ vicino al limite): $\frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} = x + 2$ = $x + 2$

Sostituisci di nuovo: $3 + 2$ = $5$

Answer: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$. Il secondo grafico mostra un buco in $(3, 5)$: la funzione non è definita in $3$, ma il limite è $5$.

0/0: scomporre sopra e sotto

Calcola $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 1}$.

Prova la sostituzione diretta: $\frac{1 - 4 + 3}{1 - 1} = \frac{0}{0}$ = Forma indeterminata

Scomponi entrambe le parti: $\frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 1)(x - 1)}$ = Fattore comune $(x + 1)$

Semplifica: $\frac{x + 3}{x - 1}$ = Espressione semplificata

Sostituisci $x = -1$: $\frac{-1 + 3}{-1 - 1} = \frac{2}{-2}$ = $-1$

Answer: $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 1} = -1$

0/0 con una radice: razionalizzare

Calcola $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

Prova la sostituzione diretta: $\frac{\sqrt{4} - 2}{4 - 4} = \frac{0}{0}$ = Forma indeterminata

Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato $\sqrt{x} + 2$: $\frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}$ = Il numeratore diventa $x - 4$

Semplifica $(x - 4)$: $\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ = Espressione semplificata

Sostituisci $x = 4$: $\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4} = 0{,}25$

Answer: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{1}{4}$. Il terzo grafico ha un buco in $(4;\ 0{,}25)$.

Mistake: Fermarsi a $\frac{0}{0}$ e rispondere "il limite è 0", "1" o "non esiste"

Why: $\frac{0}{0}$ non è un numero né una risposta finale. Dice solo che numeratore e denominatore hanno un fattore comune che nasconde il vero valore.

Correct: Considera $\frac{0}{0}$ un segnale: scomponi e semplifica (o razionalizza), poi sostituisci di nuovo. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$.

Mistake: Semplificare addendi invece di fattori, come $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{x - 9}{-3}$

Why: Puoi semplificare solo un fattore che moltiplica tutto il numeratore e tutto il denominatore. Una $x$ dentro una somma non è un fattore di questo tipo.

Correct: Prima scomponi: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$, quindi il limite per $x \to 3$ è $6$.

Mistake: Trattare $\frac{3}{0}$ come $\frac{0}{0}$ e provare a scomporre

Why: Quando solo il denominatore è zero, non c'è nessun fattore comune da semplificare. I valori crescono illimitatamente vicino a quella $x$.

Correct: $\frac{\text{non nullo}}{0}$ significa nessun limite finito (asintoto verticale). Solo $\frac{0}{0}$ richiede di scomporre o razionalizzare.

Mistake: Moltiplicare solo il numeratore per il coniugato

Why: Moltiplicare una sola parte cambia il valore della frazione. Si può moltiplicare per $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$, che vale 1.

Correct: Moltiplica numeratore E denominatore per il coniugato, e lascia il denominatore scomposto così puoi semplificare $(x - 4)$.

Velocità istantanea

Il tachimetro mostra la velocità in un istante. In fisica la si ottiene come limite delle velocità medie su intervalli di tempo sempre più brevi, e questo limite parte sempre come 0/0.

Un carrello si muove in modo che la sua posizione sia $s(t) = t^2 + 3t$ metri dopo $t$ secondi. La sua velocità media tra il secondo 2 e l'istante $t$ è $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$. Scomponendo si ottiene $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$.

Piastrelle quadrate che crescono

Designer e ingegneri si chiedono quanto velocemente cambia un'area quando cambia una lunghezza. Per un quadrato di lato $x$ l'area è $x^2$, e il tasso di variazione per una certa misura è un limite della forma 0/0.

Una piastrella quadrata di lato $x$ cm ha area $A(x) = x^2$ cm². Quando il lato passa da 5 cm a $x$ cm, l'area varia in media di $\frac{x^2 - 25}{x - 5}$ cm² per ogni cm di lato.

Ritmo di crescita di una pianta

I biologi descrivono la crescita con funzioni radice quadrata. Il ritmo di crescita in un certo giorno è un limite che va razionalizzato.

Una piantina è alta $h(t) = \sqrt{t}$ dm dopo $t$ giorni. La sua crescita media tra il giorno 9 e il giorno $t$ è $\frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ dm al giorno.

Q: Perché posso semplificare $(x - 3)$ se vale 0 in $x = 3$?

A: Un limite per $x \to 3$ usa solo valori di $x$ vicini a 3, mai $x = 3$ stesso. Per tutti questi valori $x - 3 \neq 0$, quindi semplificare è lecito. Le due espressioni coincidono ovunque tranne che in $x = 3$, e quel singolo punto non conta per il limite.

Q: Se ottengo $\frac{0}{0}$, il limite esiste?

A: Non puoi ancora dirlo. $\frac{0}{0}$ può nascondere qualsiasi valore: $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$, $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$. Prima semplifica, poi decidi.

Q: Quando devo razionalizzare invece di scomporre?

A: Quando lo 0 viene da una differenza con una radice quadrata, come $\sqrt{x} - 2$ o $\sqrt{x + 4} - 2$. Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato (stessi termini, segno opposto in mezzo), perché $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4$ non ha più radici.

Q: Il limite è la stessa cosa del valore della funzione?

A: Per i polinomi e per le funzioni razionali con denominatore diverso da 0, sì: è esattamente ciò che dice la sostituzione diretta. In un buco il valore della funzione non esiste, ma il limite sì (le lezioni «Continuità» e «Tipi di discontinuità» approfondiscono).