Se ottengo $\frac{0}{0}$, il limite esiste?

Non puoi ancora dirlo. $\frac{0}{0}$ può nascondere qualsiasi valore: $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$, $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$. Prima semplifica, poi decidi.

Il limite è la stessa cosa del valore della funzione?

Per i polinomi e per le funzioni razionali con denominatore diverso da 0, sì: è esattamente ciò che dice la sostituzione diretta. In un buco il valore della funzione non esiste, ma il limite sì (le lezioni «Continuità» e «Tipi di discontinuità» approfondiscono).

Risorse per insegnanti

Limiti per sostituzione diretta

Q: Perché posso semplificare $(x - 3)$ se vale 0 in $x = 3$?

Un limite per $x \to 3$ usa solo valori di $x$ vicini a 3, mai $x = 3$ stesso. Per tutti questi valori $x - 3 \neq 0$, quindi semplificare è lecito. Le due espressioni coincidono ovunque tranne che in $x = 3$, e quel singolo punto non conta per il limite.

Q: Quando devo razionalizzare invece di scomporre?

Quando lo 0 viene da una differenza con una radice quadrata, come $\sqrt{x} - 2$ o $\sqrt{x + 4} - 2$. Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato (stessi termini, segno opposto in mezzo), perché $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4$ non ha più radici.

Calcola i limiti con l'algebra: sostituisci il valore quando puoi e, se ottieni 0/0, scomponi e semplifica oppure razionalizza prima.

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

La sostituzione diretta consiste nel trovare un limite semplicemente sostituendo il valore nella funzione:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Funziona per ogni funzione polinomiale e per ogni funzione razionale il cui denominatore non si annulla in

x = a

. I loro grafici lì non hanno buchi, quindi il valore a cui la funzione tende è proprio il valore che assume.

Perché funziona: i teoremi sui limiti. Se

\lim_{x \to a} f(x)

\lim_{x \to a} g(x)

esistono, i limiti si possono separare:

somma e differenza: $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$
prodotto per una costante: $\lim (c \cdot f) = c \cdot \lim f$
prodotto: $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
quoziente: $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ , solo se $\lim g \neq 0$
potenza: $\lim f^n = (\lim f)^n$

Che cosa ti dice la sostituzione:

un numero, come $\frac{5}{5} = 1$ : quel numero è il limite
$\frac{\text{non nullo}}{0}$ , come $\frac{3}{0}$ : nessun limite finito (il grafico ha un asintoto verticale, vedi la lezione «Limiti infiniti»)
$\frac{0}{0}$ : la forma indeterminata 0/0. NON è una risposta. Ti dice che prima devi riscrivere l'espressione.

Come risolvere 0/0:

1.Scomporre e semplificare: numeratore e denominatore hanno un fattore comune $(x - a)$ . Semplificalo, poi sostituisci di nuovo.
2.Razionalizzare: con una radice come $\sqrt{x} - 2$ , moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato $\sqrt{x} + 2$ , semplifica, poi sostituisci di nuovo.

Semplificare è lecito perché il limite guarda solo valori di

x

vicini ad

a

, mai

x = a

stesso, quindi

x - a \neq 0

Prova subito

Quale limite puoi calcolare subito per sostituzione diretta?

Esempi svolti

Calcola $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3)$ .

Riconosci il tipo di funzione

$x^2 - 2x + 3$ è un polinomio, definito per ogni $x$ → La sostituzione diretta funziona

Sostituisci $x = 3$

$3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3$ → $6$

Scrivi il limite

$\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ → Il limite è $6$

Risposta: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ . Nel primo grafico il punto $(3, 6)$ sta sulla curva e i valori della tabella si avvicinano a $6$ .

Errori comuni

Fermarsi a $\frac{0}{0}$ e rispondere "il limite è 0", "1" o "non esiste"

Perché è sbagliato: $\frac{0}{0}$ non è un numero né una risposta finale. Dice solo che numeratore e denominatore hanno un fattore comune che nasconde il vero valore.

Corretto: Considera $\frac{0}{0}$ un segnale: scomponi e semplifica (o razionalizza), poi sostituisci di nuovo. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$ .

Semplificare addendi invece di fattori, come $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{x - 9}{-3}$

Perché è sbagliato: Puoi semplificare solo un fattore che moltiplica tutto il numeratore e tutto il denominatore. Una $x$ dentro una somma non è un fattore di questo tipo.

Corretto: Prima scomponi: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ , quindi il limite per $x \to 3$ è $6$ .

Trattare $\frac{3}{0}$ come $\frac{0}{0}$ e provare a scomporre

Perché è sbagliato: Quando solo il denominatore è zero, non c'è nessun fattore comune da semplificare. I valori crescono illimitatamente vicino a quella $x$ .

Corretto: $\frac{\text{non nullo}}{0}$ significa nessun limite finito (asintoto verticale). Solo $\frac{0}{0}$ richiede di scomporre o razionalizzare.

Moltiplicare solo il numeratore per il coniugato

Perché è sbagliato: Moltiplicare una sola parte cambia il valore della frazione. Si può moltiplicare per $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ , che vale 1.

Corretto: Moltiplica numeratore E denominatore per il coniugato, e lascia il denominatore scomposto così puoi semplificare $(x - 4)$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

f(x) = x² − 2x + 3

Tabella dei valori

x	2,9	2,99	3	3,01	3,1
y	5,61	5,9601	6	6,0401	6,41

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

g(x) = (x² − x − 6)/(x − 3)

Tabella dei valori

x	2,9	2,99	3,01	3,1
y	4,9	4,99	5,01	5,1

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

h(x) = (√x − 2)/(x − 4)

Tabella dei valori

x	3,9	3,99	4,01	4,1
y	0,251582	0,250156	0,249844	0,248457

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale limite puoi calcolare subito per sostituzione diretta?

Perché è importante

Nelle lezioni «Calcolare i limiti dal grafico» e «Calcolare i limiti con la tabella dei valori» hai stimato i limiti guardando. La sostituzione diretta dà il valore esatto in pochi secondi, ed è il metodo che userai più spesso in analisi.

Derivate: ogni derivata parte come un limite della forma $\frac{0}{0}$ , per esempio $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$ . Scomporre e semplificare è proprio il modo per risolverlo.
Fisica: la velocità istantanea è il limite delle velocità medie e si trova scomponendo un rapporto incrementale.
Continuità: una funzione è continua in $a$ esattamente quando lì la sostituzione diretta funziona (lezione «Continuità»).
Buchi nei grafici: il fattore che semplifichi mostra dove una funzione razionale ha un buco, e il limite ti dà la sua altezza.

Sapere quando puoi sostituire, e cosa fare quando ottieni

\frac{0}{0}

, ti evita risposte sbagliate come "il limite è 0" o "il limite non esiste".

Applicazioni nel mondo reale

Velocità istantanea

Il tachimetro mostra la velocità in un istante. In fisica la si ottiene come limite delle velocità medie su intervalli di tempo sempre più brevi, e questo limite parte sempre come 0/0.

Esempio:

Un carrello si muove in modo che la sua posizione sia $s(t) = t^2 + 3t$ metri dopo $t$ secondi. La sua velocità media tra il secondo 2 e l'istante $t$ è $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ . Scomponendo si ottiene $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$ .

1Provaci tu stesso

La posizione del carrello è $s(t) = t^2 + 3t$ metri. La sua velocità all'istante $t = 2$ secondi è $\lim_{t \to 2} \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ .

Qual è la velocità del carrello a $t = 2$ secondi, in metri al secondo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scomponi, semplifica e sostituisci: la velocità è

Piastrelle quadrate che crescono

Designer e ingegneri si chiedono quanto velocemente cambia un'area quando cambia una lunghezza. Per un quadrato di lato $x$ l'area è $x^2$, e il tasso di variazione per una certa misura è un limite della forma 0/0.

Esempio:

Una piastrella quadrata di lato $x$ cm ha area $A(x) = x^2$ cm². Quando il lato passa da 5 cm a $x$ cm, l'area varia in media di $\frac{x^2 - 25}{x - 5}$ cm² per ogni cm di lato.

2Provaci tu stesso

La rapidità con cui cresce l'area della piastrella quando il lato misura esattamente 5 cm è $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .

Di quanti cm² per cm cresce l'area con un lato di 5 cm?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scomponi $x^2 - 25$ , semplifica e sostituisci: il tasso è

Ritmo di crescita di una pianta

I biologi descrivono la crescita con funzioni radice quadrata. Il ritmo di crescita in un certo giorno è un limite che va razionalizzato.

Esempio:

Una piantina è alta $h(t) = \sqrt{t}$ dm dopo $t$ giorni. La sua crescita media tra il giorno 9 e il giorno $t$ è $\frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ dm al giorno.

3Provaci tu stesso

Il ritmo di crescita nel giorno 9 è $\lim_{t \to 9} \frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ . Moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{t} + 3$ diventa $\lim_{t \to 9} \frac{1}{\sqrt{t} + 3}$ .

Qual è il ritmo di crescita nel giorno 9, in dm al giorno?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci nell'espressione semplificata: il ritmo è

Punti chiave

1Per i polinomi, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : basta sostituire
2Per le funzioni razionali, sostituisci quando il denominatore non è 0 in $x = a$
3I teoremi sui limiti permettono di separare un limite in somme, prodotti, quozienti (limite del denominatore diverso da 0) e potenze
4 $\frac{0}{0}$ è una forma indeterminata, mai la risposta: prima riscrivi l'espressione
5Scomponi e semplifica il fattore comune $(x - a)$ , oppure moltiplica per il coniugato se c'è una radice, poi sostituisci di nuovo
6 $\frac{\text{non nullo}}{0}$ significa nessun limite finito (asintoto verticale), non un buco

Domande frequenti

Un limite per

x \to 3

usa solo valori di

x

vicini a 3, mai

x = 3

stesso. Per tutti questi valori

x - 3 \neq 0

, quindi semplificare è lecito. Le due espressioni coincidono ovunque tranne che in

x = 3

, e quel singolo punto non conta per il limite.

Glossario

Sostituzione diretta: Trovare $\lim_{x \to a} f(x)$ calcolando $f(a)$ ; funziona per i polinomi e per le funzioni razionali il cui denominatore non si annulla in $a$
Teoremi sui limiti: Regole che separano il limite di una somma, differenza, prodotto, quoziente o potenza nei limiti delle sue parti
Forma indeterminata 0/0: Il risultato $\frac{0}{0}$ dopo la sostituzione; non dà un valore e significa che l'espressione va riscritta
Coniugato: Il coniugato di $\sqrt{x} - b$ è $\sqrt{x} + b$ ; il loro prodotto $x - b^2$ non contiene radici
Razionalizzare: Moltiplicare numeratore e denominatore per un coniugato per eliminare una radice da una differenza

Scheda formule

Sostituzione diretta

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Per i polinomi, e per le funzioni razionali quando il denominatore non è 0 in $a$

Teorema del quoziente

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}

Solo se $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

Scomporre e semplificare

\frac{(x - a) \cdot p(x)}{(x - a) \cdot q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Da usare quando la sostituzione dà $\frac{0}{0}$, poi sostituisci di nuovo

Prodotto per il coniugato

(\sqrt{x} - b)(\sqrt{x} + b) = x - b^2

Per razionalizzare un limite 0/0 con una radice quadrata

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Tabella dei valori

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Graficatore interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Velocità istantanea

Piastrelle quadrate che crescono

Ritmo di crescita di una pianta

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Sostituzione diretta

Teorema del quoziente

Scomporre e semplificare

Prodotto per il coniugato

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