Leggere i limiti unilaterali da un grafico

Il grafico di $f$ mostra la retta $y = x + 1$ per $x < 1$ (pallino vuoto in $(1, 2)$) e la retta $y = x + 3$ per $x \ge 1$ (pallino pieno in $(1, 4)$). Trova $\lim_{x \to 1^-} f(x)$, $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ e $\lim_{x \to 1} f(x)$.

Segui il grafico da sinistra: Percorri la parte sinistra verso $x = 1$: le altezze si avvicinano al pallino vuoto in $y = 2$ = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Segui il grafico da destra: Percorri la parte destra verso $x = 1$: le altezze si avvicinano a $y = 4$ = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Confronta i due lati: $2 \neq 4$, quindi il grafico fa un salto in $x = 1$ = I limiti unilaterali sono diversi

Decidi sul limite in $1$: Limiti unilaterali diversi significano che non c'è un unico valore a cui la funzione si avvicina. Il pallino pieno $f(1) = 4$ non cambia nulla = $\lim_{x \to 1} f(x)$ non esiste

Answer: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$, quindi $\lim_{x \to 1} f(x)$ non esiste (anche se $f(1) = 4$).

La funzione |x|/x in zero

Trova $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}$ e $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$. Esiste $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$?

Semplifica per $x$ positivo: Se $x > 0$, allora $|x| = x$, quindi $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ = $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$

Semplifica per $x$ negativo: Se $x < 0$, allora $|x| = -x$, quindi $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$

Verifica con i numeri: $\frac{|0{,}01|}{0{,}01} = 1$ e $\frac{|-0{,}01|}{-0{,}01} = -1$ = La tabella dei valori lo conferma

Confronta: $-1 \neq 1$ = Il limite in $0$ non esiste

Answer: Il limite sinistro è $-1$ e il limite destro è $1$, quindi $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ non esiste. La funzione non è nemmeno definita in $x = 0$, ma non è questo il motivo: il motivo è che i due lati non coincidono.

Una funzione a tratti il cui limite esiste

Sia $g(x) = x^2$ per $x < 2$, $g(2) = 7$ e $g(x) = 3x - 2$ per $x > 2$. Trova $\lim_{x \to 2} g(x)$.

Lato sinistro: usa il tratto per $x < 2$: $x^2 \to 2^2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^-} g(x) = 4$

Lato destro: usa il tratto per $x > 2$: $3x - 2 \to 3 \cdot 2 - 2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^+} g(x) = 4$

Confronta i limiti unilaterali: Entrambi i lati si avvicinano a $4$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$

Guarda il valore $g(2)$: $g(2) = 7$, ma il limite considera solo i valori vicini a $2$ = Limite $4$, valore $7$

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$. Il valore isolato $g(2) = 7$ non cambia il limite; crea solo un buco con un punto separato più in alto.

Un valore assoluto al denominatore

Calcola $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ e $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$.

Scomponi il numeratore: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ = $\frac{(x - 2)(x + 2)}{|x - 2|}$

Lato destro: $x > 2$: $|x - 2| = x - 2$, quindi la frazione è $x + 2 \to 4$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$

Lato sinistro: $x < 2$: $|x - 2| = -(x - 2)$, quindi la frazione è $-(x + 2) \to -4$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$

Verifica con una tabella dei valori: $x = 2{,}01$: $\frac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01$; $x = 1{,}99$: $\frac{-0{,}0399}{0{,}01} = -3{,}99$ = Valori vicini a $4$ e vicini a $-4$

Answer: $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$ e $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$, quindi il limite in $2$ non esiste.

Scegliere una costante perché il limite esista

Sia $h(x) = 2x + k$ per $x < 3$ e $h(x) = x^2 - 1$ per $x \ge 3$. Trova $k$ in modo che $\lim_{x \to 3} h(x)$ esista.

Limite destro: $x^2 - 1 \to 3^2 - 1 = 8$ = $\lim_{x \to 3^+} h(x) = 8$

Limite sinistro (con $k$): $2x + k \to 2 \cdot 3 + k = 6 + k$ = $\lim_{x \to 3^-} h(x) = 6 + k$

Uguaglia i limiti unilaterali: $6 + k = 8$ = $k = 2$

Verifica: Con $k = 2$: a sinistra $2 \cdot 3 + 2 = 8$, a destra $8$ = $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$

Answer: $k = 2$. Allora entrambi i limiti unilaterali valgono $8$, quindi $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$.

Mistake: Prendere il pallino pieno $f(a)$ come limite

Why: Un limite descrive le altezze a cui il grafico si avvicina vicino ad $a$, non l'altezza in $a$. Nell'esempio 1, $f(1) = 4$, ma da sinistra il grafico si avvicina a $2$.

Correct: Segui ogni lato del grafico fino ad $a$ e ignora il punto in $x = a$. Usa $f(a)$ solo quando la domanda chiede il valore della funzione.

Mistake: Leggere $x \to 3^-$ come "$x$ tende a $-3$"

Why: Il piccolo segno meno è scritto dopo il numero, come esponente. Indica il lato, non il segno del numero.

Correct: $x \to 3^-$ significa $x = 2{,}9$; $2{,}99$; $2{,}999$; ... (valori minori di $3$). $x \to 3^+$ significa $x = 3{,}1$; $3{,}01$; $3{,}001$; ...

Mistake: Usare per entrambi i lati il tratto che contiene $x = a$

Why: In $f(x) = x + 1$ per $x < 1$ e $f(x) = x + 3$ per $x \ge 1$, il tratto $x + 3$ descrive solo il lato destro. Il lato sinistro è sempre dato dal tratto per $x < 1$.

Correct: Per $x \to a^-$ usa la formula per i valori appena sotto $a$; per $x \to a^+$ quella per i valori appena sopra $a$. Il segno $\le$ o $\ge$ decide solo $f(a)$.

Mistake: Dire che il limite esiste perché esistono entrambi i limiti unilaterali

Why: Nell'esempio 1 esistono entrambi i limiti unilaterali ($2$ e $4$), ma sono numeri diversi, quindi non c'è un unico valore $L$.

Correct: Il limite in $a$ esiste solo se entrambi i limiti unilaterali esistono **e** sono uguali.

Tariffe dei parcheggi

Molti parcheggi fanno pagare ogni ora iniziata, quindi il prezzo fa un salto a ogni ora piena. I limiti unilaterali descrivono il prezzo appena prima e appena dopo il salto.

Un parcheggio costa $P(t) = 3$ € per $0 < t \le 1$ ora e $P(t) = 5$ € per $1 < t \le 2$ ore. Appena prima di un'ora paghi 3 €, appena dopo 5 €.

Costruire una rampa senza gradino

Chi collega una rampa a una piattaforma deve fare in modo che le altezze dei due lati coincidano. Altrimenti resta un gradino su cui si può inciampare.

Una rampa ha altezza $h(x) = 0{,}2x$ metri per $0 \le x < 5$, e in $x = 5$ inizia una piattaforma di altezza costante $c$. Rampa e piattaforma si uniscono senza gradino esattamente quando $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$.

Piani dati per il cellulare

Un piano dati ha spesso un prezzo fisso fino a una soglia e poi un supplemento per ogni gigabyte. I limiti unilaterali mostrano se il prezzo fa un salto alla soglia.

Un piano costa $C(g) = 10$ € per $0 \le g \le 5$ GB e $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € per $g > 5$. Appena sopra 5 GB il prezzo comincia a salire, ma parte da 10.

Q: Può esistere un limite unilaterale quando il limite in $a$ non esiste?

A: Sì, ed è il caso tipico di un salto. Per $\frac{|x|}{x}$ in $0$ esistono entrambi i limiti unilaterali ($-1$ e $1$), ma il limite in $0$ non esiste, perché sono diversi.

Q: È il pallino pieno o il pallino vuoto a decidere il limite?

A: Nessuno dei due. Pallini vuoti e pieni mostrano solo il valore $f(a)$. I limiti vengono dalla curva su ciascun lato, mentre si avvicina a $x = a$.

Q: E se la funzione è definita solo da un lato?

A: Allora ha senso un solo limite unilaterale. Per $\sqrt{x}$ in $0$ non ci sono valori a sinistra, quindi usiamo $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Al bordo del dominio, il limite unilaterale è la domanda naturale.

Q: Un limite unilaterale può essere infinito?

A: Sì. Per esempio $\frac{1}{x}$ cresce senza limite per $x \to 0^+$. Questi casi sono trattati nella lezione Limiti infiniti; in questa lezione tutti i limiti unilaterali sono numeri.