Può esistere un limite unilaterale quando il limite in $a$ non esiste?

Sì, ed è il caso tipico di un salto. Per $\frac{|x|}{x}$ in $0$ esistono entrambi i limiti unilaterali ($-1$ e $1$), ma il limite in $0$ non esiste, perché sono diversi.

È il pallino pieno o il pallino vuoto a decidere il limite?

Nessuno dei due. Pallini vuoti e pieni mostrano solo il valore $f(a)$. I limiti vengono dalla curva su ciascun lato, mentre si avvicina a $x = a$.

E se la funzione è definita solo da un lato?

Allora ha senso un solo limite unilaterale. Per $\sqrt{x}$ in $0$ non ci sono valori a sinistra, quindi usiamo $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Al bordo del dominio, il limite unilaterale è la domanda naturale.

Un limite unilaterale può essere infinito?

Sì. Per esempio $\frac{1}{x}$ cresce senza limite per $x \to 0^+$. Questi casi sono trattati nella lezione Limiti infiniti; in questa lezione tutti i limiti unilaterali sono numeri.

Risorse per insegnanti

Limite destro e limite sinistro

Impara a trovare il limite sinistro e il limite destro da grafici e funzioni definite a tratti, e a decidere quando un limite esiste.

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un limite unilaterale guarda una funzione da un solo lato di un punto.

Il limite sinistro $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ significa: quando $x$ si avvicina ad $a$ con valori minori di $a$ (per esempio $1{,}9$ ; $1{,}99$ ; $1{,}999$ per $a = 2$ ), $f(x)$ si avvicina a $L$ .
Il limite destro $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ significa: quando $x$ si avvicina ad $a$ con valori maggiori di $a$ (per esempio $2{,}1$ ; $2{,}01$ ; $2{,}001$ ), $f(x)$ si avvicina a $M$ .

Conosci già questa notazione dalla lezione Notazione dei limiti: il piccolo segno indica il lato e non fa parte del numero, quindi

3^-

non è

-3

. In questa lezione calcoli questi limiti e li usi per decidere se

\lim_{x \to a} f(x)

esiste.

La regola fondamentale collega i limiti unilaterali e il limite (da entrambi i lati):

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ e } \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Se i due limiti unilaterali sono diversi, il limite in

a

non esiste. Il valore

f(a)

non conta mai per questi limiti: la funzione può non essere definita in

a

oppure avere lì un valore completamente diverso.

Prova subito

Che cosa significa

x \to 3^-

Esempi svolti

Il grafico di $f$ mostra la retta $y = x + 1$ per $x < 1$ (pallino vuoto in $(1, 2)$ ) e la retta $y = x + 3$ per $x \ge 1$ (pallino pieno in $(1, 4)$ ). Trova $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ e $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

Segui il grafico da sinistra

Percorri la parte sinistra verso $x = 1$ : le altezze si avvicinano al pallino vuoto in $y = 2$ → $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Segui il grafico da destra

Percorri la parte destra verso $x = 1$ : le altezze si avvicinano a $y = 4$ → $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Confronta i due lati

$2 \neq 4$ , quindi il grafico fa un salto in $x = 1$ → I limiti unilaterali sono diversi

Decidi sul limite in $1$

Limiti unilaterali diversi significano che non c'è un unico valore a cui la funzione si avvicina. Il pallino pieno $f(1) = 4$ non cambia nulla → $\lim_{x \to 1} f(x)$ non esiste

Risposta: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ , quindi $\lim_{x \to 1} f(x)$ non esiste (anche se $f(1) = 4$ ).

Errori comuni

Prendere il pallino pieno $f(a)$ come limite

Perché è sbagliato: Un limite descrive le altezze a cui il grafico si avvicina vicino ad $a$ , non l'altezza in $a$ . Nell'esempio 1, $f(1) = 4$ , ma da sinistra il grafico si avvicina a $2$ .

Corretto: Segui ogni lato del grafico fino ad $a$ e ignora il punto in $x = a$ . Usa $f(a)$ solo quando la domanda chiede il valore della funzione.

Leggere $x \to 3^-$ come " $x$ tende a $-3$ "

Perché è sbagliato: Il piccolo segno meno è scritto dopo il numero, come esponente. Indica il lato, non il segno del numero.

Corretto: $x \to 3^-$ significa $x = 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... (valori minori di $3$ ). $x \to 3^+$ significa $x = 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ ; ...

Usare per entrambi i lati il tratto che contiene $x = a$

Perché è sbagliato: In $f(x) = x + 1$ per $x < 1$ e $f(x) = x + 3$ per $x \ge 1$ , il tratto $x + 3$ descrive solo il lato destro. Il lato sinistro è sempre dato dal tratto per $x < 1$ .

Corretto: Per $x \to a^-$ usa la formula per i valori appena sotto $a$ ; per $x \to a^+$ quella per i valori appena sopra $a$ . Il segno $\le$ o $\ge$ decide solo $f(a)$ .

Dire che il limite esiste perché esistono entrambi i limiti unilaterali

Perché è sbagliato: Nell'esempio 1 esistono entrambi i limiti unilaterali ( $2$ e $4$ ), ma sono numeri diversi, quindi non c'è un unico valore $L$ .

Corretto: Il limite in $a$ esiste solo se entrambi i limiti unilaterali esistono e sono uguali.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

b = 3

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

In x = 1: da sinistra f(x) → 2, da destra f(x) → 4. I valori sono diversi, quindi il limite non esiste (salto). f(1) = 4.

Tabella dei valori

x	0,9	0,99	1	1,01	1,1
y	1,9	1,99	4	4,01	4,1

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = |x|/x

In x = 0: da sinistra y(x) → -1, da destra y(x) → 1. I valori sono diversi, quindi il limite non esiste (salto). y(0) non è definita.

Tabella dei valori

x	-0,1	-0,01	0,01	0,1
y	-1	-1	1	1

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = (x^2 - 4)/|x - 2|

In x = 2: da sinistra y(x) → -4, da destra y(x) → 4. I valori sono diversi, quindi il limite non esiste (salto). y(2) non è definita.

Tabella dei valori

x	1,9	1,99	2,01	2,1
y	-3,9	-3,99	4,01	4,1

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Che cosa significa $x \to 3^-$ ?

Perché è importante

I limiti unilaterali sono lo strumento per le funzioni che cambiano regola in un punto:

Funzioni definite a tratti: scaglioni fiscali, tariffe telefoniche e prezzi di spedizione cambiano formula in certi valori, e devi studiare ogni lato separatamente
Salti: una tariffa di parcheggio che passa da 3 € a 5 € dopo un'ora ha limite sinistro e limite destro diversi
Valori assoluti: espressioni come $\frac{|x|}{x}$ si comportano diversamente per $x$ negativi e positivi
Continuità: nelle lezioni Continuità e Tipi di discontinuità userai i limiti unilaterali per classificare ogni interruzione di un grafico
Analisi: le derivate di funzioni come $|x|$ si studiano con limite destro e limite sinistro

Quando un grafico ha un'interruzione, la prima domanda è sempre: che cosa succede a sinistra, e che cosa succede a destra?

Applicazioni nel mondo reale

Tariffe dei parcheggi

Molti parcheggi fanno pagare ogni ora iniziata, quindi il prezzo fa un salto a ogni ora piena. I limiti unilaterali descrivono il prezzo appena prima e appena dopo il salto.

Esempio:

Un parcheggio costa $P(t) = 3$ € per $0 < t \le 1$ ora e $P(t) = 5$ € per $1 < t \le 2$ ore. Appena prima di un'ora paghi 3 €, appena dopo 5 €.

1Provaci tu stesso

Il parcheggio usa $P(t) = 3$ per $0 < t \le 1$ e $P(t) = 5$ per $1 < t \le 2$ ( $t$ in ore, prezzo in €).

Di quanti euro salta il prezzo in $t = 1$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Limite destro meno limite sinistro in $t = 1$ :

Costruire una rampa senza gradino

Chi collega una rampa a una piattaforma deve fare in modo che le altezze dei due lati coincidano. Altrimenti resta un gradino su cui si può inciampare.

Esempio:

Una rampa ha altezza $h(x) = 0{,}2x$ metri per $0 \le x < 5$ , e in $x = 5$ inizia una piattaforma di altezza costante $c$ . Rampa e piattaforma si uniscono senza gradino esattamente quando $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$ .

2Provaci tu stesso

La rampa ha altezza $h(x) = 0{,}2x$ per $0 \le x < 5$ e la piattaforma altezza $c$ per $x \ge 5$ (tutte le lunghezze in metri).

Quale altezza $c$ della piattaforma evita il gradino in $x = 5$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

L'altezza della piattaforma deve essere uguale al limite sinistro in $x = 5$ :

Piani dati per il cellulare

Un piano dati ha spesso un prezzo fisso fino a una soglia e poi un supplemento per ogni gigabyte. I limiti unilaterali mostrano se il prezzo fa un salto alla soglia.

Esempio:

Un piano costa $C(g) = 10$ € per $0 \le g \le 5$ GB e $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € per $g > 5$ . Appena sopra 5 GB il prezzo comincia a salire, ma parte da 10.

3Provaci tu stesso

Il piano costa $C(g) = 10$ per $0 \le g \le 5$ e $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ per $g > 5$ ( $g$ in GB, prezzo in €).

Quanto vale $\lim_{g \to 5} C(g)$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova entrambi i limiti unilaterali in $g = 5$ e confrontali:

Punti chiave

1 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ è il limite sinistro: $x$ si avvicina ad $a$ con valori minori di $a$
2 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ è il limite destro: $x$ si avvicina ad $a$ con valori maggiori di $a$
3 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ esattamente quando entrambi i limiti unilaterali esistono e valgono entrambi $L$
4Se i limiti unilaterali sono diversi (un salto), il limite in $a$ non esiste
5In una funzione definita a tratti, usa a sinistra il tratto per i valori appena sotto $a$ e a destra il tratto per i valori appena sopra $a$
6Il valore $f(a)$ (pallino vuoto o pieno) non cambia mai un limite

Domande frequenti

Sì, ed è il caso tipico di un salto. Per

\frac{|x|}{x}

0

esistono entrambi i limiti unilaterali (

-1

1

), ma il limite in

0

non esiste, perché sono diversi.

Glossario

Limite unilaterale: Un limite che usa solo valori di $x$ da un lato di $a$
Limite sinistro: Il valore a cui si avvicina $f(x)$ per $x \to a^-$ , con valori minori di $a$
Limite destro: Il valore a cui si avvicina $f(x)$ per $x \to a^+$ , con valori maggiori di $a$
Limite in $a$ (da entrambi i lati): Il limite usuale $\lim_{x \to a} f(x)$ ; esiste solo se limite sinistro e limite destro sono uguali
Funzione definita a tratti: Una funzione data da formule diverse su intervalli diversi di $x$
Discontinuità di salto: Un'interruzione in cui entrambi i limiti unilaterali esistono ma sono diversi, così il grafico fa un salto

Scheda formule

Limite sinistro

\lim_{x \to a^-} f(x)

$x$ si avvicina ad $a$ da sinistra (valori minori di $a$)

Limite destro

\lim_{x \to a^+} f(x)

$x$ si avvicina ad $a$ da destra (valori maggiori di $a$)

Quando il limite esiste

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Entrambi i limiti unilaterali devono esistere ed essere uguali

Valore assoluto per lati

|x - a| = x - a

per

x > a

|x - a| = -(x - a)

per

x < a

Usala per semplificare le espressioni con valore assoluto su ciascun lato

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Graficatore interattivo

Calcolatrice di espressioni

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Piani dati per il cellulare

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