Un buco dovuto a un fattore che si semplifica

Classifica la discontinuità di $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ in $x = 2$ ed eliminala.

Controlla dove $f$ non è definita: Il denominatore $x - 2$ vale $0$ in $x = 2$ = $f(2)$ non è definita

Scomponi il numeratore: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ = $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Semplifica il fattore comune: $f(x) = x + 1$ per ogni $x \neq 2$ = Il fattore $(x - 2)$ si semplifica del tutto

Calcola il limite: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ = $= 3$, un limite finito

Classifica e ripara: Il limite esiste, $f(2)$ no: buco in $(2, 3)$. Poni $f(2) = 3$. = Discontinuità eliminabile

Answer: Discontinuità eliminabile (buco) in $(2, 3)$. Ponendo $f(2) = 3$, $f$ diventa continua.

Un buco con il valore sbagliato

Sia $g(x) = x^2$ per $x \neq 1$ e $g(1) = 4$. Che tipo di discontinuità c'è in $x = 1$?

Calcola il limite: Vicino a $x = 1$ la regola è $x^2$, quindi $\lim_{x \to 1} g(x) = 1^2$ = $= 1$

Leggi il valore della funzione: La definizione dice $g(1) = 4$ = $g(1) = 4$

Confronta: $\lim_{x \to 1} g(x) = 1 \neq 4 = g(1)$ = Il limite esiste ma è diverso da $g(1)$

Classifica e ripara: Il punto $(1, 4)$ è staccato dalla curva; ridefinisci $g(1) = 1$ = Discontinuità eliminabile

Answer: Discontinuità eliminabile in $x = 1$: c'è un buco in $(1, 1)$ e un punto isolato in $(1, 4)$. Ridefinendo $g(1) = 1$ la si elimina.

Misurare un salto

Sia $h(x) = x + 2$ per $x < 1$ e $h(x) = x^2 + 5$ per $x \geq 1$. Classifica la discontinuità in $x = 1$ e trova l'ampiezza del salto.

Limite sinistro (regola per $x < 1$): $\lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2$ = $= 3$

Limite destro (regola per $x \geq 1$): $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 5) = 1 + 5$ = $= 6$

Confronta i limiti unilaterali: Sono entrambi finiti, ma $3 \neq 6$ = Discontinuità di salto

Ampiezza del salto: $|6 - 3|$ = $= 3$

Answer: Discontinuità di salto in $x = 1$ con ampiezza $3$. Il valore $h(1) = 6$ non conta: nessun valore di $h(1)$ può chiudere il salto.

Una discontinuità infinita

Classifica la discontinuità di $k(x) = \frac{x + 3}{x - 4}$ in $x = 4$.

Sostituisci $x = 4$: Numeratore $4 + 3 = 7$, denominatore $4 - 4 = 0$ = $\frac{7}{0}$: un numero diverso da zero diviso zero

Avvicinati da destra: $k(4{,}01) = \frac{7{,}01}{0{,}01} = 701$ = $\lim_{x \to 4^+} k(x) = \infty$

Avvicinati da sinistra: $k(3{,}99) = \frac{6{,}99}{-0{,}01} = -699$ = $\lim_{x \to 4^-} k(x) = -\infty$

Classifica: I limiti unilaterali sono infiniti = Discontinuità infinita, asintoto verticale $x = 4$

Answer: Discontinuità infinita in $x = 4$: il grafico ha l'asintoto verticale $x = 4$.

Buchi e asintoti nella stessa funzione

Trova e classifica tutte le discontinuità di $r(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$.

Scomponi le due parti: $r(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$ = Non definita in $x = 3$ e in $x = -2$

Semplifica il fattore comune: $r(x) = \frac{x + 3}{x + 2}$ per $x \neq 3$ = $(x - 3)$ si semplifica, $(x + 2)$ resta

Studia $x = 3$: $\lim_{x \to 3} r(x) = \frac{3 + 3}{3 + 2}$ = $= \frac{6}{5}$: buco in $\left(3, \frac{6}{5}\right)$

Studia $x = -2$: Numeratore semplificato $-2 + 3 = 1 \neq 0$, denominatore $0$ = Asintoto verticale $x = -2$

Answer: Discontinuità eliminabile (buco) in $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ e discontinuità infinita in $x = -2$.

Mistake: Disegnare un asintoto verticale in ogni zero del denominatore

Why: Uno zero del denominatore può essere anche un buco. In $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ il fattore $(x - 2)$ si semplifica, quindi in $x = 2$ non c'è nessun asintoto.

Correct: Prima scomponi e semplifica. Solo i fattori che restano al denominatore danno asintoti verticali; quelli semplificati danno buchi.

Mistake: Chiamare eliminabile un salto perché esistono entrambi i limiti unilaterali

Why: Eliminabile richiede che il limite esista, e questo succede solo se i due lati coincidono. In un salto sono numeri diversi.

Correct: Limiti unilaterali uguali: eliminabile (o continua). Limiti unilaterali finiti e diversi: salto.

Mistake: Usare $f(a)$ come altezza del buco

Why: In un buco $f(a)$ manca o è sbagliato. Il buco si trova all'altezza del limite.

Correct: L'ordinata di un buco si trova sostituendo $x = a$ nella funzione semplificata: il buco di $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ è in $\left(3, \frac{6}{5}\right)$.

Mistake: Pensare che un fattore semplificato dia sempre un buco, anche se compare due volte al denominatore

Why: In $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ si semplifica un solo fattore; resta $\frac{1}{x - 1}$, che in $x = 1$ continua a esplodere.

Correct: Semplifica il più possibile, poi controlla: se $(x - a)$ è ancora al denominatore, è una discontinuità infinita.

Tariffe del parcheggio (salti)

I parcheggi fanno pagare ogni ora iniziata: il prezzo è costante all'interno di ogni ora e salta a ogni ora piena.

Un parcheggio costa 4 € fino a 1 ora e 7 € per più di 1 ora fino a 2 ore. In $t = 1$ il prezzo salta di 3 €.

Lenti e immagini all'infinito

Per una lente con distanza focale $10$ cm, un oggetto a distanza $u$ forma un'immagine a distanza $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Quando l'oggetto raggiunge il fuoco, l'immagine se ne va all'infinito.

Con $u = 15$ cm l'immagine è a $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Con $u = 10{,}1$ cm è già a $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

Correggere una divisione per zero in un programma

I programmi calcolano spesso un tasso di variazione medio $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. In $t = a$ la formula dà $\frac{0}{0}$ e il programma si blocca, anche se i valori vicini sono del tutto regolari: è una discontinuità eliminabile.

Per $f(t) = t^2$ e $a = 3$, il tasso $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ si semplifica in $t + 3$, quindi la programmatrice salva il valore $6$ per $t = 3$.

Q: Perché un buco si chiama eliminabile?

A: Perché basta un punto per ripararlo. Il limite $L$ esiste già, quindi definire (o ridefinire) $f(a) = L$ rende vera l'uguaglianza $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ e la funzione diventa continua in $a$.

Q: Si può mai eliminare una discontinuità di salto?

A: No. Da sinistra la funzione tende a un'altezza, da destra a un'altra. Qualunque valore tu dia a $f(a)$, può coincidere al massimo con un lato, e il limite continua a non esistere.

Q: Il valore della funzione in $x = a$ cambia il tipo?

A: No. Il tipo dipende solo dai limiti vicino ad $a$. Un salto resta un salto sia che $f(a)$ sia il valore di sinistra, quello di destra o non sia definito, e un buco resta eliminabile sia che $f(a)$ manchi sia che sia sbagliato.

Q: Esistono altri tipi di discontinuità?

A: Sì, ma sono più rari. Per esempio $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ oscilla sempre più velocemente vicino a $x = 0$ e lì non ha nessun limite unilaterale (discontinuità oscillante). Nei libri italiani si parla anche di discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) e di terza specie (eliminabile).