Tipi di discontinuità

Impara a distinguere le discontinuità eliminabili (buchi), di salto e infinite, sia dal grafico sia dalla formula.

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Definizione

Una funzione ff è continua in x=ax = a quando lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Se questo non vale, ff ha una discontinuità in x=ax = a. Il modo in cui l'uguaglianza fallisce ne stabilisce il tipo:
1. Discontinuità eliminabile (buco) Il limite esiste ed è un numero finito LL, ma f(a)f(a) non esiste oppure f(a)≠Lf(a) \neq L. Il grafico ha un solo buco in (a,L)(a, L). Puoi eliminarlo ridefinendo f(a)=Lf(a) = L.
2. Discontinuità di salto Il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma diversi:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)
Il grafico salta da un'altezza a un'altra. L'ampiezza del salto è ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|. Nessun valore di f(a)f(a) può eliminare questa discontinuità.
3. Discontinuità infinita (di seconda specie) Almeno uno dei limiti unilaterali è ∞\infty o −∞-\infty. Il grafico ha un asintoto verticale x=ax = a.
Dalla formula (funzioni razionali): scomponi numeratore e denominatore.
  • Un fattore (x−a)(x - a) che si semplifica del tutto dà un buco in x=ax = a.
  • Un fattore (x−a)(x - a) che resta al denominatore dà un asintoto verticale in x=ax = a.

Prova subito

Che tipo di discontinuità ha f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} in x=4x = 4?

Esempi svolti

Classifica la discontinuità di f(x)=x2−x−2x−2f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} in x=2x = 2 ed eliminala.

1

Controlla dove ff non è definita

Il denominatore x−2x - 2 vale 00 in x=2x = 2 → f(2)f(2) non è definita

2

Scomponi il numeratore

x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) → f(x)=(x−2)(x+1)x−2f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}

3

Semplifica il fattore comune

f(x)=x+1f(x) = x + 1 per ogni x≠2x \neq 2 → Il fattore (x−2)(x - 2) si semplifica del tutto

4

Calcola il limite

lim⁡x→2f(x)=2+1\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1 → =3= 3, un limite finito

5

Classifica e ripara

Il limite esiste, f(2)f(2) no: buco in (2,3)(2, 3). Poni f(2)=3f(2) = 3. → Discontinuità eliminabile

Errori comuni

Disegnare un asintoto verticale in ogni zero del denominatore

Perché è sbagliato: Uno zero del denominatore può essere anche un buco. In x2−x−2x−2\frac{x^2 - x - 2}{x - 2} il fattore (x−2)(x - 2) si semplifica, quindi in x=2x = 2 non c'è nessun asintoto.

Corretto: Prima scomponi e semplifica. Solo i fattori che restano al denominatore danno asintoti verticali; quelli semplificati danno buchi.

Chiamare eliminabile un salto perché esistono entrambi i limiti unilaterali

Perché è sbagliato: Eliminabile richiede che il limite esista, e questo succede solo se i due lati coincidono. In un salto sono numeri diversi.

Corretto: Limiti unilaterali uguali: eliminabile (o continua). Limiti unilaterali finiti e diversi: salto.

Usare f(a)f(a) come altezza del buco

Perché è sbagliato: In un buco f(a)f(a) manca o è sbagliato. Il buco si trova all'altezza del limite.

Corretto: L'ordinata di un buco si trova sostituendo x=ax = a nella funzione semplificata: il buco di x2−9x2−x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} è in (3,65)\left(3, \frac{6}{5}\right).

Pensare che un fattore semplificato dia sempre un buco, anche se compare due volte al denominatore

Perché è sbagliato: In x−1(x−1)2\frac{x - 1}{(x - 1)^2} si semplifica un solo fattore; resta 1x−1\frac{1}{x - 1}, che in x=1x = 1 continua a esplodere.

Corretto: Semplifica il più possibile, poi controlla: se (x−a)(x - a) è ancora al denominatore, è una discontinuità infinita.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-3-2-1012345-20246xy(2; 3)

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

f(x) = (x² − x − 2)/(x − 2)

Tabella dei valori

x1,91,9922,012,1
y2,92,99non def.3,013,1

Grafico della funzione

-3-2-101230246xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

g(x)
  • In x = 1: da sinistra e da destra g(x) → 1, quindi il limite è 1. g(1) = 4.

Tabella dei valori

x0,90,9911,011,1
y0,810,980141,02011,21

Grafico della funzione

-3-2-101230510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

h(x)
  • In x = 1: da sinistra h(x) → 3, da destra h(x) → 6. I valori sono diversi, quindi il limite non esiste (salto). h(1) = 6.

Tabella dei valori

x0,90,9911,011,1
y2,92,9966,02016,21

Grafico della funzione

-8-6-4-202468-505xy(3; 1,2)x = -2y = 1

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

r(x) = (x² − 9)/(x² − x − 6)Asintoto

Tabella dei valori

x-2,1-2,01-1,99-1,92,993,01
y-9-99101111,20041,1996

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi
Problema 1 di 18
Facile

Che tipo di discontinuità ha f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} in x=4x = 4?

Perché è importante

Conoscere il tipo di una discontinuità ti dice quanto è grave la rottura e che cosa puoi farci:
  • I buchi sono lacune innocue: la funzione è prevedibile intorno e basta ridefinire un punto per renderla continua. I programmi che si bloccano su 00\frac{0}{0} vengono spesso corretti proprio così.
  • I salti descrivono cambiamenti improvvisi: tariffe dei parcheggi, tariffe postali, scaglioni IRPEF e interruttori che si accendono o si spengono.
  • Le discontinuità infinite avvertono che una grandezza esplode: l'immagine di una lente che va all'infinito, la risonanza di un ponte o una formula che divide per quasi zero.
In analisi il tipo di discontinuità decide se un limite esiste, se una funzione si può integrare su un intervallo e come va disegnato il grafico. Tracciare bene le funzioni razionali (buchi o asintoti) è una delle abilità più verificate prima dell'analisi.

Applicazioni nel mondo reale

Tariffe del parcheggio (salti)

I parcheggi fanno pagare ogni ora iniziata: il prezzo è costante all'interno di ogni ora e salta a ogni ora piena.

Esempio:

Un parcheggio costa 4 € fino a 1 ora e 7 € per più di 1 ora fino a 2 ore. In t=1t = 1 il prezzo salta di 3 €.

1Provaci tu stesso

Lo stesso parcheggio costa 7 € per più di 1 ora fino a 2 ore e 10 € per più di 2 ore fino a 3 ore. C(t)C(t) è il prezzo per tt ore.

Qual è l'ampiezza del salto del prezzo in t=2t = 2 ore (in €)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sottrai il limite sinistro dal limite destro:

Lenti e immagini all'infinito

Per una lente con distanza focale $10$ cm, un oggetto a distanza $u$ forma un'immagine a distanza $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Quando l'oggetto raggiunge il fuoco, l'immagine se ne va all'infinito.

Esempio:

Con u=15u = 15 cm l'immagine è a v=1505=30v = \frac{150}{5} = 30 cm. Con u=10,1u = 10{,}1 cm è già a v=1010,1=1010v = \frac{101}{0{,}1} = 1010 cm.

2Provaci tu stesso

La distanza dell'immagine è v(u)=10uu−10v(u) = \frac{10u}{u - 10} (in cm).

Per quale distanza dell'oggetto uu (in cm) vv ha una discontinuità infinita?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Cerca dove il denominatore si annulla e il numeratore no:

Correggere una divisione per zero in un programma

I programmi calcolano spesso un tasso di variazione medio $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. In $t = a$ la formula dà $\frac{0}{0}$ e il programma si blocca, anche se i valori vicini sono del tutto regolari: è una discontinuità eliminabile.

Esempio:

Per f(t)=t2f(t) = t^2 e a=3a = 3, il tasso t2−9t−3\frac{t^2 - 9}{t - 3} si semplifica in t+3t + 3, quindi la programmatrice salva il valore 66 per t=3t = 3.

3Provaci tu stesso

Un programma calcola R(t)=t2−16t−4R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4} e si blocca in t=4t = 4.

Quale valore bisogna assegnare a R(4)R(4) perché RR sia continua?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Semplifica, poi sostituisci t=4t = 4:

Punti chiave

  • 1Una discontinuità in x=ax = a significa che lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) non vale
  • 2Eliminabile (buco): il limite LL esiste, ma f(a)f(a) manca o è diverso; si ripara con f(a)=Lf(a) = L
  • 3Di salto: limiti unilaterali finiti e diversi; ampiezza del salto =∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
  • 4Infinita: un limite unilaterale è ±∞\pm\infty; il grafico ha l'asintoto verticale x=ax = a
  • 5Per le funzioni razionali scomponi prima: i fattori semplificati danno buchi, quelli rimasti al denominatore danno asintoti
  • 6L'ordinata di un buco viene dalla funzione semplificata, mai da f(a)f(a)

Domande frequenti

Perché basta un punto per ripararlo. Il limite LL esiste già, quindi definire (o ridefinire) f(a)=Lf(a) = L rende vera l'uguaglianza lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) e la funzione diventa continua in aa.
Perché basta un punto per ripararlo. Il limite LL esiste già, quindi definire (o ridefinire) f(a)=Lf(a) = L rende vera l'uguaglianza lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) e la funzione diventa continua in aa.
No. Da sinistra la funzione tende a un'altezza, da destra a un'altra. Qualunque valore tu dia a f(a)f(a), può coincidere al massimo con un lato, e il limite continua a non esistere.
No. Il tipo dipende solo dai limiti vicino ad aa. Un salto resta un salto sia che f(a)f(a) sia il valore di sinistra, quello di destra o non sia definito, e un buco resta eliminabile sia che f(a)f(a) manchi sia che sia sbagliato.
Sì, ma sono più rari. Per esempio sin⁡(1x)\sin\left(\frac{1}{x}\right) oscilla sempre più velocemente vicino a x=0x = 0 e lì non ha nessun limite unilaterale (discontinuità oscillante). Nei libri italiani si parla anche di discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) e di terza specie (eliminabile).

Glossario

Discontinuità
Un punto x=ax = a in cui l'uguaglianza lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) non vale
Discontinuità eliminabile (buco)
Il limite esiste ed è finito, ma f(a)f(a) non è definita o è diversa; si ripara ridefinendo un punto
Discontinuità di salto
Il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma non uguali
Ampiezza del salto
La distanza tra i due limiti unilaterali: ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
Discontinuità infinita
Almeno un limite unilaterale è ∞\infty o −∞-\infty; il grafico ha un asintoto verticale
Asintoto verticale
Una retta verticale x=ax = a a cui il grafico si avvicina mentre i suoi valori crescono senza limite

Scheda formule

Eliminabile (buco)

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L esiste, f(a)≠Lf(a) \neq L o non definita

Si ripara con $f(a) = L$

Di salto

lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x), entrambi finiti

Ampiezza del salto $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Infinita

lim⁡x→a±f(x)=±∞\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Asintoto verticale $x = a$

Test per le funzioni razionali

(x−a) p(x)(x−a) q(x)=p(x)q(x)\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Un fattore semplificato dà un buco in $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$ se $q(a) \neq 0$; un fattore rimasto al denominatore dà un asintoto

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