Logaritmo decimale (base 10)

Impara il logaritmo decimale log x in base 10: valori esatti delle potenze di 10, come stimare un logaritmo tra due interi e come usare la calcolatrice.

Avanzato25 minLezione
Scheda da stampare

Definizione

Il logaritmo decimale è il logaritmo in base 10. Si usa così spesso che la base non si scrive:
log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x
log⁡x\log x risponde alla domanda: **"10 elevato a quanto dà xx?"**
log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x
Le potenze di 10 hanno logaritmi interi:
xx0,0010{,}0010,010{,}010,10{,}11110101001001 0001\,0001 000 0001\,000\,000
log⁡x\log x−3-3−2-2−1-10011223366
Quindi log⁡(10n)=n\log(10^n) = n per ogni esponente nn.
I numeri compresi tra due potenze di 10 hanno un logaritmo compreso tra due numeri interi. Poiché 10<50<10010 < 50 < 100, sappiamo che 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2. La calcolatrice (tasto LOG) dà log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699.
L'argomento deve essere positivo: log⁡0\log 0 e log⁡(−5)\log(-5) non esistono.

Prova subito

Quanto vale log⁡10 000\log 10\,000?

Esempi svolti

Calcola log⁡100 000\log 100\,000 e log⁡1\log 1 senza calcolatrice.

1

Fai la domanda per 100 000

10 elevato a quanto dà 100 000100\,000? → 10n=100 00010^n = 100\,000

2

Conta gli zeri

100 000100\,000 è un 1 seguito da 5 zeri, quindi 100 000=105100\,000 = 10^5 → log⁡100 000=5\log 100\,000 = 5

3

Fai la domanda per 1

Ogni numero diverso da zero elevato a 0 dà 1: 100=110^0 = 1 → log⁡1=0\log 1 = 0

Errori comuni

Pensare che log⁡50=1,5\log 50 = 1{,}5 perché 50 è circa a metà strada tra 10 e 100

Perché è sbagliato: Una scala logaritmica non è uniforme. Ogni passo di 1 nel logaritmo moltiplica il numero per 10, quindi il punto medio tra 10 e 100 è 101,5≈31,610^{1{,}5} \approx 31{,}6.

Corretto: log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699. Prima stima i due interi (1<log⁡50<21 < \log 50 < 2), poi usa la calcolatrice.

Scrivere log⁡0,01=2\log 0{,}01 = 2 o dire che il logaritmo di un numero decimale non esiste

Perché è sbagliato: 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}, quindi l'esponente è negativo. I logaritmi dei numeri tra 0 e 1 esistono, sono semplicemente negativi.

Corretto: log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2, log⁡0,1=−1\log 0{,}1 = -1, log⁡0,001=−3\log 0{,}001 = -3.

Scrivere log⁡0=0\log 0 = 0 oppure log⁡(−100)=−2\log(-100) = -2

Perché è sbagliato: 10n10^n è positivo per ogni esponente nn. Nessuna potenza di 10 è uguale a 0 o a un numero negativo.

Corretto: log⁡0\log 0 e log⁡(−100)\log(-100) non sono definiti, la calcolatrice dà errore. Ricorda: log⁡1=0\log 1 = 0, non log⁡0\log 0.

Contare tutte le cifre: log⁡1 000=4\log 1\,000 = 4

Perché è sbagliato: 1 0001\,000 ha 4 cifre ma solo 3 zeri. Il logaritmo conta i fattori 10, non le cifre.

Corretto: log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 perché 103=1 00010^3 = 1\,000. Un numero intero con dd cifre ha un logaritmo compreso tra d−1d - 1 e dd.

Visuale interattivo

10³ = 1000
3

Guarda come le potenze di un numero crescono sulla linea numerica. Cambia la base e l'esponente.

Grafico a barre

Logaritmo decimale di x

0,01(-2)
0,1(-1)
1(0)
5(0,7)
10(1)
50(1,7)
100(2)
1000(3)

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

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Problema 1 di 18
Facile

Quanto vale log⁡10 000\log 10\,000?

Perché è importante

Il nostro sistema di numerazione è in base 10, quindi il logaritmo decimale ti dice a colpo d'occhio quanto è grande un numero:
  • Ordini di grandezza: la parte intera di log⁡x\log x è l'esponente di xx in notazione scientifica. log⁡(3 000)≈3,477\log(3\,000) \approx 3{,}477 e 3 000=3×1033\,000 = 3 \times 10^3.
  • Chimica: il pH di una soluzione è −log⁡-\log della concentrazione di ioni idrogeno.
  • Suono: i decibel usano 10log⁡10 \log di un rapporto di intensità.
  • Terremoti e stelle: la scala Richter e le scale di luminosità delle stelle si basano su logaritmi in base 10.
  • Grafici scientifici: una scala logaritmica mette 11, 1010, 100100 e 1 000 0001\,000\,000 su un unico asse leggibile.
Se conosci a memoria i logaritmi delle potenze di 10, puoi controllare qualsiasi risultato della calcolatrice in pochi secondi.

Applicazioni nel mondo reale

Ordini di grandezza

Nelle scienze si confrontano quantità enormi e minuscole tramite il loro ordine di grandezza: la parte intera del loro logaritmo decimale.

Esempio:

Un capello umano è spesso circa 0,00010{,}0001 m, e log⁡0,0001=−4\log 0{,}0001 = -4. La Terra è larga circa 10 000 00010\,000\,000 m, e log⁡10 000 000=7\log 10\,000\,000 = 7. La differenza di 11 ordini di grandezza significa che la Terra è circa 101110^{11} volte più larga.

1Provaci tu stesso

La popolazione mondiale è di circa 8 000 000 0008\,000\,000\,000 di persone.

Qual è il suo ordine di grandezza, cioè la parte intera di log⁡8 000 000 000\log 8\,000\,000\,000?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la parte intera del logaritmo:

Il pH in chimica

Il pH di una soluzione è $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in mol/L. Più il pH è basso, più la soluzione è acida.

Esempio:

L'acqua pura ha [H+]=0,0000001=10−7[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}, quindi pH=−(−7)=7\text{pH} = -(-7) = 7 (neutra).

2Provaci tu stesso

Un campione di succo d'arancia ha [H+]=0,0001[H^+] = 0{,}0001 mol/L.

Qual è il suo pH?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola −log⁡0,0001-\log 0{,}0001:

Decibel e suono

Il livello sonoro in decibel è $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, dove $\dfrac{I}{I_0}$ indica quante volte un suono è più intenso del suono più debole che possiamo sentire.

Esempio:

Un sussurro è circa 100100 volte più intenso della soglia uditiva: L=10log⁡100=10×2=20L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20 dB.

3Provaci tu stesso

Una conversazione normale è circa 1 000 0001\,000\,000 di volte più intensa della soglia uditiva.

Qual è il suo livello sonoro in decibel?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola 10log⁡1 000 00010 \log 1\,000\,000:

Punti chiave

  • 1Il logaritmo decimale ha base 10: log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x, e log⁡x=n\log x = n significa 10n=x10^n = x
  • 2Le potenze di 10 hanno logaritmi interi: log⁡(10n)=n\log(10^n) = n, per esempio log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 e log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2
  • 3log⁡1=0\log 1 = 0 e log⁡10=1\log 10 = 1; i numeri tra 0 e 1 hanno logaritmi negativi
  • 4Per stimare log⁡x\log x, cerca le potenze di 10 intorno a xx: 10<50<10010 < 50 < 100 dà 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2
  • 5La parte intera di log⁡x\log x è l'ordine di grandezza, cioè l'esponente di xx in notazione scientifica
  • 6Usa il tasto LOG per i decimali esatti (log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699); log⁡0\log 0 e i logaritmi dei numeri negativi non esistono

Domande frequenti

Il nostro sistema di numerazione è decimale, cioè in base 10. Per secoli le tavole dei logaritmi sono state in base 10, e oggi ogni calcolatrice scientifica ha il tasto LOG. Poiché si usa così spesso, la base non si scrive: log⁡x\log x significa log⁡10x\log_{10} x.
Il nostro sistema di numerazione è decimale, cioè in base 10. Per secoli le tavole dei logaritmi sono state in base 10, e oggi ogni calcolatrice scientifica ha il tasto LOG. Poiché si usa così spesso, la base non si scrive: log⁡x\log x significa log⁡10x\log_{10} x.
Usa un metodo numerico veloce per trovare l'esponente nn con 10n=5010^n = 50. Puoi controllare il risultato: 101,699≈5010^{1{,}699} \approx 50. La stima 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2 ti dice se hai premuto i tasti giusti.
I numeri tra 0 e 1 si ottengono con esponenti negativi: 0,01=1100=10−20{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}. Quindi log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2. Solo l'argomento deve essere positivo, il logaritmo invece può essere qualsiasi numero reale.
No. LOG usa la base 10, mentre LN usa un'altra base, il numero e≈2,718e \approx 2{,}718. Per esempio log⁡100=2\log 100 = 2, ma ln⁡100≈4,605\ln 100 \approx 4{,}605. La lezione Logaritmo naturale (ln) spiega quel tasto.

Glossario

Logaritmo decimale
Il logaritmo in base 10, scritto log⁡x\log x: l'esponente nn con 10n=x10^n = x
Base
Il numero che viene elevato a potenza; nel logaritmo decimale è 10
Argomento
Il numero di cui si calcola il logaritmo, la xx in log⁡x\log x; deve essere positivo
Potenza di 10
Un numero della forma 10n10^n, come 1 000=1031\,000 = 10^3 o 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}
Ordine di grandezza
La parte intera di log⁡x\log x, cioè l'esponente di xx in notazione scientifica
Notazione scientifica
Scrivere un numero come a×10na \times 10^n con 1≤a<101 \le a < 10, per esempio 3 000=3×1033\,000 = 3 \times 10^3

Scheda formule

Logaritmo decimale

log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x

La base 10 non si scrive

Logaritmo di una potenza di 10

log⁡(10n)=n\log(10^n) = n

Per esempio $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Valori particolari

log⁡1=0,log⁡10=1\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Perché $10^0 = 1$ e $10^1 = 10$

Stima

10n≤x<10n+1⇒n≤log⁡x<n+110^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

Le potenze di 10 intorno a $x$ danno la parte intera

Ritorno al numero

10log⁡x=x10^{\log x} = x

Per esempio $10^{1{,}699} \approx 50$

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