Guida per l'insegnante: Logaritmo decimale (base 10)

Impara il logaritmo decimale log x in base 10: valori esatti delle potenze di 10, come stimare un logaritmo tra due interi e come usare la calcolatrice.

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10 domande su Logaritmi. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Leggere $\log x$ come il logaritmo in base 10
Calcolare $\log(10^n) = n$ per le potenze di 10 da $0{,}001$ a $1\,000\,000$ senza calcolatrice
Stimare il logaritmo di qualsiasi numero positivo tra due numeri interi
Usare il tasto LOG della calcolatrice e controllare il risultato con una stima
Collegare la parte intera di $\log x$ alla notazione scientifica e agli ordini di grandezza

Prerequisiti

• Introduzione ai logaritmi e Definizione di logaritmo: $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Potenze di 10, anche con esponenti negativi ( $10^{-2} = 0{,}01$ )
• Notazione scientifica ( $3\,000 = 3 \times 10^3$ )

Spunti di discussione

1. Secondo te, perché i logaritmi in base 10 sono stati i primi a essere stampati nelle tavole e messi sulle calcolatrici?
2. Se $\log x$ aumenta di 1, che cosa succede a $x$ ? E se aumenta di 2?
3. $50$ è circa a metà strada tra $10$ e $100$ . Perché $\log 50$ non è $1{,}5$ ?
4. Come potresti indovinare il numero di cifre di un grande numero intero dal suo logaritmo?
5. Dove, nelle scienze o nella vita di tutti i giorni, hai visto una scala in cui ogni passo significa 10 volte di più?

Idee sbagliate comuni

Il logaritmo di un numero tra 10 e 100 cresce in modo uniforme, quindi $\log 50 = 1{,}5$

Rimedio: Mostra la retta in scala logaritmica: passi uguali significano moltiplicare per 10. Calcola $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ con la calcolatrice: il punto medio della scala è 31,6 e non 55.

I logaritmi dei numeri decimali non sono definiti, oppure $\log 0{,}01 = 2$

Rimedio: Prosegui la tabella all'indietro: $\log 100 = 2$ , $\log 10 = 1$ , $\log 1 = 0$ , $\log 0{,}1 = ?$ . Ogni divisione per 10 toglie 1, quindi seguono $-1$ e $-2$ .

$\log 0 = 0$

Rimedio: Confronta $\log 1 = 0$ (perché $10^0 = 1$ ) con l'equazione $10^n = 0$ , che non ha soluzione. Fai digitare log(0) sulla calcolatrice e spiegare il messaggio di errore.

Il logaritmo è il numero di cifre

Rimedio: Confronta $\log 10 = 1$ (2 cifre) e $\log 999 \approx 2{,}9996$ (3 cifre). Un numero intero con $d$ cifre ha un logaritmo compreso tra $d - 1$ e $d$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da una tabella a due righe, potenze di 10 e loro logaritmi, da completare da $10^{-3}$ a $10^6$
• Usare prima solo logaritmi interi, poi aggiungere una stima come $1 < \log 50 < 2$
• Far contare zeri e cifre decimali con una tabella del valore posizionale prima di scrivere il logaritmo

Per studenti a livello:

• Stimare logaritmi tra due interi e controllarli con la calcolatrice
• Trovare l'ordine di grandezza di quantità scritte in notazione scientifica
• Tornare dal logaritmo al numero con $10^{\log x} = x$

Per studenti avanzati:

• Giustificare perché un numero intero con $d$ cifre ha un logaritmo compreso tra $d - 1$ e $d$
• Confrontare $\log 2$ , $\log 20$ e $\log 200$ con la calcolatrice e descrivere la regolarità (spiegata nella lezione Proprietà del prodotto dei logaritmi)
• Ricercare come si moltiplicavano grandi numeri con le tavole dei logaritmi prima delle calcolatrici

Allineamento agli standard

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Esprimere la soluzione di un'equazione esponenziale come logaritmo in base 2, 10 o e, e calcolare il logaritmo con la tecnologia
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendere la relazione inversa tra potenze e logaritmi
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Usare numeri scritti come una cifra per una potenza intera di 10 per stimare quantità molto grandi o molto piccole

Risorse della lezione

visualRetta numerica in scala logaritmica
Le potenze di 10 da 0,001 a 1 000 000 a distanze uguali, così ogni passo aggiunge 1 al logaritmo
visualGrafico a barre di log x
Confronta i logaritmi di 0,01, 0,1, 1, 5, 10, 50, 100 e 1000, compresi quelli negativi
activityPrima stima, poi premi LOG
A coppie, gli studenti scrivono i due interi tra cui si trova un logaritmo, controllano con la calcolatrice e guadagnano un punto se la stima è giusta
worksheetCaccia agli ordini di grandezza
Trovare quantità reali (dimensione di una cellula, distanze, popolazioni) e ordinarle secondo la parte intera del loro logaritmo

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Il logaritmo decimale è il logaritmo in base 10. Si usa così spesso che la base non si scrive:

\log x = \log_{10} x

\log x

risponde alla domanda: **"10 elevato a quanto dà

x

?"**

\log x = n \iff 10^n = x

Le potenze di 10 hanno logaritmi interi:

$x$	$0{,}001$	$0{,}01$	$0{,}1$	$1$	$10$	$100$	$1\,000$	$1\,000\,000$
$\log x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$

Quindi

\log(10^n) = n

per ogni esponente

n

I numeri compresi tra due potenze di 10 hanno un logaritmo compreso tra due numeri interi. Poiché

10 < 50 < 100

, sappiamo che

1 < \log 50 < 2

. La calcolatrice (tasto LOG) dà

\log 50 \approx 1{,}699

L'argomento deve essere positivo:

\log 0

\log(-5)

non esistono.

Esempi svolti

Calcola $\log 100\,000$ e $\log 1$ senza calcolatrice.

Fai la domanda per 100 000

10 elevato a quanto dà $100\,000$ ? → $10^n = 100\,000$

Conta gli zeri

$100\,000$ è un 1 seguito da 5 zeri, quindi $100\,000 = 10^5$ → $\log 100\,000 = 5$

Fai la domanda per 1

Ogni numero diverso da zero elevato a 0 dà 1: $10^0 = 1$ → $\log 1 = 0$

Risposta: $\log 100\,000 = 5$ e $\log 1 = 0$

Errori comuni

Pensare che $\log 50 = 1{,}5$ perché 50 è circa a metà strada tra 10 e 100

Perché è sbagliato: Una scala logaritmica non è uniforme. Ogni passo di 1 nel logaritmo moltiplica il numero per 10, quindi il punto medio tra 10 e 100 è $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ .

Corretto: $\log 50 \approx 1{,}699$ . Prima stima i due interi ( $1 < \log 50 < 2$ ), poi usa la calcolatrice.

Scrivere $\log 0{,}01 = 2$ o dire che il logaritmo di un numero decimale non esiste

Perché è sbagliato: $0{,}01 = 10^{-2}$ , quindi l'esponente è negativo. I logaritmi dei numeri tra 0 e 1 esistono, sono semplicemente negativi.

Corretto: $\log 0{,}01 = -2$ , $\log 0{,}1 = -1$ , $\log 0{,}001 = -3$ .

Scrivere $\log 0 = 0$ oppure $\log(-100) = -2$

Perché è sbagliato: $10^n$ è positivo per ogni esponente $n$ . Nessuna potenza di 10 è uguale a 0 o a un numero negativo.

Corretto: $\log 0$ e $\log(-100)$ non sono definiti, la calcolatrice dà errore. Ricorda: $\log 1 = 0$ , non $\log 0$ .

Contare tutte le cifre: $\log 1\,000 = 4$

Perché è sbagliato: $1\,000$ ha 4 cifre ma solo 3 zeri. Il logaritmo conta i fattori 10, non le cifre.

Corretto: $\log 1\,000 = 3$ perché $10^3 = 1\,000$ . Un numero intero con $d$ cifre ha un logaritmo compreso tra $d - 1$ e $d$ .

Perché è importante

Il nostro sistema di numerazione è in base 10, quindi il logaritmo decimale ti dice a colpo d'occhio quanto è grande un numero:

Ordini di grandezza: la parte intera di $\log x$ è l'esponente di $x$ in notazione scientifica. $\log(3\,000) \approx 3{,}477$ e $3\,000 = 3 \times 10^3$ .
Chimica: il pH di una soluzione è $-\log$ della concentrazione di ioni idrogeno.
Suono: i decibel usano $10 \log$ di un rapporto di intensità.
Terremoti e stelle: la scala Richter e le scale di luminosità delle stelle si basano su logaritmi in base 10.
Grafici scientifici: una scala logaritmica mette $1$ , $10$ , $100$ e $1\,000\,000$ su un unico asse leggibile.

Se conosci a memoria i logaritmi delle potenze di 10, puoi controllare qualsiasi risultato della calcolatrice in pochi secondi.

Applicazioni nel mondo reale

Ordini di grandezza

Nelle scienze si confrontano quantità enormi e minuscole tramite il loro ordine di grandezza: la parte intera del loro logaritmo decimale.

Esempio:

Un capello umano è spesso circa $0{,}0001$ m, e $\log 0{,}0001 = -4$ . La Terra è larga circa $10\,000\,000$ m, e $\log 10\,000\,000 = 7$ . La differenza di 11 ordini di grandezza significa che la Terra è circa $10^{11}$ volte più larga.

1Provaci tu stesso

La popolazione mondiale è di circa $8\,000\,000\,000$ di persone.

Qual è il suo ordine di grandezza, cioè la parte intera di $\log 8\,000\,000\,000$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la parte intera del logaritmo:

Il pH in chimica

Il pH di una soluzione è $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in mol/L. Più il pH è basso, più la soluzione è acida.

Esempio:

L'acqua pura ha $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$ , quindi $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutra).

2Provaci tu stesso

Un campione di succo d'arancia ha $[H^+] = 0{,}0001$ mol/L.

Qual è il suo pH?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $-\log 0{,}0001$ :

Decibel e suono

Il livello sonoro in decibel è $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, dove $\dfrac{I}{I_0}$ indica quante volte un suono è più intenso del suono più debole che possiamo sentire.

Esempio:

Un sussurro è circa $100$ volte più intenso della soglia uditiva: $L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20$ dB.

3Provaci tu stesso

Una conversazione normale è circa $1\,000\,000$ di volte più intensa della soglia uditiva.

Qual è il suo livello sonoro in decibel?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $10 \log 1\,000\,000$ :

Punti chiave

1Il logaritmo decimale ha base 10: $\log x = \log_{10} x$ , e $\log x = n$ significa $10^n = x$
2Le potenze di 10 hanno logaritmi interi: $\log(10^n) = n$ , per esempio $\log 1\,000 = 3$ e $\log 0{,}01 = -2$
3 $\log 1 = 0$ e $\log 10 = 1$ ; i numeri tra 0 e 1 hanno logaritmi negativi
4Per stimare $\log x$ , cerca le potenze di 10 intorno a $x$ : $10 < 50 < 100$ dà $1 < \log 50 < 2$
5La parte intera di $\log x$ è l'ordine di grandezza, cioè l'esponente di $x$ in notazione scientifica
6Usa il tasto LOG per i decimali esatti ( $\log 50 \approx 1{,}699$ ); $\log 0$ e i logaritmi dei numeri negativi non esistono

Domande frequenti

Perché il logaritmo in base 10 si chiama decimale?

Il nostro sistema di numerazione è decimale, cioè in base 10. Per secoli le tavole dei logaritmi sono state in base 10, e oggi ogni calcolatrice scientifica ha il tasto LOG. Poiché si usa così spesso, la base non si scrive:

\log x

significa

\log_{10} x

Come trova la calcolatrice $\log 50$ ?

Usa un metodo numerico veloce per trovare l'esponente

n

con

10^n = 50

. Puoi controllare il risultato:

10^{1{,}699} \approx 50

. La stima

1 < \log 50 < 2

ti dice se hai premuto i tasti giusti.

Perché i logaritmi di numeri decimali come $0{,}01$ sono negativi?

I numeri tra 0 e 1 si ottengono con esponenti negativi:

0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}

. Quindi

\log 0{,}01 = -2

. Solo l'argomento deve essere positivo, il logaritmo invece può essere qualsiasi numero reale.

Il tasto $\log$ della mia calcolatrice è uguale a $\ln$ ?

No. LOG usa la base 10, mentre LN usa un'altra base, il numero

e \approx 2{,}718

. Per esempio

\log 100 = 2

, ma

\ln 100 \approx 4{,}605

. La lezione Logaritmo naturale (ln) spiega quel tasto.

Glossario

Logaritmo decimale: Il logaritmo in base 10, scritto $\log x$ : l'esponente $n$ con $10^n = x$
Base: Il numero che viene elevato a potenza; nel logaritmo decimale è 10
Argomento: Il numero di cui si calcola il logaritmo, la $x$ in $\log x$ ; deve essere positivo
Potenza di 10: Un numero della forma $10^n$ , come $1\,000 = 10^3$ o $0{,}01 = 10^{-2}$
Ordine di grandezza: La parte intera di $\log x$ , cioè l'esponente di $x$ in notazione scientifica
Notazione scientifica: Scrivere un numero come $a \times 10^n$ con $1 \le a < 10$ , per esempio $3\,000 = 3 \times 10^3$

Scheda formule

Logaritmo decimale

\log x = n \iff 10^n = x

La base 10 non si scrive

Logaritmo di una potenza di 10

\log(10^n) = n

Per esempio $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Valori particolari

\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Perché $10^0 = 1$ e $10^1 = 10$

Stima

10^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

Le potenze di 10 intorno a $x$ danno la parte intera

Ritorno al numero

10^{\log x} = x

Per esempio $10^{1{,}699} \approx 50$

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

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Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Ordini di grandezza

Il pH in chimica

Decibel e suono

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Logaritmo decimale

Logaritmo di una potenza di 10

Valori particolari

Stima

Ritorno al numero

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