Logaritmi delle potenze di 10

Calcola $\log 100\,000$ e $\log 1$ senza calcolatrice.

Fai la domanda per 100 000: 10 elevato a quanto dà $100\,000$? = $10^n = 100\,000$

Conta gli zeri: $100\,000$ è un 1 seguito da 5 zeri, quindi $100\,000 = 10^5$ = $\log 100\,000 = 5$

Fai la domanda per 1: Ogni numero diverso da zero elevato a 0 dà 1: $10^0 = 1$ = $\log 1 = 0$

Answer: $\log 100\,000 = 5$ e $\log 1 = 0$

Logaritmi di piccoli numeri decimali

Calcola $\log 0{,}001$.

Scrivi il numero decimale come frazione: $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}$ = $\dfrac{1}{10^3}$

Usa un esponente negativo: $\dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}$ = $0{,}001 = 10^{-3}$

Leggi l'esponente: $\log(10^{-3}) = -3$ = $\log 0{,}001 = -3$

Answer: $\log 0{,}001 = -3$. I numeri compresi tra 0 e 1 hanno logaritmi negativi.

Stimare log 50

Tra quali due numeri interi si trova $\log 50$? Poi calcolalo con la calcolatrice.

Trova le potenze di 10 intorno a 50: $10 < 50 < 100$, cioè $10^1 < 50 < 10^2$ = Vicini: $10$ e $100$

Prendi i logaritmi dei vicini: $\log 10 = 1$ e $\log 100 = 2$ = $1 < \log 50 < 2$

Usa il tasto LOG: Digita log(50) = $\log 50 \approx 1{,}699$

Controlla la grandezza: Il punto medio su una scala logaritmica è $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$, non 55. Poiché $50 > 31{,}6$, $\log 50$ è sopra $1{,}5$ = $1{,}699$ è coerente

Answer: $1 < \log 50 < 2$ e $\log 50 \approx 1{,}699$

Logaritmi e notazione scientifica

Scrivi $3\,000$ in notazione scientifica, prevedi la parte intera di $\log 3\,000$ e poi controlla con la calcolatrice.

Scrivilo in notazione scientifica: $3\,000 = 3 \times 10^3$ = Esponente: $3$

Trova le potenze di 10 intorno al numero: $10^3 = 1\,000 \le 3\,000 < 10\,000 = 10^4$ = $3 \le \log 3\,000 < 4$

Usa il tasto LOG: Digita log(3000) = $\log 3\,000 \approx 3{,}477$

Confronta: La parte intera $3$ è l'esponente della notazione scientifica = L'ordine di grandezza è $3$

Answer: $\log 3\,000 \approx 3{,}477$: parte intera $3$, uguale all'esponente di $3 \times 10^3$

Dal logaritmo al numero

Un numero positivo $x$ ha $\log x = 2{,}5$. Tra quali potenze di 10 si trova $x$ e quanto vale $x$ (con 2 cifre decimali)?

Riscrivi con le potenze di 10: $\log x = 2{,}5$ significa $x = 10^{2{,}5}$ = $x = 10^{2{,}5}$

Colloca l'esponente: $2 < 2{,}5 < 3$, quindi $10^2 < x < 10^3$ = $100 < x < 1\,000$

Usa la calcolatrice: Digita 10^2,5 = $x \approx 316{,}23$

Answer: $x = 10^{2{,}5} \approx 316{,}23$, un numero tra $100$ e $1\,000$ (3 cifre)

Mistake: Pensare che $\log 50 = 1{,}5$ perché 50 è circa a metà strada tra 10 e 100

Why: Una scala logaritmica non è uniforme. Ogni passo di 1 nel logaritmo moltiplica il numero per 10, quindi il punto medio tra 10 e 100 è $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$.

Correct: $\log 50 \approx 1{,}699$. Prima stima i due interi ($1 < \log 50 < 2$), poi usa la calcolatrice.

Mistake: Scrivere $\log 0{,}01 = 2$ o dire che il logaritmo di un numero decimale non esiste

Why: $0{,}01 = 10^{-2}$, quindi l'esponente è negativo. I logaritmi dei numeri tra 0 e 1 esistono, sono semplicemente negativi.

Correct: $\log 0{,}01 = -2$, $\log 0{,}1 = -1$, $\log 0{,}001 = -3$.

Mistake: Scrivere $\log 0 = 0$ oppure $\log(-100) = -2$

Why: $10^n$ è positivo per ogni esponente $n$. Nessuna potenza di 10 è uguale a 0 o a un numero negativo.

Correct: $\log 0$ e $\log(-100)$ non sono definiti, la calcolatrice dà errore. Ricorda: $\log 1 = 0$, non $\log 0$.

Mistake: Contare tutte le cifre: $\log 1\,000 = 4$

Why: $1\,000$ ha 4 cifre ma solo 3 zeri. Il logaritmo conta i fattori 10, non le cifre.

Correct: $\log 1\,000 = 3$ perché $10^3 = 1\,000$. Un numero intero con $d$ cifre ha un logaritmo compreso tra $d - 1$ e $d$.

Ordini di grandezza

Nelle scienze si confrontano quantità enormi e minuscole tramite il loro ordine di grandezza: la parte intera del loro logaritmo decimale.

Un capello umano è spesso circa $0{,}0001$ m, e $\log 0{,}0001 = -4$. La Terra è larga circa $10\,000\,000$ m, e $\log 10\,000\,000 = 7$. La differenza di 11 ordini di grandezza significa che la Terra è circa $10^{11}$ volte più larga.

Il pH in chimica

Il pH di una soluzione è $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in mol/L. Più il pH è basso, più la soluzione è acida.

L'acqua pura ha $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$, quindi $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutra).

Decibel e suono

Il livello sonoro in decibel è $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, dove $\dfrac{I}{I_0}$ indica quante volte un suono è più intenso del suono più debole che possiamo sentire.

Un sussurro è circa $100$ volte più intenso della soglia uditiva: $L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20$ dB.

Q: Perché il logaritmo in base 10 si chiama decimale?

A: Il nostro sistema di numerazione è decimale, cioè in base 10. Per secoli le tavole dei logaritmi sono state in base 10, e oggi ogni calcolatrice scientifica ha il tasto LOG. Poiché si usa così spesso, la base non si scrive: $\log x$ significa $\log_{10} x$.

Q: Come trova la calcolatrice $\log 50$?

A: Usa un metodo numerico veloce per trovare l'esponente $n$ con $10^n = 50$. Puoi controllare il risultato: $10^{1{,}699} \approx 50$. La stima $1 < \log 50 < 2$ ti dice se hai premuto i tasti giusti.

Q: Perché i logaritmi di numeri decimali come $0{,}01$ sono negativi?

A: I numeri tra 0 e 1 si ottengono con esponenti negativi: $0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$. Quindi $\log 0{,}01 = -2$. Solo l'argomento deve essere positivo, il logaritmo invece può essere qualsiasi numero reale.

Q: Il tasto $\log$ della mia calcolatrice è uguale a $\ln$?

A: No. LOG usa la base 10, mentre LN usa un'altra base, il numero $e \approx 2{,}718$. Per esempio $\log 100 = 2$, ma $\ln 100 \approx 4{,}605$. La lezione Logaritmo naturale (ln) spiega quel tasto.