Logaritmo di 1 e logaritmo della base

Calcola $\log_9 1 + \log_9 9$.

Calcola $\log_9 1$: Quale potenza di $9$ dà $1$? $9^0 = 1$ = $\log_9 1 = 0$

Calcola $\log_9 9$: Quale potenza di $9$ dà $9$? $9^1 = 9$ = $\log_9 9 = 1$

Somma i risultati: $0 + 1$ = $1$

Answer: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Logaritmo di una potenza della base

Calcola $\log_4 64$ senza calcolatrice.

Scrivi l'argomento come potenza della base: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ = $64 = 4^3$

Riscrivi il logaritmo: $\log_4 64 = \log_4(4^3)$ = $\log_4(4^3)$

Usa $\log_b(b^x) = x$: Il logaritmo e la potenza si annullano, resta l'esponente = $3$

Answer: $\log_4 64 = 3$

Base elevata a un logaritmo

Semplifica $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5}$.

Controlla le basi: In $3^{\log_3 7}$ entrambe le basi sono $3$, in $2^{\log_2 5}$ entrambe le basi sono $2$ = Le basi coincidono

Applica $b^{\log_b x} = x$ al primo termine: $\log_3 7$ è l'esponente che trasforma $3$ in $7$ = $3^{\log_3 7} = 7$

Applica la stessa proprietà al secondo termine: $\log_2 5$ è l'esponente che trasforma $2$ in $5$ = $2^{\log_2 5} = 5$

Somma: $7 + 5$ = $12$

Answer: $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5} = 12$

Usare l'uguaglianza dei logaritmi

Risolvi $\log_3(2x + 1) = \log_3(x + 6)$.

Stessa base da entrambe le parti, quindi uguagliamo gli argomenti: Se $\log_3 M = \log_3 N$, allora $M = N$ = $2x + 1 = x + 6$

Risolvi l'equazione di primo grado: $2x - x = 6 - 1$ = $x = 5$

Controlla che entrambi gli argomenti siano positivi: $2 \cdot 5 + 1 = 11 > 0$ e $5 + 6 = 11 > 0$ = Entrambi gli argomenti valgono $11$

Answer: $x = 5$

Uguaglianza dei logaritmi con controllo del dominio

Risolvi $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$.

Uguaglia gli argomenti: Uguaglianza dei logaritmi con base $4$ = $x^2 - 4 = 3x$

Scrivi l'equazione di secondo grado in forma normale: $x^2 - 3x - 4 = 0$ = $(x - 4)(x + 1) = 0$

Trova i due candidati: $x - 4 = 0$ oppure $x + 1 = 0$ = $x = 4$ oppure $x = -1$

Controlla $x = -1$: $3x = -3$, e $\log_4(-3)$ non esiste = $x = -1$ è una soluzione estranea (non accettabile)

Controlla $x = 4$: $4^2 - 4 = 12 > 0$ e $3 \cdot 4 = 12 > 0$ = $x = 4$ è accettabile

Answer: $x = 4$ (il candidato $x = -1$ viene scartato)

Mistake: Scrivere $\log_b 1 = 1$ oppure $\log_b 1 = b$

Why: Il logaritmo è l'esponente, non il risultato. La domanda è: quale potenza di $b$ dà $1$?

Correct: $b^0 = 1$, quindi $\log_b 1 = 0$ per ogni base ammessa. Per esempio $\log_7 1 = 0$.

Mistake: Pensare che $\log_b 0 = 0$ o che il logaritmo di un numero negativo sia un numero negativo

Why: Una base positiva elevata a qualsiasi potenza è sempre positiva, quindi nessun esponente dà $0$ o un numero negativo.

Correct: $\log_b 0$ e $\log_b(-4)$ non esistono. L'argomento deve essere maggiore di $0$, mentre il valore di un logaritmo può essere negativo: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.

Mistake: Semplificare una potenza e un logaritmo con basi diverse: $2^{\log_3 9} = 9$

Why: $b^{\log_b x} = x$ vale solo quando la base della potenza e la base del logaritmo sono lo stesso numero.

Correct: Qui le basi sono diverse: $\log_3 9 = 2$, quindi $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$, non $9$.

Mistake: Usare l'uguaglianza dei logaritmi senza controllare gli argomenti

Why: Uguagliando gli argomenti può uscire un valore che rende un argomento nullo o negativo, dove il logaritmo di partenza non esiste.

Correct: Sostituisci sempre ogni candidato in tutti gli argomenti. Tienilo solo se tutti gli argomenti sono positivi.

Livello sonoro in decibel

Il livello di un suono è $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ decibel, dove $I_0$ è il suono più debole che una persona può sentire. Con le proprietà fondamentali il calcolo è veloce.

Alla soglia di udibilità $I = I_0$, quindi $L = 10 \log 1 = 10 \cdot 0 = 0$ decibel.

Acidità e pH

I chimici misurano l'acidità con $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in moli per litro. La proprietà inversa trasforma un pH in una concentrazione.

L'acqua pura ha $[H^+] = 10^{-7}$, quindi $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$.

Turni di un torneo a eliminazione diretta

In un torneo a eliminazione diretta, a ogni turno viene eliminata metà dei partecipanti. Con $2^n$ partecipanti ci sono $\log_2(2^n) = n$ turni prima che resti un vincitore.

Con $16 = 2^4$ squadre ci sono $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ turni.

Q: Perché $\log_b 1$ vale sempre $0$?

A: Ogni base ammessa elevata a $0$ dà $1$: $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $e^0 = 1$. Il logaritmo chiede proprio questo esponente, quindi la risposta è sempre $0$.

Q: Il valore di un logaritmo può essere negativo?

A: Sì. Solo l'argomento deve essere positivo. Per esempio $\log_{10} 0{,}01 = -2$ perché $10^{-2} = 0{,}01$. L'argomento $0{,}01$ è positivo, il valore $-2$ è negativo.

Q: Perché $b^{\log_b x} = x$ richiede $x > 0$, mentre $\log_b(b^x) = x$ vale per ogni $x$?

A: In $\log_b(b^x)$ l'argomento $b^x$ è sempre positivo, quindi ogni $x$ reale è ammesso. In $b^{\log_b x}$ deve prima esistere $\log_b x$, e per questo serve $x > 0$.

Q: Dove trovo le proprietà del prodotto, del quoziente e della potenza?

A: Ognuna ha la sua lezione: Proprietà del prodotto dei logaritmi, Proprietà del quoziente dei logaritmi e Proprietà della potenza dei logaritmi. Usano le proprietà di questa lezione, quindi conviene padroneggiarle prima.