Perché $b^{\log_b x} = x$ richiede $x > 0$, mentre $\log_b(b^x) = x$ vale per ogni $x$?

In $\log_b(b^x)$ l'argomento $b^x$ è sempre positivo, quindi ogni $x$ reale è ammesso. In $b^{\log_b x}$ deve prima esistere $\log_b x$, e per questo serve $x > 0$.

Dove trovo le proprietà del prodotto, del quoziente e della potenza?

Ognuna ha la sua lezione: Proprietà del prodotto dei logaritmi, Proprietà del quoziente dei logaritmi e Proprietà della potenza dei logaritmi. Usano le proprietà di questa lezione, quindi conviene padroneggiarle prima.

Risorse per insegnanti

Proprietà dei logaritmi

Q: Perché $\log_b 1$ vale sempre $0$?

Ogni base ammessa elevata a $0$ dà $1$: $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $e^0 = 1$. Il logaritmo chiede proprio questo esponente, quindi la risposta è sempre $0$.

Q: Il valore di un logaritmo può essere negativo?

Sì. Solo l'argomento deve essere positivo. Per esempio $\log_{10} 0{,}01 = -2$ perché $10^{-2} = 0{,}01$. L'argomento $0{,}01$ è positivo, il valore $-2$ è negativo.

Impara le proprietà fondamentali dei logaritmi: il logaritmo di 1, il logaritmo della base, le due proprietà inverse e l'uguaglianza dei logaritmi.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Le proprietà fondamentali dei logaritmi derivano tutte da un solo fatto: un logaritmo è un esponente. Per una base

b > 0

con

b \neq 1

\log_b x = y \iff b^y = x

Le cinque proprietà fondamentali

1.Logaritmo di 1: $\log_b 1 = 0$ , perché $b^0 = 1$
2.Logaritmo della base: $\log_b b = 1$ , perché $b^1 = b$
3.Proprietà inversa (logaritmo di una potenza della base): $\log_b(b^x) = x$ per ogni numero reale $x$
4.Proprietà inversa (base elevata a un logaritmo): $b^{\log_b x} = x$ per ogni $x > 0$
5.Uguaglianza dei logaritmi: se $\log_b M = \log_b N$ (con $M > 0$ , $N > 0$ ), allora $M = N$

Che cosa non è permesso: l'argomento di un logaritmo deve essere positivo.

\log_b 0

\log_b(-5)

non esistono, perché

b^y

è positivo per ogni esponente

y

Le proprietà 3 e 4 dicono che

y = \log_b x

y = b^x

sono funzioni inverse: l'una annulla l'effetto dell'altra.

Panoramica: le tre regole per combinare logaritmi (ognuna ha la sua lezione)

Regola	Formula	Lezione
Proprietà del prodotto	$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$	Proprietà del prodotto dei logaritmi
Proprietà del quoziente	$\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$	Proprietà del quoziente dei logaritmi
Proprietà della potenza	$\log_b(M^p) = p \log_b M$	Proprietà della potenza dei logaritmi

In questa lezione ci esercitiamo con le cinque proprietà fondamentali. Le tre regole della tabella sono spiegate passo per passo nelle loro lezioni.

Prova subito

Quanto vale

\log_6 1

Esempi svolti

Calcola $\log_9 1 + \log_9 9$ .

Calcola $\log_9 1$

Quale potenza di $9$ dà $1$ ? $9^0 = 1$ → $\log_9 1 = 0$

Calcola $\log_9 9$

Quale potenza di $9$ dà $9$ ? $9^1 = 9$ → $\log_9 9 = 1$

Somma i risultati

$0 + 1$

Risposta: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Errori comuni

Scrivere $\log_b 1 = 1$ oppure $\log_b 1 = b$

Perché è sbagliato: Il logaritmo è l'esponente, non il risultato. La domanda è: quale potenza di $b$ dà $1$ ?

Corretto: $b^0 = 1$ , quindi $\log_b 1 = 0$ per ogni base ammessa. Per esempio $\log_7 1 = 0$ .

Pensare che $\log_b 0 = 0$ o che il logaritmo di un numero negativo sia un numero negativo

Perché è sbagliato: Una base positiva elevata a qualsiasi potenza è sempre positiva, quindi nessun esponente dà $0$ o un numero negativo.

Corretto: $\log_b 0$ e $\log_b(-4)$ non esistono. L'argomento deve essere maggiore di $0$ , mentre il valore di un logaritmo può essere negativo: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$ .

Semplificare una potenza e un logaritmo con basi diverse: $2^{\log_3 9} = 9$

Perché è sbagliato: $b^{\log_b x} = x$ vale solo quando la base della potenza e la base del logaritmo sono lo stesso numero.

Corretto: Qui le basi sono diverse: $\log_3 9 = 2$ , quindi $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ , non $9$ .

Usare l'uguaglianza dei logaritmi senza controllare gli argomenti

Perché è sbagliato: Uguagliando gli argomenti può uscire un valore che rende un argomento nullo o negativo, dove il logaritmo di partenza non esiste.

Corretto: Sostituisci sempre ogni candidato in tutti gli argomenti. Tienilo solo se tutti gli argomenti sono positivi.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

b = 2

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = log_b(x)y = 1Asintoto

Tabella dei valori

x	0,5	1	2	4	8	10
log_b(x)	-1	0	1	2	3	3,32193
1	1	1	1	1	1	1

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Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quanto vale $\log_6 1$ ?

Perché è importante

Le proprietà fondamentali sono gli strumenti che usi ogni volta che lavori con i logaritmi:

Calcolare senza calcolatrice: $\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6$ in una riga
Risolvere equazioni: le proprietà inverse eliminano un logaritmo o una potenza, così $\log_3 x = 4$ diventa $x = 3^4 = 81$
Confrontare: l'uguaglianza dei logaritmi trasforma $\log_5(2x + 1) = \log_5 11$ nella semplice equazione $2x + 1 = 11$
Scale scientifiche: decibel, pH e scala Richter usano tutti $\log$ . Un suono alla soglia di udibilità ha $10 \log 1 = 0$ decibel
Evitare errori: sapere che $\log_b 0$ e i logaritmi di numeri negativi non esistono ti dice quali soluzioni scartare

Le proprietà del prodotto, del quoziente e della potenza (e la formula del cambiamento di base) si basano tutte su queste cinque proprietà.

Applicazioni nel mondo reale

Livello sonoro in decibel

Il livello di un suono è $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ decibel, dove $I_0$ è il suono più debole che una persona può sentire. Con le proprietà fondamentali il calcolo è veloce.

Esempio:

Alla soglia di udibilità $I = I_0$ , quindi $L = 10 \log 1 = 10 \cdot 0 = 0$ decibel.

1Provaci tu stesso

Un concerto rock ha un'intensità $I = 10^{11} \cdot I_0$ , quindi $\frac{I}{I_0} = 10^{11}$ .

Qual è il livello sonoro del concerto in decibel?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $L = 10 \log(10^{11})$ :

Acidità e pH

I chimici misurano l'acidità con $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in moli per litro. La proprietà inversa trasforma un pH in una concentrazione.

Esempio:

L'acqua pura ha $[H^+] = 10^{-7}$ , quindi $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$ .

2Provaci tu stesso

Il succo di limone ha pH $2$ , quindi $-\log[H^+] = 2$ e $\log[H^+] = -2$ .

Qual è la concentrazione di ioni idrogeno $[H^+]$ del succo di limone?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $10^{\log x} = x$ e calcola $[H^+] = 10^{-2}$ :

Turni di un torneo a eliminazione diretta

In un torneo a eliminazione diretta, a ogni turno viene eliminata metà dei partecipanti. Con $2^n$ partecipanti ci sono $\log_2(2^n) = n$ turni prima che resti un vincitore.

Esempio:

Con $16 = 2^4$ squadre ci sono $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ turni.

3Provaci tu stesso

Un torneo di scacchi a scuola inizia con $128$ giocatori. Ogni partita ha un vincitore e chi perde viene eliminato.

Quanti turni servono per trovare il campione?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\log_2 128$ :

Punti chiave

1 $\log_b 1 = 0$ perché $b^0 = 1$ , e $\log_b b = 1$ perché $b^1 = b$
2Proprietà inversa: $\log_b(b^x) = x$ per ogni numero reale $x$
3Proprietà inversa: $b^{\log_b x} = x$ per ogni $x > 0$ , ma solo se le due basi sono uguali
4Uguaglianza dei logaritmi: se $\log_b M = \log_b N$ , allora $M = N$ ; controlla sempre che gli argomenti siano positivi
5 $\log_b 0$ e il logaritmo di un numero negativo non esistono, mentre il valore di un logaritmo può essere negativo
6Le proprietà del prodotto, del quoziente e della potenza si basano su queste proprietà e hanno le loro lezioni

Domande frequenti

Ogni base ammessa elevata a

0

dà

1

2^0 = 1

10^0 = 1

e^0 = 1

. Il logaritmo chiede proprio questo esponente, quindi la risposta è sempre

0

Glossario

Logaritmo: L'esponente $y$ tale che $b^y = x$ , scritto $\log_b x = y$
Base: Il numero $b$ in $\log_b x$ ; deve valere $b > 0$ e $b \neq 1$
Argomento: Il numero $x$ in $\log_b x$ ; deve essere positivo
Proprietà inverse: $\log_b(b^x) = x$ e $b^{\log_b x} = x$ : il logaritmo e la funzione esponenziale con la stessa base si annullano a vicenda
Uguaglianza dei logaritmi: Se $\log_b M = \log_b N$ , allora $M = N$ : due argomenti positivi diversi non hanno mai lo stesso logaritmo
Funzione inversa: Una funzione che annulla l'effetto di un'altra; $y = \log_b x$ è la funzione inversa di $y = b^x$

Scheda formule

Logaritmo di 1

\log_b 1 = 0

Perché $b^0 = 1$

Logaritmo della base

\log_b b = 1

Perché $b^1 = b$

Proprietà inversa 1

\log_b(b^x) = x

Per ogni numero reale $x$

Proprietà inversa 2

b^{\log_b x} = x

Per ogni $x > 0$, stessa base ai due livelli

Uguaglianza dei logaritmi

\log_b M = \log_b N \Rightarrow M = N

Controlla che $M > 0$ e $N > 0$

Dominio

\log_b x

esiste solo per

x > 0

$\log_b 0$ e i logaritmi di numeri negativi non esistono

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