Problemi con i logaritmi

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Si confronta un terremoto di magnitudo $6$ con uno di magnitudo $4$ sulla scala Richter. Quante volte è più grande l'ampiezza del terremoto più forte?
1. a)20
2. b)1000
3. c)2
4. d)100
Risposta: 100
Il rapporto è $10^{6 - 4} = 10^2 = 100$ . Una differenza di $2$ significa due fattori $10$ , non "2 volte".
2.
Una soluzione ha una concentrazione di ioni idrogeno $[H^+] = 10^{-5}$ mol/L. Qual è il suo pH?
1. a) $0{,}00001$
2. b) $10^5$
3. c) $-5$
4. d) $5$
Risposta: $5$
$\text{pH} = -\log(10^{-5}) = -(-5) = 5$ . Il segno meno nella formula rende il pH positivo.
3.
Investi 1000 € al $5\,\%$ di interesse composto una volta all'anno. Quale espressione dà il tempo $t$ , in anni, finché il denaro raddoppia?
1. a) $\frac{\ln 2000}{\ln 1000}$
2. b) $\frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$
3. c) $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
4. d) $2 \cdot \ln 1{,}05$
Risposta: $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
$1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ dà $1{,}05^t = 2$ , quindi $t \ln 1{,}05 = \ln 2$ e $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$ . Il fattore di crescita è $1{,}05$ , non il tasso $0{,}05$ .
4.
Il suono A ha un livello di $90$ dB e il suono B un livello di $60$ dB. Quante volte è più intenso il suono A rispetto al suono B?
1. a)300
2. b)1000
3. c)3
4. d)30
Risposta: 1000
La differenza è di $30$ dB, quindi il rapporto è $10^{30/10} = 10^3 = 1000$ .
5.
Una sostanza perde l' $8\,\%$ della sua massa ogni anno. Quale equazione dà il numero di anni $t$ finché ne resta solo la metà?
1. a) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 1{,}08}$
2. b) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}08}$
3. c) $t = 0{,}5 \cdot \ln 0{,}92$
4. d) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Risposta: $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Ogni anno resta il $92\,\%$ , quindi il fattore di decadimento è $0{,}92$ : $0{,}92^t = 0{,}5$ , $t \ln 0{,}92 = \ln 0{,}5$ e $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92} \approx 8{,}31$ anni.
6.
Una soluzione ha $[H^+] = 0{,}001$ mol/L. Qual è il suo pH? (Il risultato è un numero intero.)
Risposta: 3
$0{,}001 = 10^{-3}$ , quindi $\text{pH} = -\log(10^{-3}) = 3$ .
7.
Un suono ha intensità $I = 10^7 \cdot I_0$ . Qual è il suo livello $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ in decibel? (Il risultato è un numero intero.)
Risposta: 70
$L = 10 \log(10^7) = 10 \times 7 = 70$ dB.
8.
Calcola il pH di una soluzione con $[H^+] = 2{,}5 \times 10^{-6}$ mol/L. Arrotonda a due cifre decimali.
Risposta: 5.60
$\log(2{,}5 \times 10^{-6}) = \log 2{,}5 - 6 \approx 0{,}39794 - 6 = -5{,}60206$ , quindi $\text{pH} \approx 5{,}60$ .
9.
Si confronta un terremoto di magnitudo $7{,}4$ con uno di magnitudo $5{,}6$ . Quante volte è più grande l'ampiezza di quello più forte? Arrotonda all'intero più vicino.
Risposta: 63
$10^{7{,}4 - 5{,}6} = 10^{1{,}8} \approx 63{,}096$ , che arrotondato dà $63$ .
10.
Una città ha $25\,000$ abitanti e cresce del $3\,\%$ all'anno. Dopo quanti anni raggiungerà $40\,000$ abitanti? Arrotonda a una cifra decimale.
Risposta: 15.9
$1{,}03^t = \frac{40\,000}{25\,000} = 1{,}6$ , quindi $t = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}03} \approx \frac{0{,}470004}{0{,}029559} \approx 15{,}90$ , cioè $15{,}9$ anni arrotondato.
11.
Il succo di limone ha una concentrazione di ioni idrogeno $[H^+] = 0{,}01$ mol/L. Calcola il suo pH.
Risposta: 2
1. Scrivi $0{,}01$ come potenza di 10: $0{,}01 = 10^{n}$ . Quanto vale $n$ ? -2
2. Quanto vale $\log(0{,}01)$ ? -2
3. Qual è il pH, $-\log(0{,}01)$ ? 2
12.
Un asciugacapelli produce un suono $1\,000\,000$ di volte più intenso della soglia di udibilità. Calcola il suo livello in decibel.
Risposta: 60
1. Scrivi $1\,000\,000 = 10^{n}$ . Quanto vale $n$ ? 6
2. Quanto vale $\log(1\,000\,000)$ ? 6
3. Quanto fa $L = 10 \log(1\,000\,000)$ in dB? 60
13.
Una tazza di caffè ha un pH di $5$ . Calcola la sua concentrazione di ioni idrogeno $[H^+]$ in mol/L, scritta come numero decimale.
Risposta: 0.00001
1. Da $-\log[H^+] = 5$ , quanto vale $\log[H^+]$ ? -5
2. Quindi $[H^+] = 10^{k}$ . Quanto vale $k$ ? -5
3. Scrivi $10^{-5}$ come numero decimale. 0.00001
14.
Il traffico intenso misura $85$ dB e una conversazione normale $60$ dB. Quante volte è più intenso il rumore del traffico? Arrotonda all'intero più vicino.
Risposta: 316
1. Qual è la differenza in decibel? 25
2. Il rapporto di intensità è $10^{x}$ con $x = \frac{25}{10}$ . Quanto vale $x$ ? 2.5
3. Calcola $10^{2{,}5}$ e arrotonda all'intero più vicino. 316
15.
Si investe denaro al $6\,\%$ di interesse composto una volta all'anno. Quanti anni interi servono perché il saldo sia almeno raddoppiato?
Risposta: 12
1. Per quale fattore di crescita viene moltiplicato il saldo ogni anno? 1.06
2. Calcola $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06}$ , arrotondato a due cifre decimali. 11.90
3. L'interesse viene accreditato una volta all'anno. Quanti anni interi servono? 12
16.
Un campione di laboratorio contiene $200$ mg di una sostanza con un'emivita di $5$ ore. Dopo quante ore ne resteranno solo $20$ mg? Arrotonda a una cifra decimale.
Risposta: 16.6
1. In $200 \cdot 0{,}5^{t/5} = 20$ , quanto vale $0{,}5^{t/5} = \frac{20}{200}$ ? 0.1
2. Calcola $\frac{t}{5} = \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}5}$ , arrotondato a due cifre decimali. 3.32
3. Moltiplica per 5. Quanto vale $t$ in ore, arrotondato a una cifra decimale? 16.6
17.
Investi 3000 € al $4\,\%$ con capitalizzazione continua, quindi $A = 3000e^{0{,}04t}$ . Dopo quanti anni il saldo raggiunge 4500 €? Arrotonda a due cifre decimali.
Risposta: 10.14
1. Dividi entrambi i membri per 3000: $e^{0{,}04t} = \frac{4500}{3000}$ . Quanto vale il secondo membro? 1.5
2. Applica ln: $0{,}04t = \ln 1{,}5$ . Quanto vale $\ln 1{,}5$ , arrotondato a quattro cifre decimali? 0.4055
3. Dividi per $0{,}04$ . Quanto vale $t$ , arrotondato a due cifre decimali? 10.14
18.
Un'auto comprata a $24\,000$ € perde il $15\,\%$ del suo valore ogni anno. Dopo quanti anni interi vale per la prima volta meno di $6000$ €?
Risposta: 9
1. Quanto vale $\frac{6000}{24\,000}$ ? 0.25
2. Per quale fattore viene moltiplicato il valore ogni anno? 0.85
3. Risolvi $0{,}85^t = 0{,}25$ : calcola $t = \frac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85}$ , arrotondato a due cifre decimali. 8.53
4. Il valore scende una volta all'anno. Dopo quanti anni interi è per la prima volta sotto il valore cercato? 9