Calcolare con la proprietà della potenza

Calcola $\log_2(8^5)$ senza calcolatrice.

Porta l'esponente davanti: $\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ = $5 \log_2 8$

Calcola il logaritmo più semplice: $2^3 = 8$, quindi $\log_2 8 = 3$ = $\log_2 8 = 3$

Moltiplica: $5 \cdot 3 = 15$ = $15$

Answer: $\log_2(8^5) = 15$. Verifica: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.

Logaritmo di una radice

Calcola $\log_5 \sqrt{125}$.

Scrivi la radice come potenza frazionaria: $\sqrt{125} = 125^{1/2}$ = $\log_5(125^{1/2})$

Applica la proprietà della potenza: $\log_5(125^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 125$ = $\frac{1}{2} \log_5 125$

Calcola il logaritmo: $5^3 = 125$, quindi $\log_5 125 = 3$ = $\log_5 125 = 3$

Moltiplica: $\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Answer: $\log_5 \sqrt{125} = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Sviluppare con tutte e tre le proprietà

Sviluppa $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}}$ (tutte le variabili positive).

Proprietà del quoziente: numeratore meno denominatore: $\log(x^3 y^2) - \log \sqrt{z}$ = Due logaritmi

Proprietà del prodotto sul numeratore: $\log(x^3 y^2) = \log x^3 + \log y^2$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log \sqrt{z}$

Scrivi la radice come potenza: $\sqrt{z} = z^{1/2}$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log z^{1/2}$

Proprietà della potenza su ogni termine: Porta ogni esponente davanti = $3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Answer: $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}} = 3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Condensare in un solo logaritmo

Scrivi $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$ come un unico logaritmo.

Proprietà della potenza al contrario: i coefficienti diventano esponenti: $2 \ln x = \ln x^2$, $3 \ln y = \ln y^3$, $4 \ln z = \ln z^4$ = $\ln x^2 + \ln y^3 - \ln z^4$

Proprietà del prodotto al contrario sulla somma: $\ln x^2 + \ln y^3 = \ln(x^2 y^3)$ = $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4$

Proprietà del quoziente al contrario sulla differenza: $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4 = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$ = $\ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Answer: $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Approssimare con logaritmi noti

Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$ per approssimare $\log 72$.

Scomponi in potenze di numeri primi: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ = $\log 72 = \log(2^3 \cdot 3^2)$

Proprietà del prodotto: $\log(2^3 \cdot 3^2) = \log 2^3 + \log 3^2$ = $\log 2^3 + \log 3^2$

Proprietà della potenza: $\log 2^3 + \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3$ = $3 \log 2 + 2 \log 3$

Sostituisci i valori: $3 \cdot 0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 = 0{,}903 + 0{,}954$ = $1{,}857$

Answer: $\log 72 \approx 1{,}857$ (la calcolatrice dà $1{,}8573$)

Mistake: Trattare $(\log M)^p$ come $p \log M$

Why: La proprietà della potenza funziona solo quando l'esponente è sull'**argomento**, dentro il logaritmo. In $(\log M)^p$ è tutto il logaritmo a essere elevato. Esempio: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$, ma $3 \log 100 = 6$.

Correct: $\log(M^p) = p \log M$, mentre $(\log M)^p$ non si semplifica con la proprietà della potenza. Guarda dove si trova l'esponente prima di spostarlo.

Mistake: Applicare l'esponente a tutto l'argomento: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Why: In $3x^2$ solo $x$ è al quadrato, non il $3$. Verifica con $x = 10$: $\log 300 \approx 2{,}48$, ma $2 \log 30 \approx 2{,}95$.

Correct: Separa prima il prodotto: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$.

Mistake: Trasformare una radice quadrata in un fattore 2: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Why: Una radice quadrata è la potenza $\frac{1}{2}$, non la potenza $2$. L'indice della radice va al denominatore.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$, e $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$.

Mistake: Condensare $3 \log x - \log y$ in $\log \frac{3x}{y}$

Why: Un coefficiente davanti a un logaritmo è un **esponente** dell'argomento, non un suo fattore.

Correct: Prima porta in alto il coefficiente: $3 \log x = \log x^3$. Poi $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$.

Intensità sonora in decibel

La variazione del livello sonoro è $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ decibel, dove $\frac{I_2}{I_1}$ indica quante volte cresce l'intensità. La proprietà della potenza trasforma le potenze di 10 in una semplice moltiplicazione.

Se raddoppi la distanza da un altoparlante, l'intensità si divide per $2^2 = 4$, quindi $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

Contare le cifre di numeri enormi

Un numero naturale $N$ ha $\lfloor \log N \rfloor + 1$ cifre. Con la proprietà della potenza puoi contare le cifre di potenze enormi senza calcolarle.

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$, quindi $2^{10} = 1024$ ha $3 + 1 = 4$ cifre.

Crescita di una popolazione

Una popolazione che cresce di una percentuale fissa ogni anno è una funzione esponenziale del tempo. Per sapere quando raggiunge un obiettivo, la proprietà della potenza fa scendere il tempo dall'esponente.

Con una crescita del 10 % annuo, una popolazione raddoppia quando $1{,}1^t = 2$: $t \log 1{,}1 = \log 2$, quindi $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ anni.

Q: Perché la proprietà della potenza funziona?

A: Un logaritmo è un esponente. Se $\log_b M = x$, allora $M = b^x$ e $M^p = b^{px}$. Elevare alla potenza $p$ moltiplica l'esponente per $p$, quindi anche il logaritmo (l'esponente) viene moltiplicato per $p$.

Q: L'esponente deve essere un numero intero?

A: No. La proprietà della potenza vale per ogni esponente reale: negativo ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), frazionario ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) e persino irrazionale.

Q: $\log(x^2)$ e $2 \log x$ sono davvero la stessa funzione?

A: Solo per $x > 0$. La funzione $\log(x^2)$ esiste anche per $x$ negativo (per esempio $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), mentre $2 \log x$ no. Per ogni $x \neq 0$ l'affermazione esatta è $\log(x^2) = 2 \log |x|$. Il grafico qui sopra mostra entrambe le curve.

Q: Quando devo sviluppare e quando condensare?

A: Sviluppa quando vuoi pezzi semplici, per esempio per approssimare $\log 72$ partendo da $\log 2$ e $\log 3$. Condensa quando vuoi un unico logaritmo, per esempio per risolvere un'equazione come $2 \log x - \log 4 = 2$ (vedi Risolvere equazioni logaritmiche).