L'esponente deve essere un numero intero?

No. La proprietà della potenza vale per ogni esponente reale: negativo ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), frazionario ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) e persino irrazionale.

$\log(x^2)$ e $2 \log x$ sono davvero la stessa funzione?

Solo per $x > 0$. La funzione $\log(x^2)$ esiste anche per $x$ negativo (per esempio $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), mentre $2 \log x$ no. Per ogni $x \neq 0$ l'affermazione esatta è $\log(x^2) = 2 \log |x|$. Il grafico qui sopra mostra entrambe le curve.

Quando devo sviluppare e quando condensare?

Sviluppa quando vuoi pezzi semplici, per esempio per approssimare $\log 72$ partendo da $\log 2$ e $\log 3$. Condensa quando vuoi un unico logaritmo, per esempio per risolvere un'equazione come $2 \log x - \log 4 = 2$ (vedi Risolvere equazioni logaritmiche).

Risorse per insegnanti

Proprietà della potenza dei logaritmi

Q: Perché la proprietà della potenza funziona?

Un logaritmo è un esponente. Se $\log_b M = x$, allora $M = b^x$ e $M^p = b^{px}$. Elevare alla potenza $p$ moltiplica l'esponente per $p$, quindi anche il logaritmo (l'esponente) viene moltiplicato per $p$.

Impara come la proprietà della potenza porta un esponente davanti al logaritmo, come le radici diventano potenze frazionarie e come sviluppare e condensare i logaritmi con tutte e tre le proprietà.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

La proprietà della potenza dei logaritmi dice che un esponente dentro un logaritmo può essere portato davanti come fattore:

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Vale per ogni esponente reale

p

, purché

M > 0

b > 0

b \neq 1

Perché è vera: poni

x = \log_b M

, cioè

M = b^x

. Allora

M^p = (b^x)^p = b^{px}

, e il logaritmo di

b^{px}

è semplicemente

px

. Quindi

\log_b(M^p) = p \cdot x = p \cdot \log_b M

Anche le radici sono potenze. Poiché

\sqrt[n]{M} = M^{1/n}

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Esempio:

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

, e

\log \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Insieme alla proprietà del prodotto (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) e alla proprietà del quoziente (

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

), la proprietà della potenza ti permette di sviluppare un logaritmo in tanti logaritmi semplici o di condensare più logaritmi in uno solo.

Prova subito

Quale espressione è uguale a

\log_3(x^5)

per

x > 0

Esempi svolti

Calcola $\log_2(8^5)$ senza calcolatrice.

Porta l'esponente davanti

$\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ → $5 \log_2 8$

Calcola il logaritmo più semplice

$2^3 = 8$ , quindi $\log_2 8 = 3$

Moltiplica

$5 \cdot 3 = 15$

Risposta: $\log_2(8^5) = 15$ . Verifica: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ .

Errori comuni

Trattare $(\log M)^p$ come $p \log M$

Perché è sbagliato: La proprietà della potenza funziona solo quando l'esponente è sull'argomento, dentro il logaritmo. In $(\log M)^p$ è tutto il logaritmo a essere elevato. Esempio: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , ma $3 \log 100 = 6$ .

Corretto: $\log(M^p) = p \log M$ , mentre $(\log M)^p$ non si semplifica con la proprietà della potenza. Guarda dove si trova l'esponente prima di spostarlo.

Applicare l'esponente a tutto l'argomento: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Perché è sbagliato: In $3x^2$ solo $x$ è al quadrato, non il $3$ . Verifica con $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$ , ma $2 \log 30 \approx 2{,}95$ .

Corretto: Separa prima il prodotto: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$ .

Trasformare una radice quadrata in un fattore 2: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Perché è sbagliato: Una radice quadrata è la potenza $\frac{1}{2}$ , non la potenza $2$ . L'indice della radice va al denominatore.

Corretto: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ , e $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$ .

Condensare $3 \log x - \log y$ in $\log \frac{3x}{y}$

Perché è sbagliato: Un coefficiente davanti a un logaritmo è un esponente dell'argomento, non un suo fattore.

Corretto: Prima porta in alto il coefficiente: $3 \log x = \log x^3$ . Poi $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Asintoto

Tabella dei valori

x	-10	0,1	1	10	1000
log(x²)	2	-2	0	2	6
2 log(x)	non def.	-2	0	2	6
(log x)²	non def.	1	0	1	9

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale espressione è uguale a $\log_3(x^5)$ per $x > 0$ ?

Perché è importante

È la proprietà della potenza a rendere i logaritmi davvero utili:

Risolvere equazioni esponenziali: in $1{,}05^t = 2$ l'incognita è nell'esponente. Applicando il logaritmo e la proprietà della potenza si ottiene $t \cdot \log 1{,}05 = \log 2$ : l'esponente scende e diventa un normale fattore.
Numeri enormi: $\log(2^{64}) = 64 \log 2 \approx 19{,}3$ ti dice subito che $2^{64}$ ha 20 cifre, senza calcolarlo.
Scale scientifiche: decibel, pH e scala Richter usano i logaritmi; la proprietà della potenza spiega perché elevare al quadrato un rapporto di intensità raddoppia la variazione in decibel.
Analisi: prima di derivare un prodotto complicato di potenze, se ne sviluppa il logaritmo con la proprietà della potenza.

È l'ultima delle tre proprietà principali dei logaritmi, e d'ora in poi userai tutte e tre insieme in quasi ogni esercizio sui logaritmi.

Applicazioni nel mondo reale

Intensità sonora in decibel

La variazione del livello sonoro è $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ decibel, dove $\frac{I_2}{I_1}$ indica quante volte cresce l'intensità. La proprietà della potenza trasforma le potenze di 10 in una semplice moltiplicazione.

Esempio:

Se raddoppi la distanza da un altoparlante, l'intensità si divide per $2^2 = 4$ , quindi $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

1Provaci tu stesso

Sei a 2 m da un altoparlante e ti allontani fino a 20 m. L'intensità sonora diminuisce con il quadrato della distanza, quindi si divide per $\left(\frac{20}{2}\right)^2$ . Il livello scende di $10 \log\left(\left(\frac{20}{2}\right)^2\right)$ decibel.

Di quanti decibel scende il livello sonoro?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $10 \log(10^2)$ :

Contare le cifre di numeri enormi

Un numero naturale $N$ ha $\lfloor \log N \rfloor + 1$ cifre. Con la proprietà della potenza puoi contare le cifre di potenze enormi senza calcolarle.

Esempio:

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ , quindi $2^{10} = 1024$ ha $3 + 1 = 4$ cifre.

2Provaci tu stesso

I computer usano spesso numeri a $64$ bit, e $2^{64}$ è il numero di valori diversi che possono memorizzare. Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ .

Quante cifre ha $2^{64}$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Numero di cifre: $\lfloor 64 \log 2 \rfloor + 1$

Crescita di una popolazione

Una popolazione che cresce di una percentuale fissa ogni anno è una funzione esponenziale del tempo. Per sapere quando raggiunge un obiettivo, la proprietà della potenza fa scendere il tempo dall'esponente.

Esempio:

Con una crescita del 10 % annuo, una popolazione raddoppia quando $1{,}1^t = 2$ : $t \log 1{,}1 = \log 2$ , quindi $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ anni.

3Provaci tu stesso

Una città ha 20000 abitanti e cresce del 3 % all'anno. Dopo $t$ anni ha $20000 \cdot 1{,}03^t$ abitanti.

Dopo quanti anni interi la città ha almeno 30000 abitanti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Arrotonda $t = \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}03}$ per eccesso ad anni interi:

Punti chiave

1Proprietà della potenza: $\log_b(M^p) = p \log_b M$ per $M > 0$ e ogni esponente reale $p$
2Le radici sono potenze frazionarie: $\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M$
3Un reciproco è la potenza $-1$ : $\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M$
4Sviluppare: prima separa prodotti e quozienti, poi porta davanti ogni esponente
5Condensare: prima trasforma ogni coefficiente in esponente, poi unisci le somme in prodotti e le differenze in quozienti
6 $(\log M)^p$ non è $p \log M$ : l'esponente deve stare dentro il logaritmo

Domande frequenti

Un logaritmo è un esponente. Se

\log_b M = x

, allora

M = b^x

M^p = b^{px}

. Elevare alla potenza

p

moltiplica l'esponente per

p

, quindi anche il logaritmo (l'esponente) viene moltiplicato per

p

Glossario

Proprietà della potenza: La proprietà dei logaritmi $\log_b(M^p) = p \log_b M$
Esponente: Il numero che indica quante volte la base compare come fattore, come in $M^p$
Esponente frazionario: Un esponente scritto come frazione; $M^{1/n}$ è la radice $n$ -esima di $M$
Sviluppare: Scrivere un logaritmo come somma e differenza di logaritmi più semplici
Condensare: Scrivere più logaritmi come un unico logaritmo
Coefficiente: Un numero che moltiplica un logaritmo, come il $3$ in $3 \log x$ ; la proprietà della potenza lo trasforma in esponente

Scheda formule

Proprietà della potenza

\log_b(M^p) = p \log_b M

L'esponente dell'argomento passa davanti

Radice

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Perché $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Reciproco

\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M

Perché $\frac{1}{M} = M^{-1}$

Proprietà del prodotto

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Promemoria: i prodotti diventano somme

Proprietà del quoziente

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Promemoria: i quozienti diventano differenze

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