Verificare la proprietà con i numeri

Mostra che $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$.

Calcola il membro di sinistra: $4 \cdot 8 = 32$ e $2^5 = 32$ = $\log_2 32 = 5$

Calcola ogni logaritmo del membro di destra: $2^2 = 4$ e $2^3 = 8$ = $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$

Somma e confronta: $2 + 3 = 5$, come a sinistra = $5 = 5$

Answer: Entrambi i membri valgono $5$: moltiplicare $4$ per $8$ somma gli esponenti $2$ e $3$.

Sviluppare un logaritmo

Sviluppa $\log_3(9x)$ il più possibile ($x > 0$).

Scrivi il prodotto come somma: $\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x$ = $\log_3 9 + \log_3 x$

Calcola il logaritmo che puoi: $3^2 = 9$, quindi $\log_3 9 = 2$ = $2$

Scrivi la forma finale: Sostituisci $\log_3 9$ con $2$ = $2 + \log_3 x$

Answer: $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$

Condensare una somma di logaritmi

Scrivi $\log_4 2 + \log_4 8$ come unico logaritmo e calcolalo.

Controlla che le basi siano uguali: Entrambi i logaritmi hanno base $4$, quindi la proprietà si applica = Stessa base

Moltiplica gli argomenti: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4(2 \cdot 8)$ = $\log_4 16$

Calcola: $4^2 = 16$ = $\log_4 16 = 2$

Answer: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16 = 2$

Calcolare con logaritmi noti

Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$ (logaritmi decimali, base 10) per approssimare $\log 12$.

Scomponi l'argomento in numeri di cui conosci il logaritmo: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ = $\log 12 = \log 2 + \log 2 + \log 3$

Sostituisci i valori noti: $0{,}301 + 0{,}301 + 0{,}477$ = $1{,}079$

Controlla con la calcolatrice: $\log 12 = 1{,}07918\ldots$ = $\log 12 \approx 1{,}079$

Answer: $\log 12 \approx 1{,}079$

Condensare con le variabili

Scrivi $\log_2 x + \log_2(x + 2)$ come unico logaritmo, poi calcolalo per $x = 2$.

Moltiplica gli argomenti: $\log_2 x + \log_2(x+2) = \log_2\big(x(x+2)\big)$ = $\log_2(x^2 + 2x)$

Fai attenzione al dominio: Entrambi i logaritmi di partenza richiedono $x > 0$ e $x + 2 > 0$ = $x > 0$

Sostituisci $x = 2$: $2^2 + 2 \cdot 2 = 8$ = $\log_2 8$

Calcola e verifica: $\log_2 8 = 3$, e $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ = $3$

Answer: $\log_2(x^2 + 2x)$ per $x > 0$; per $x = 2$ il valore è $3$.

Mistake: Scrivere $\log(M + N) = \log M + \log N$

Why: La proprietà riguarda un prodotto dentro il logaritmo, non una somma. Verifica: $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, ma $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$.

Correct: Vale solo $\log(MN) = \log M + \log N$. Il logaritmo di una somma, come $\log(x + 3)$, non si può spezzare.

Mistake: Moltiplicare i logaritmi: $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Why: Moltiplicare i numeri somma gli esponenti, non li moltiplica. Verifica: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$, ma $\log_2 32 = 5$.

Correct: Un prodotto dentro diventa una somma fuori: $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$.

Mistake: Condensare logaritmi con basi diverse: $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Why: La dimostrazione usa $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$, che vale solo quando le due potenze hanno la stessa base $b$.

Correct: Condensa solo logaritmi con la stessa base. $\log_2 x + \log_3 y$ resta così (oppure usa prima la formula del cambiamento di base).

Mistake: Usare la proprietà con fattori negativi: $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Why: $\log 10 = 1$ esiste, ma $\log(-2)$ e $\log(-5)$ no: l'argomento di un logaritmo deve essere positivo.

Correct: La proprietà richiede $M > 0$ e $N > 0$. Quando condensi, mantieni il dominio dei logaritmi di partenza (per esempio $x > 0$).

Decibel e intensità del suono

Il livello sonoro in decibel è $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Quando l'intensità $I$ viene moltiplicata per un fattore $k$, la proprietà del prodotto dà $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, quindi il livello sale di $10 \log k$.

Un suono che diventa 10 volte più intenso sale di $10 \log 10 = 10$ decibel, qualunque sia il livello di partenza.

Il regolo calcolatore: moltiplicare sommando

Un regolo calcolatore segna ogni numero $x$ a una distanza $\log x$ dall'inizio. Facendo scorrere una scala sull'altra si sommano due distanze, e per la proprietà del prodotto la somma delle distanze è il logaritmo del prodotto.

Per moltiplicare $2 \cdot 3$ si somma $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$, ed è proprio lì che è segnato il $6$.

Bit di informazione

In informatica servono $\log_2 N$ bit per memorizzare una tra $N$ opzioni ugualmente probabili. Combinare due scelte indipendenti moltiplica le opzioni ma somma i bit.

Una scelta tra $8$ simboli richiede $\log_2 8 = 3$ bit, una scelta tra $4$ richiede $2$ bit, e insieme danno $32$ opzioni: $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bit.

Q: La proprietà del prodotto funziona con più di due fattori?

A: Sì. Applicala più volte: $\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P$. Per esempio $\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7$.

Q: Funziona anche con il logaritmo naturale?

A: Sì, vale per ogni base ammessa, anche per $e$: $\ln(MN) = \ln M + \ln N$. Per esempio $\ln 2 + \ln 5 = \ln 10$.

Q: Esiste una regola per $\log(M + N)$?

A: No. In generale il logaritmo di una somma non ha una forma più semplice. $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, mentre $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$.

Q: Che differenza c'è con le proprietà del quoziente e della potenza?

A: Sono sorelle della stessa idea. La proprietà del prodotto trasforma la moltiplicazione in addizione; la Proprietà del quoziente dei logaritmi trasforma la divisione in sottrazione; la Proprietà della potenza dei logaritmi trasforma una potenza in una moltiplicazione per l'esponente.