Funziona anche con il logaritmo naturale?

Sì, vale per ogni base ammessa, anche per $e$: $\ln(MN) = \ln M + \ln N$. Per esempio $\ln 2 + \ln 5 = \ln 10$.

Esiste una regola per $\log(M + N)$?

No. In generale il logaritmo di una somma non ha una forma più semplice. $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, mentre $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$.

Che differenza c'è con le proprietà del quoziente e della potenza?

Sono sorelle della stessa idea. La proprietà del prodotto trasforma la moltiplicazione in addizione; la Proprietà del quoziente dei logaritmi trasforma la divisione in sottrazione; la Proprietà della potenza dei logaritmi trasforma una potenza in una moltiplicazione per l'esponente.

Risorse per insegnanti

Proprietà del prodotto dei logaritmi

Q: La proprietà del prodotto funziona con più di due fattori?

Sì. Applicala più volte: $\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P$. Per esempio $\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7$.

Scopri perché il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi e usa questa proprietà per sviluppare, condensare e calcolare i logaritmi.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

La proprietà del prodotto dei logaritmi dice che il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi dei suoi fattori:

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Vale per ogni base

b > 0

b \neq 1

, e per numeri

M

N

positivi.

Perché funziona: un logaritmo è un esponente. Scrivi

M = b^m

N = b^n

, quindi

\log_b M = m

\log_b N = n

. Quando moltiplichi potenze con la stessa base, sommi gli esponenti:

MN = b^m \cdot b^n = b^{m+n}

L'esponente di

MN

è quindi

m + n

, cioè

\log_b(MN) = m + n = \log_b M + \log_b N

Verifica con i numeri:

\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5

\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

Letta da sinistra a destra, la proprietà sviluppa il logaritmo di un prodotto in una somma. Letta da destra a sinistra, condensa una somma di logaritmi (con la stessa base) in un unico logaritmo.

Prova subito

Quale espressione è uguale a

\log_b(MN)

(con

M, N > 0

Esempi svolti

Mostra che $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$ .

Calcola il membro di sinistra

$4 \cdot 8 = 32$ e $2^5 = 32$ → $\log_2 32 = 5$

Calcola ogni logaritmo del membro di destra

$2^2 = 4$ e $2^3 = 8$ → $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$

Somma e confronta

$2 + 3 = 5$ , come a sinistra → $5 = 5$

Risposta: Entrambi i membri valgono $5$ : moltiplicare $4$ per $8$ somma gli esponenti $2$ e $3$ .

Errori comuni

Scrivere $\log(M + N) = \log M + \log N$

Perché è sbagliato: La proprietà riguarda un prodotto dentro il logaritmo, non una somma. Verifica: $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$ , ma $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$ .

Corretto: Vale solo $\log(MN) = \log M + \log N$ . Il logaritmo di una somma, come $\log(x + 3)$ , non si può spezzare.

Moltiplicare i logaritmi: $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Perché è sbagliato: Moltiplicare i numeri somma gli esponenti, non li moltiplica. Verifica: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ , ma $\log_2 32 = 5$ .

Corretto: Un prodotto dentro diventa una somma fuori: $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$ .

Condensare logaritmi con basi diverse: $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Perché è sbagliato: La dimostrazione usa $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ , che vale solo quando le due potenze hanno la stessa base $b$ .

Corretto: Condensa solo logaritmi con la stessa base. $\log_2 x + \log_3 y$ resta così (oppure usa prima la formula del cambiamento di base).

Usare la proprietà con fattori negativi: $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Perché è sbagliato: $\log 10 = 1$ esiste, ma $\log(-2)$ e $\log(-5)$ no: l'argomento di un logaritmo deve essere positivo.

Corretto: La proprietà richiede $M > 0$ e $N > 0$ . Quando condensi, mantieni il dominio dei logaritmi di partenza (per esempio $x > 0$ ).

Visuale interattivo

Grafico della funzione

a = 4

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

log₂(a) = 2

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Asintoto

Tabella dei valori

x	1	2	4	8	16
log₂(x)	0	1	2	3	4
log₂(a·x)	2	3	4	5	6
log₂(a) + log₂(x)	2	3	4	5	6

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale espressione è uguale a $\log_b(MN)$ (con $M, N > 0$ )?

Perché è importante

La proprietà del prodotto trasforma la moltiplicazione in addizione, ed è proprio per questo che i logaritmi sono stati inventati:

Calcolare a mano: prima delle calcolatrici si moltiplicavano numeri grandi sommando i loro logaritmi presi da una tavola (anche il regolo calcolatore somma lunghezze).
Calcolare logaritmi: se conosci $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$ , ottieni $\log 6 \approx 0{,}778$ senza calcolatrice.
Suono e scienze: quando un suono diventa 100 volte più intenso, il suo livello in decibel aumenta di una quantità fissa, perché $\log(100 \cdot I) = 2 + \log I$ .
Risolvere equazioni: nella lezione Risolvere equazioni logaritmiche condenserai $\log_2 x + \log_2(x+2)$ in un unico logaritmo prima di risolvere.
Informatica: combinare scelte indipendenti moltiplica le possibilità ma somma i bit, perché $\log_2(16 \cdot 64) = 4 + 6$ .

Applicazioni nel mondo reale

Decibel e intensità del suono

Il livello sonoro in decibel è $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Quando l'intensità $I$ viene moltiplicata per un fattore $k$, la proprietà del prodotto dà $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, quindi il livello sale di $10 \log k$.

Esempio:

Un suono che diventa 10 volte più intenso sale di $10 \log 10 = 10$ decibel, qualunque sia il livello di partenza.

1Provaci tu stesso

In una strada si misurano $60$ decibel. Una macchina da cantiere rende l'intensità del suono $1000$ volte maggiore.

Qual è il nuovo livello sonoro in decibel?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Aggiungi $10 \log(1000)$ al livello di prima:

Il regolo calcolatore: moltiplicare sommando

Un regolo calcolatore segna ogni numero $x$ a una distanza $\log x$ dall'inizio. Facendo scorrere una scala sull'altra si sommano due distanze, e per la proprietà del prodotto la somma delle distanze è il logaritmo del prodotto.

Esempio:

Per moltiplicare $2 \cdot 3$ si somma $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ , ed è proprio lì che è segnato il $6$ .

2Provaci tu stesso

Su un regolo calcolatore il $4$ è alla distanza $\log 4 \approx 0{,}602$ e il $5$ alla distanza $\log 5 \approx 0{,}699$ . Messi uno dopo l'altro danno una distanza totale.

Quale prodotto mostra il regolo calcolatore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova il numero il cui logaritmo è la distanza totale:

Bit di informazione

In informatica servono $\log_2 N$ bit per memorizzare una tra $N$ opzioni ugualmente probabili. Combinare due scelte indipendenti moltiplica le opzioni ma somma i bit.

Esempio:

Una scelta tra $8$ simboli richiede $\log_2 8 = 3$ bit, una scelta tra $4$ richiede $2$ bit, e insieme danno $32$ opzioni: $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bit.

3Provaci tu stesso

Un personaggio di un videogioco viene salvato con uno tra $16$ colori e una tra $64$ forme.

Quanti bit servono per memorizzare colore e forma insieme?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $\log_2(16 \cdot 64) = \log_2 16 + \log_2 64$ :

Punti chiave

1Proprietà del prodotto: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ per $M > 0$ , $N > 0$ , $b > 0$ , $b \neq 1$
2Deriva dalla proprietà delle potenze $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ : moltiplicando i numeri si sommano gli esponenti
3Sviluppare: scrivere il logaritmo di un prodotto come somma, per esempio $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$
4Condensare: unire una somma di logaritmi con la stessa base in un unico logaritmo, per esempio $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16$
5Con $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$ puoi approssimare i logaritmi di prodotti, come $\log 6 \approx 0{,}778$
6Non esiste una regola per $\log(M + N)$ : il logaritmo di una somma non si può spezzare

Domande frequenti

Sì. Applicala più volte:

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

. Per esempio

\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7

Glossario

Proprietà del prodotto: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ : il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi
Sviluppare: Scrivere un logaritmo come somma di logaritmi più semplici, per esempio $\log(2x) = \log 2 + \log x$
Condensare: Scrivere una somma di logaritmi con la stessa base come unico logaritmo
Argomento: Il numero dentro il logaritmo, $M$ in $\log_b M$ ; deve essere positivo
Logaritmo decimale: Il logaritmo in base 10, scritto $\log x$

Scheda formule

Proprietà del prodotto

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Per $M, N > 0$ e $b > 0$, $b \neq 1$

Da dove viene

b^m \cdot b^n = b^{m+n}

Moltiplicando potenze si sommano gli esponenti

Tre fattori

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

Applicare la proprietà più volte

Valori utili

\log 2 \approx 0{,}301

\log 3 \approx 0{,}477

Logaritmi decimali per stimare i logaritmi di prodotti

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