Verificare la proprietà con i numeri

Mostra che $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Calcolare direttamente il membro di sinistra: $\dfrac{32}{4} = 8$ e $2^3 = 8$ = $\log_2 8 = 3$

Calcolare ogni logaritmo del membro di destra: $2^5 = 32$ e $2^2 = 4$ = $\log_2 32 = 5$, $\log_2 4 = 2$

Sottrarre: $5 - 2 = 3$ = $3$

Confrontare i due membri: Membro di sinistra $3$, membro di destra $3$ = I due membri sono uguali

Answer: Entrambi i membri valgono $3$, quindi $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Condensare una differenza

Scrivi $\log_3 54 - \log_3 2$ come unico logaritmo e calcolalo.

Controllare che le basi siano uguali: Entrambi i logaritmi hanno base $3$ = La proprietà del quoziente si può applicare

Unire in un solo logaritmo (numeratore: il primo termine): $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3\left(\dfrac{54}{2}\right)$ = $\log_3 27$

Calcolare: $3^3 = 27$ = $\log_3 27 = 3$

Answer: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$

Sviluppare un quoziente con una variabile

Sviluppa $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$ per $x > 0$ e semplifica il più possibile.

Applicare la proprietà del quoziente: Numeratore meno denominatore: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - \log_5 25$ = $\log_5 x - \log_5 25$

Calcolare la parte numerica: $5^2 = 25$ = $\log_5 25 = 2$

Scrivere la forma semplificata: $\log_5 x$ non si può semplificare oltre = $\log_5 x - 2$

Answer: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - 2$

Proprietà del quoziente e del prodotto insieme

Sviluppa $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ per $a, b, c > 0$.

Dividere prima il quoziente: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log(ab) - \log c$ = $\log(ab) - \log c$

Dividere il prodotto con la proprietà del prodotto: $\log(ab) = \log a + \log b$ = $\log a + \log b - \log c$

Verificare con i numeri ($a = 20$, $b = 5$, $c = 10$): $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ e $\log 20 + \log 5 - \log 10 = \log 100 - 1 = 1$ = Entrambi danno $1$

Answer: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$

Condensare tre logaritmi

Calcola $\log 40 + \log 50 - \log 2$ senza calcolatrice ($\log$ è il logaritmo decimale, in base 10).

Unire la somma con la proprietà del prodotto: $\log 40 + \log 50 = \log(40 \cdot 50)$ = $\log 2000$

Unire la differenza con la proprietà del quoziente: $\log 2000 - \log 2 = \log\left(\dfrac{2000}{2}\right)$ = $\log 1000$

Scrivere $1000$ come potenza di $10$: $1000 = 10^3$ = $\log 1000 = 3$

Answer: $\log 40 + \log 50 - \log 2 = \log 1000 = 3$

Mistake: Scrivere $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Why: Un quoziente di due logaritmi non è il logaritmo di un quoziente. Prova: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$, ma $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$.

Correct: La proprietà trasforma una divisione DENTRO il logaritmo in una sottrazione: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$. La frazione $\dfrac{\log M}{\log N}$ non ha scorciatoie di questo tipo.

Mistake: Scrivere $\log(M - N) = \log M - \log N$

Why: La proprietà riguarda un quoziente dentro il logaritmo, non una differenza. Prova: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$, ma $\log 100 - \log 10 = 1$.

Correct: Non esiste alcuna proprietà che divida $\log(M - N)$. Solo $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ diventa $\log M - \log N$.

Mistake: Sottrarre nell'ordine sbagliato: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Why: La sottrazione non è commutativa, quindi l'ordine conta. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$, ma $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$.

Correct: Prima il numeratore, meno il denominatore: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$.

Mistake: Scrivere $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Why: Sia $N$ sia $P$ sono al denominatore, quindi si sottraggono entrambi i logaritmi. Il $+$ tratta $P$ come se fosse al numeratore.

Correct: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$. Usa le parentesi: $\log M - (\log N + \log P)$.

Confrontare livelli sonori in decibel

Il livello sonoro è $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ decibel, dove $I$ è l'intensità e $I_0$ un riferimento fisso. Per la proprietà del quoziente, la differenza tra due livelli è $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: il riferimento $I_0$ si semplifica.

Un suono 100 volte più intenso di un altro è più forte di $10 \log 100 = 20$ decibel.

Confrontare l'acidità con il pH

In chimica $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno. Per la proprietà del quoziente, la differenza di pH tra due soluzioni è il logaritmo del rapporto tra le loro concentrazioni.

Il caffè ha $[H^+] = 10^{-5}$ e l'acqua pura $10^{-7}$. La differenza di pH è $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 contro pH 7).

Confrontare terremoti sulla scala Richter

La magnitudo Richter è $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, dove $A$ è l'ampiezza del movimento del suolo e $A_0$ un'ampiezza di riferimento. Per due terremoti misurati alla stessa distanza, la proprietà del quoziente dà $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Se un terremoto ha un'ampiezza 10 volte maggiore di un altro, la sua magnitudo è più alta di $\log 10 = 1$.

Q: I due logaritmi devono avere la stessa base?

A: Sì. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ funziona solo quando entrambi i termini hanno la stessa base $b$. Una differenza come $\log_2 8 - \log_3 9$ non si può condensare in un unico logaritmo con questa proprietà.

Q: Che cosa succede quando il quoziente è minore di 1?

A: Allora il logaritmo è negativo (con una base maggiore di 1), e la proprietà mostra il perché: $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. In generale $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

Q: Posso sviluppare $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$?

A: Sì, per $x > 2$: $\log x - \log(x - 2)$. Però $\log(x - 2)$ resta così, perché non esiste alcuna proprietà per il logaritmo di una differenza.

Q: Perché si dice che è la gemella della proprietà del prodotto?

A: Dividere per $N$ significa moltiplicare per $\dfrac{1}{N}$, quindi $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Ogni passo con la proprietà del quoziente è un passo con la proprietà del prodotto travestito.