Che cosa succede quando il quoziente è minore di 1?

Allora il logaritmo è negativo (con una base maggiore di 1), e la proprietà mostra il perché: $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. In generale $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

Posso sviluppare $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$?

Sì, per $x > 2$: $\log x - \log(x - 2)$. Però $\log(x - 2)$ resta così, perché non esiste alcuna proprietà per il logaritmo di una differenza.

Perché si dice che è la gemella della proprietà del prodotto?

Dividere per $N$ significa moltiplicare per $\dfrac{1}{N}$, quindi $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Ogni passo con la proprietà del quoziente è un passo con la proprietà del prodotto travestito.

Risorse per insegnanti

Proprietà del quoziente dei logaritmi

Q: I due logaritmi devono avere la stessa base?

Sì. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ funziona solo quando entrambi i termini hanno la stessa base $b$. Una differenza come $\log_2 8 - \log_3 9$ non si può condensare in un unico logaritmo con questa proprietà.

Scopri perché il logaritmo di un quoziente è una differenza di logaritmi e usa la proprietà per sviluppare e condensare espressioni.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

La proprietà del quoziente dei logaritmi dice: il logaritmo di un quoziente è il logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore.

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

La proprietà vale per

M > 0

N > 0

e una base

b > 0

con

b \neq 1

Perché funziona: un logaritmo è un esponente. Poni

\log_b M = x

\log_b N = y

, quindi

M = b^x

N = b^y

. Quando si dividono potenze con la stessa base, gli esponenti si sottraggono:

\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N

È la gemella della proprietà del prodotto (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

): moltiplicare dentro il logaritmo diventa sommare fuori, e dividere dentro diventa sottrarre fuori.

Esempio:

\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3

, e infatti

\log_2 8 = 3

Puoi usare la proprietà in due direzioni:

Sviluppare: dividere il logaritmo di un quoziente in una differenza, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$
Condensare: scrivere una differenza come unico logaritmo, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Prova subito

Quale espressione è uguale a

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

(per

M, N > 0

Esempi svolti

Mostra che $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Calcolare direttamente il membro di sinistra

$\dfrac{32}{4} = 8$ e $2^3 = 8$ → $\log_2 8 = 3$

Calcolare ogni logaritmo del membro di destra

$2^5 = 32$ e $2^2 = 4$ → $\log_2 32 = 5$ , $\log_2 4 = 2$

Sottrarre

$5 - 2 = 3$

Confrontare i due membri

Membro di sinistra $3$ , membro di destra $3$ → I due membri sono uguali

Risposta: Entrambi i membri valgono $3$ , quindi $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Errori comuni

Scrivere $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Perché è sbagliato: Un quoziente di due logaritmi non è il logaritmo di un quoziente. Prova: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , ma $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ .

Corretto: La proprietà trasforma una divisione DENTRO il logaritmo in una sottrazione: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$ . La frazione $\dfrac{\log M}{\log N}$ non ha scorciatoie di questo tipo.

Scrivere $\log(M - N) = \log M - \log N$

Perché è sbagliato: La proprietà riguarda un quoziente dentro il logaritmo, non una differenza. Prova: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$ , ma $\log 100 - \log 10 = 1$ .

Corretto: Non esiste alcuna proprietà che divida $\log(M - N)$ . Solo $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ diventa $\log M - \log N$ .

Sottrarre nell'ordine sbagliato: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Perché è sbagliato: La sottrazione non è commutativa, quindi l'ordine conta. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$ , ma $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$ .

Corretto: Prima il numeratore, meno il denominatore: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ .

Scrivere $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Perché è sbagliato: Sia $N$ sia $P$ sono al denominatore, quindi si sottraggono entrambi i logaritmi. Il $+$ tratta $P$ come se fosse al numeratore.

Corretto: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$ . Usa le parentesi: $\log M - (\log N + \log P)$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

a = 2

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Asintoto

Tabella dei valori

x	1	2	4	5	10	20
log(x/a)	-0,30103	0	0,30103	0,39794	0,69897	1
log(x) - log(a)	-0,30103	0	0,30103	0,39794	0,69897	1
log(x) / log(a) (SBAGLIATO: non è uguale a log(x/a))	0	1	2	2,32193	3,32193	4,32193

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = log(x/2)

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale espressione è uguale a $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ (per $M, N > 0$ )?

Perché è importante

La proprietà del quoziente trasforma una divisione in una sottrazione, ed è proprio ciò di cui hanno bisogno molte formule:

Confrontare due misure: decibel, pH e scala Richter confrontano una grandezza con un valore di riferimento tramite $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ . La proprietà del quoziente mostra che la differenza tra due livelli dipende solo dal rapporto tra le due grandezze.
Suono: due suoni le cui intensità stanno nel rapporto $1000$ differiscono di $10 \log 1000 = 30$ decibel, indipendentemente da quanto sono forti.
Chimica: due soluzioni le cui concentrazioni di ioni idrogeno differiscono di un fattore $100$ distano esattamente $2$ sulla scala del pH.
Semplificare espressioni: sviluppare $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ in $\log a + \log b - \log c$ rende molto più semplici i calcoli successivi (e l'analisi).
Risolvere equazioni: condensare $\log_3 x - \log_3 4$ in $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ è spesso il primo passo per risolvere un'equazione logaritmica.

Insieme alla proprietà del prodotto e alla proprietà della potenza, la proprietà del quoziente ti permette di riscrivere quasi ogni espressione logaritmica nella forma che ti serve.

Applicazioni nel mondo reale

Confrontare livelli sonori in decibel

Il livello sonoro è $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ decibel, dove $I$ è l'intensità e $I_0$ un riferimento fisso. Per la proprietà del quoziente, la differenza tra due livelli è $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: il riferimento $I_0$ si semplifica.

Esempio:

Un suono 100 volte più intenso di un altro è più forte di $10 \log 100 = 20$ decibel.

1Provaci tu stesso

Un altoparlante produce un'intensità di $I_A = 0{,}01$ W/m², una strada tranquilla $I_B = 0{,}00001$ W/m².

Di quanti decibel l'altoparlante è più forte della strada?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ :

Confrontare l'acidità con il pH

In chimica $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno. Per la proprietà del quoziente, la differenza di pH tra due soluzioni è il logaritmo del rapporto tra le loro concentrazioni.

Esempio:

Il caffè ha $[H^+] = 10^{-5}$ e l'acqua pura $10^{-7}$ . La differenza di pH è $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 contro pH 7).

2Provaci tu stesso

Il succo di pomodoro ha $[H^+] = 10^{-4}$ e l'acqua pura ha $[H^+] = 10^{-7}$ .

Di quanto il pH del succo di pomodoro è più basso di quello dell'acqua?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\log\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}\right)$ :

Confrontare terremoti sulla scala Richter

La magnitudo Richter è $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, dove $A$ è l'ampiezza del movimento del suolo e $A_0$ un'ampiezza di riferimento. Per due terremoti misurati alla stessa distanza, la proprietà del quoziente dà $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Esempio:

Se un terremoto ha un'ampiezza 10 volte maggiore di un altro, la sua magnitudo è più alta di $\log 10 = 1$ .

3Provaci tu stesso

Due terremoti vengono registrati alla stessa distanza. Il primo ha ampiezza $A_1 = 50000$ micrometri, il secondo $A_2 = 500$ micrometri. Il secondo terremoto ha magnitudo $4$ .

Qual è la magnitudo del primo terremoto?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $4 + \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$ :

Punti chiave

1Proprietà del quoziente: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ per $M, N > 0$
2Deriva dalla proprietà delle potenze $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : dividendo potenze si sottraggono gli esponenti
3Sviluppare divide il logaritmo di un quoziente in una differenza; condensare scrive una differenza come unico logaritmo
4Prima il numeratore: si sottrae sempre il logaritmo del denominatore
5Con la proprietà del prodotto: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ e $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$
6 $\dfrac{\log M}{\log N}$ e $\log(M - N)$ NON sono uguali a $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Domande frequenti

Sì.

\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

funziona solo quando entrambi i termini hanno la stessa base

b

. Una differenza come

\log_2 8 - \log_3 9

non si può condensare in un unico logaritmo con questa proprietà.

Glossario

Proprietà del quoziente: La proprietà $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ per $M, N > 0$
Quoziente: Il risultato di una divisione; in $\dfrac{M}{N}$ , $M$ è il numeratore e $N$ il denominatore
Sviluppare: Riscrivere il logaritmo di un prodotto o di un quoziente come somma o differenza di logaritmi più semplici
Condensare: Scrivere una somma o differenza di logaritmi con la stessa base come unico logaritmo
Argomento: Il numero dentro un logaritmo, come $M$ in $\log_b M$ ; deve essere positivo

Scheda formule

Proprietà del quoziente

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Per $M > 0$, $N > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

Reciproco

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Caso particolare con $M = 1$, perché $\log_b 1 = 0$

Con la proprietà del prodotto

\log_b\left(\dfrac{MN}{P}\right) = \log_b M + \log_b N - \log_b P

I fattori al numeratore si sommano, quelli al denominatore si sottraggono

Non è una proprietà

\dfrac{\log_b M}{\log_b N} \neq \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

Un quoziente di logaritmi non è il logaritmo di un quoziente

Altro su questo argomento

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Visuale interattivo

Grafico della funzione

Tabella dei valori

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Confrontare livelli sonori in decibel

Confrontare l'acidità con il pH

Confrontare terremoti sulla scala Richter

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Proprietà del quoziente

Reciproco

Con la proprietà del prodotto

Non è una proprietà

Altro su questo argomento

Introduzione ai logaritmi

Definizione di logaritmo

Logaritmo decimale (base 10)

Logaritmo naturale (ln)