Successione di Fibonacci

La **successione di Fibonacci** è l'elenco di numeri $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots$$ in cui ogni termine dopo i primi due è la **somma dei due termini precedenti**: $1 + 1 = 2$, $1 + 2 = 3$, $2 + 3 = 5$, $3 + 5 = 8$, e così via. ### La regola per ricorrenza Chiamiamo i termini $F_1, F_2, F_3, \ldots$ e scriviamo: $$F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ per } n \geq 3$$ Troverai anche la scrittura $F(n) = F(n-1) + F(n-2)$. È una **regola per ricorrenza**: per ottenere un termine ti servono i termini subito prima. In una successione aritmetica aggiungi sempre la stessa ragione $d$, in una successione geometrica moltiplichi sempre per la stessa ragione $r$, ma qui la quantità che aggiungi continua a crescere. ### I conigli di Fibonacci Nel 1202 Leonardo da Pisa, detto **Fibonacci**, propose un problema sui conigli nel suo libro *Liber Abaci*. Oggi di solito si racconta così: in un prato viene messa una coppia di conigli appena nati. Una coppia diventa adulta dopo un mese e da quel momento ogni coppia adulta genera una nuova coppia ogni mese. Nessun coniglio muore. Contando le coppie mese per mese si ottiene $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ (Nella versione di Fibonacci la prima coppia aveva figli già dal primo mese, quindi il suo conteggio iniziava con $1, 2, 3, 5, \ldots$, gli stessi numeri. Studiosi indiani li avevano già trovati secoli prima, contando i ritmi di sillabe lunghe e brevi nella poesia.) ### Schemi nascosti - **Un termine ogni tre è pari**: $F_3 = 2$, $F_6 = 8$, $F_9 = 34$, $F_{12} = 144$, e tutti gli altri termini sono dispari. - **Somma dei primi $n$ termini**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$. Per esempio $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$. - **Rapporto tra vicini**: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ si avvicina sempre di più alla **sezione aurea** $$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$$

Continuare la successione

La successione di Fibonacci inizia con $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ Trova $F_{10}$, $F_{11}$ e $F_{12}$.

Individua gli ultimi due termini noti: $F_8 = 21$ e $F_9 = 34$ = $F_8 = 21$, $F_9 = 34$

Sommali per ottenere $F_{10}$: $F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21$ = $F_{10} = 55$

Somma i due termini più recenti per ottenere $F_{11}$: $F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34$ = $F_{11} = 89$

Ripeti ancora una volta per $F_{12}$: $F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55$ = $F_{12} = 144$

Answer: $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$ e $F_{12} = 144$. Somma sempre i due termini più recenti.

Il problema dei conigli di Fibonacci

Nel mese 1 in un prato vive una coppia di conigli appena nati. Una coppia diventa adulta dopo un mese, e ogni coppia adulta genera una nuova coppia ogni mese. Nessun coniglio muore. Quante coppie ci sono nel mese 8?

Conta i primi mesi: Mese 1: una coppia di cuccioli. Mese 2: la coppia è adulta ma non ha ancora piccoli. Mese 3: ha la sua prima coppia di cuccioli. = $1, 1, 2$

Trova la regola: Coppie di questo mese = coppie del mese scorso (nessuna muore) + una coppia di cuccioli per ogni coppia che era già viva due mesi fa (ora sono adulte) = $R_n = R_{n-1} + R_{n-2}$

Continua fino al mese 8: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$ = Mese 8: $21$ coppie

Dividi tra adulte e cuccioli: Coppie adulte nel mese 8 = tutte le coppie del mese 7 = 13; cuccioli = adulte del mese 7 = tutte le coppie del mese 6 = 8 = $13 + 8 = 21$

Answer: Nel mese 8 ci sono $21$ coppie: $13$ coppie adulte e $8$ coppie di cuccioli. I numeri dei conigli sono esattamente i numeri di Fibonacci.

I rapporti si avvicinano alla sezione aurea

Dividi ogni numero di Fibonacci per il precedente, da $\frac{5}{3}$ a $\frac{34}{21}$. A quale numero si avvicinano i rapporti?

Calcola i primi due rapporti: $\frac{5}{3} \approx 1{,}667$ e $\frac{8}{5} = 1{,}600$ = $1{,}667$, $1{,}600$

Calcola i due successivi: $\frac{13}{8} = 1{,}625$ e $\frac{21}{13} \approx 1{,}615$ = $1{,}625$, $1{,}615$

Ancora un rapporto: $\frac{34}{21} \approx 1{,}619$ = $1{,}619$

Confronta con $\varphi$: $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$. I rapporti stanno a turno sopra e sotto $\varphi$, e la distanza si riduce ogni volta = I rapporti tendono a $1{,}618$

Answer: I rapporti oscillano sopra e sotto $\varphi \approx 1{,}618$ e si avvicinano ogni volta di più. Già con $\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ coincidono con $\varphi$ fino alla terza cifra decimale.

La scorciatoia per la somma

Calcola $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21$ senza sommare tutti i termini uno per uno.

Conta i termini: Sono i termini da $F_1$ a $F_8$ = $n = 8$

Usa la regola della somma: $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$, quindi la somma è $F_{10} - 1$ = Somma $= F_{10} - 1$

Trova $F_{10}$: $F_9 = 34$, quindi $F_{10} = 21 + 34 = 55$ = Somma $= 55 - 1 = 54$

Controlla sommando: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54$ = Confermato: $54$

Answer: La somma è $54$, cioè $F_{10} - 1$. La somma dei primi $n$ numeri di Fibonacci è sempre uno in meno del termine che sta due posti più avanti.

Nuovi valori iniziali: i numeri di Lucas

Usa la stessa regola (somma i due termini precedenti) ma parti da $2$ e $1$. Trova i primi 10 termini e il rapporto tra il 10° termine e il 9°.

Costruisci i termini da 3 a 6: $2 + 1 = 3$, $1 + 3 = 4$, $3 + 4 = 7$, $4 + 7 = 11$ = $2, 1, 3, 4, 7, 11$

Costruisci i termini da 7 a 10: $7 + 11 = 18$, $11 + 18 = 29$, $18 + 29 = 47$, $29 + 47 = 76$ = $18, 29, 47, 76$

Dividi il 10° termine per il 9°: $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$ = $\approx 1{,}617$

Confronta con il rapporto di Fibonacci: Fibonacci: $\frac{55}{34} \approx 1{,}618$. Entrambi sono vicini a $\varphi \approx 1{,}618$ = Stesso limite $\varphi$

Answer: I numeri di Lucas sono $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, \ldots$ e $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$. Con due numeri iniziali positivi qualsiasi, il rapporto tra vicini tende comunque a $\varphi$.

La successione di Fibonacci è uno degli schemi più famosi della matematica e compare in posti sorprendenti: - **Piante**: molti girasoli mostrano 34 spirali in un verso e 55 nell'altro, le pigne spesso 8 e 13, gli ananas anche 8 e 13. Disporre i semi ruotando sempre dello stesso angolo (circa $137{,}5°$, legato a $\varphi$) li distribuisce in modo regolare, quasi senza buchi, e da qui nascono i numeri di spirali di Fibonacci. - **Contare**: il numero di modi di salire una scala facendo 1 o 2 gradini alla volta è un numero di Fibonacci. - **Unità di misura**: poiché $\varphi \approx 1{,}618$ è vicino a $1{,}609$ (chilometri in un miglio), due numeri di Fibonacci vicini convertono le miglia in chilometri: 5 miglia sono circa 8 km, 8 miglia circa 13 km. - **Pensiero ricorsivo**: costruire ogni passo a partire dai precedenti è il modo in cui funzionano molti programmi per computer e modelli di crescita. Una precisazione onesta: non tutte le spirali in natura sono spirali di Fibonacci, i conteggi sulle piante a volte sbagliano di uno, e molte affermazioni sulla sezione aurea in quadri ed edifici famosi sono esagerate. Un buon matematico controlla i numeri prima di credere alla storia.

Mistake: Raddoppiare l'ultimo termine: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Why: Raddoppiare dà una successione geometrica. La regola di Fibonacci somma gli ultimi DUE termini, e non sono uguali (tranne proprio all'inizio).

Correct: Dopo $2$ viene $1 + 2 = 3$, poi $2 + 3 = 5$: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Mistake: Sbagliare le posizioni, per esempio dire $F_{10} = 89$

Why: I primi due termini valgono entrambi $1$, quindi è facile saltarne uno. Alcuni libri mettono anche uno $0$ all'inizio ($0, 1, 1, 2, \ldots$); se conti quello $0$ come primo termine, ogni posizione si sposta di uno.

Correct: Scrivi le posizioni sopra i termini: $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, $F_3 = 2$, ..., $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$. Controlla da dove parte il tuo libro.

Mistake: Pensare che i rapporti salgano piano piano fino a $1{,}618$, o che un rapporto sia esattamente $\varphi$

Why: I rapporti saltano sopra e sotto $\varphi$: $1{,}6$, $1{,}625$, $1{,}615$, $1{,}619$, ... Ogni rapporto è una frazione e $\varphi$ è irrazionale, quindi nessun rapporto è mai uguale a $\varphi$.

Correct: Di' che i rapporti si avvicinano a $\varphi$ da entrambi i lati, quanto vogliamo, senza mai raggiungerlo.

Mistake: Credere che ogni spirale e ogni bel rettangolo siano di Fibonacci o aurei

Why: La conchiglia del nautilus è una spirale, ma il suo fattore di crescita non è $\varphi$. Molte affermazioni sulla sezione aurea nel Partenone o nella Gioconda dipendono da dove si sceglie di tracciare le linee.

Correct: Prima conta o misura. I numeri di spirali di girasoli e pigne sono spesso numeri di Fibonacci, ma non sempre, e le affermazioni sull'arte richiedono misure vere.

Le spirali del girasole

I semi di un girasole formano due famiglie di spirali, una in senso orario e una in senso antiorario. I loro numeri sono molto spesso due numeri di Fibonacci vicini.

Un girasole tipico mostra 34 spirali in un verso e 55 nell'altro. I fiori più piccoli possono mostrarne 21 e 34, quelli molto grandi 89 e 144. Alcuni non seguono lo schema, quindi conta sempre.

Salire le scale

Se sali una scala facendo 1 o 2 gradini alla volta, il numero di modi diversi per arrivare in cima segue la regola di Fibonacci.

1 gradino: 1 modo. 2 gradini: 2 modi (1 + 1 oppure 2). 3 gradini: 3 modi. Per arrivare al gradino $n$ l'ultimo passo parte dal gradino $n - 1$ (passo da 1) o dal gradino $n - 2$ (passo da 2), quindi modi($n$) = modi($n - 1$) + modi($n - 2$).

Da miglia a chilometri

Un miglio vale circa $1{,}609$ km, molto vicino a $\varphi \approx 1{,}618$. Quindi un numero di Fibonacci di miglia corrisponde all'incirca al numero di Fibonacci successivo di chilometri.

5 miglia $\approx$ 8 km (esattamente $8{,}05$ km), 8 miglia $\approx$ 13 km (esattamente $12{,}87$ km), 13 miglia $\approx$ 21 km (esattamente $20{,}92$ km).

La successione di Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ segue la regola per ricorrenza $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ con $F_1 = F_2 = 1$

Il problema dei conigli di Fibonacci (1202) produce esattamente questi numeri mese per mese

Un termine ogni tre è pari ($F_3, F_6, F_9, \ldots$) e tutti gli altri sono dispari

La somma dei primi $n$ termini è $F_{n+2} - 1$

Il rapporto $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ tende alla sezione aurea $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, stando a turno sopra e sotto

Altri valori iniziali, come i numeri di Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$, hanno lo stesso limite $\varphi$; i numeri di Fibonacci compaiono spesso nelle piante, ma non in ogni spirale

Q: Perché i rapporti tendono a $1{,}618$ e non a un altro numero?

A: Se il rapporto si stabilizza su un numero $r$, allora $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ diventa $r = 1 + \frac{1}{r}$, cioè $r^2 = r + 1$. La soluzione positiva è $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, la sezione aurea. Verifica: $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Q: Esiste una formula per $F_n$ senza scrivere tutti i termini?

A: Sì, si chiama formula di Binet: $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Anche se contiene $\sqrt{5}$, dà sempre un numero intero. La sua dimostrazione arriva più avanti in algebra; per ora sommare i termini è il metodo sicuro.

Q: La successione inizia con 0 o con 1?

A: Sono comuni entrambe le versioni. Molti libri aggiungono $F_0 = 0$ davanti: $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Con $F_0 = 0$ e $F_1 = 1$ ogni termine mantiene il suo numero ($F_{10} = 55$ in entrambi i casi); le posizioni cambiano solo se qualcuno chiama quello $0$ il primo termine. In questa lezione $F_1 = F_2 = 1$.

Q: La sezione aurea è davvero nascosta nel Partenone e nella Gioconda?

A: Probabilmente molto meno di quanto si dica. Se scegli liberamente le linee, trovi quasi sempre due lunghezze con un rapporto vicino a $1{,}6$, e ci sono poche prove storiche che quegli artisti l'abbiano voluto. Le spirali delle piante sono molto meglio documentate, e anche lì i conteggi non sono sempre numeri di Fibonacci.

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Successione di Fibonacci

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Precalcolo / Successioni

Successione di Fibonacci

Impara la successione di Fibonacci, in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, i suoi schemi nascosti e perché il rapporto tra termini vicini si avvicina alla sezione aurea.

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