Esiste una formula per $F_n$ senza scrivere tutti i termini?

Sì, si chiama formula di Binet: $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Anche se contiene $\sqrt{5}$, dà sempre un numero intero. La sua dimostrazione arriva più avanti in algebra; per ora sommare i termini è il metodo sicuro.

La successione inizia con 0 o con 1?

Sono comuni entrambe le versioni. Molti libri aggiungono $F_0 = 0$ davanti: $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Con $F_0 = 0$ e $F_1 = 1$ ogni termine mantiene il suo numero ($F_{10} = 55$ in entrambi i casi); le posizioni cambiano solo se qualcuno chiama quello $0$ il primo termine. In questa lezione $F_1 = F_2 = 1$.

La sezione aurea è davvero nascosta nel Partenone e nella Gioconda?

Probabilmente molto meno di quanto si dica. Se scegli liberamente le linee, trovi quasi sempre due lunghezze con un rapporto vicino a $1{,}6$, e ci sono poche prove storiche che quegli artisti l'abbiano voluto. Le spirali delle piante sono molto meglio documentate, e anche lì i conteggi non sono sempre numeri di Fibonacci.

Risorse per insegnanti

Successione di Fibonacci

Q: Perché i rapporti tendono a $1{,}618$ e non a un altro numero?

Se il rapporto si stabilizza su un numero $r$, allora $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ diventa $r = 1 + \frac{1}{r}$, cioè $r^2 = r + 1$. La soluzione positiva è $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, la sezione aurea. Verifica: $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Impara la successione di Fibonacci, in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, i suoi schemi nascosti e perché il rapporto tra termini vicini si avvicina alla sezione aurea.

Intermedio25 minLezione

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Definizione

La successione di Fibonacci è l'elenco di numeri

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots

in cui ogni termine dopo i primi due è la somma dei due termini precedenti:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

, e così via.

La regola per ricorrenza

Chiamiamo i termini

F_1, F_2, F_3, \ldots

e scriviamo:

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ per } n \geq 3

Troverai anche la scrittura

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

. È una regola per ricorrenza: per ottenere un termine ti servono i termini subito prima. In una successione aritmetica aggiungi sempre la stessa ragione

d

, in una successione geometrica moltiplichi sempre per la stessa ragione

r

, ma qui la quantità che aggiungi continua a crescere.

I conigli di Fibonacci

Nel 1202 Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, propose un problema sui conigli nel suo libro *Liber Abaci*. Oggi di solito si racconta così: in un prato viene messa una coppia di conigli appena nati. Una coppia diventa adulta dopo un mese e da quel momento ogni coppia adulta genera una nuova coppia ogni mese. Nessun coniglio muore. Contando le coppie mese per mese si ottiene

1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots

(Nella versione di Fibonacci la prima coppia aveva figli già dal primo mese, quindi il suo conteggio iniziava con

1, 2, 3, 5, \ldots

, gli stessi numeri. Studiosi indiani li avevano già trovati secoli prima, contando i ritmi di sillabe lunghe e brevi nella poesia.)

Schemi nascosti

Un termine ogni tre è pari: $F_3 = 2$ , $F_6 = 8$ , $F_9 = 34$ , $F_{12} = 144$ , e tutti gli altri termini sono dispari.
**Somma dei primi $n$ termini**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ . Per esempio $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$ .
Rapporto tra vicini: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ si avvicina sempre di più alla sezione aurea

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Prova subito

Quale numero viene dopo?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Esempi svolti

La successione di Fibonacci inizia con

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots

Trova

F_{10}

F_{11}

F_{12}

Individua gli ultimi due termini noti

F_8 = 21

F_9 = 34

→

F_8 = 21

F_9 = 34

Sommali per ottenere $F_{10}$

F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21

→

F_{10} = 55

Somma i due termini più recenti per ottenere $F_{11}$

F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34

→

F_{11} = 89

Ripeti ancora una volta per $F_{12}$

F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55

→

F_{12} = 144

Risposta: $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ e $F_{12} = 144$ . Somma sempre i due termini più recenti.

Errori comuni

Raddoppiare l'ultimo termine: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Perché è sbagliato: Raddoppiare dà una successione geometrica. La regola di Fibonacci somma gli ultimi DUE termini, e non sono uguali (tranne proprio all'inizio).

Corretto: Dopo $2$ viene $1 + 2 = 3$ , poi $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Sbagliare le posizioni, per esempio dire $F_{10} = 89$

Perché è sbagliato: I primi due termini valgono entrambi $1$ , quindi è facile saltarne uno. Alcuni libri mettono anche uno $0$ all'inizio ( $0, 1, 1, 2, \ldots$ ); se conti quello $0$ come primo termine, ogni posizione si sposta di uno.

Corretto: Scrivi le posizioni sopra i termini: $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , $F_3 = 2$ , ..., $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ . Controlla da dove parte il tuo libro.

Pensare che i rapporti salgano piano piano fino a $1{,}618$ , o che un rapporto sia esattamente $\varphi$

Perché è sbagliato: I rapporti saltano sopra e sotto $\varphi$ : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}615$ , $1{,}619$ , ... Ogni rapporto è una frazione e $\varphi$ è irrazionale, quindi nessun rapporto è mai uguale a $\varphi$ .

Corretto: Di' che i rapporti si avvicinano a $\varphi$ da entrambi i lati, quanto vogliamo, senza mai raggiungerlo.

Credere che ogni spirale e ogni bel rettangolo siano di Fibonacci o aurei

Perché è sbagliato: La conchiglia del nautilus è una spirale, ma il suo fattore di crescita non è $\varphi$ . Molte affermazioni sulla sezione aurea nel Partenone o nella Gioconda dipendono da dove si sceglie di tracciare le linee.

Corretto: Prima conta o misura. I numeri di spirali di girasoli e pigne sono spesso numeri di Fibonacci, ma non sempre, e le affermazioni sull'arte richiedono misure vere.

Visuale interattivo

Aggiungi quadrati di lato 1, 1, 2, 3, 5, 8... e guarda il rapporto avvicinarsi a 1,618

Rettangolo: 5 × 8

La successione

11235

2 + 3 = 5

Ogni nuovo termine è la somma dei due termini precedenti.

Rapporto tra vicini: nuovo termine ÷ termine precedente

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ
5 ÷ 3 = 1,66667> φ

I rapporti saltano sopra e sotto φ = 1,618034 e si avvicinano ogni volta (ora la distanza è 0,048633).

I conigli di Fibonacci: coppie mese per mese

Una coppia giovane diventa adulta in un mese. Ogni coppia adulta ha una coppia giovane ogni mese. Nessun coniglio se ne va.

Mese	Adulte	Giovani	Totale
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	2
4	2	1	3

coppia adultacoppia giovane

Coppie di conigli, mese per mese

1123

1 + 2 = 3

Ogni nuovo termine è la somma dei due termini precedenti.

Rapporto tra vicini: nuovo termine ÷ termine precedente

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ

I rapporti saltano sopra e sotto φ = 1,618034 e si avvicinano ogni volta (ora la distanza è 0,118034).

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale numero viene dopo?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Perché è importante

La successione di Fibonacci è uno degli schemi più famosi della matematica e compare in posti sorprendenti:

Piante: molti girasoli mostrano 34 spirali in un verso e 55 nell'altro, le pigne spesso 8 e 13, gli ananas anche 8 e 13. Disporre i semi ruotando sempre dello stesso angolo (circa $137{,}5°$ , legato a $\varphi$ ) li distribuisce in modo regolare, quasi senza buchi, e da qui nascono i numeri di spirali di Fibonacci.
Contare: il numero di modi di salire una scala facendo 1 o 2 gradini alla volta è un numero di Fibonacci.
Unità di misura: poiché $\varphi \approx 1{,}618$ è vicino a $1{,}609$ (chilometri in un miglio), due numeri di Fibonacci vicini convertono le miglia in chilometri: 5 miglia sono circa 8 km, 8 miglia circa 13 km.
Pensiero ricorsivo: costruire ogni passo a partire dai precedenti è il modo in cui funzionano molti programmi per computer e modelli di crescita.

Una precisazione onesta: non tutte le spirali in natura sono spirali di Fibonacci, i conteggi sulle piante a volte sbagliano di uno, e molte affermazioni sulla sezione aurea in quadri ed edifici famosi sono esagerate. Un buon matematico controlla i numeri prima di credere alla storia.

Applicazioni nel mondo reale

Le spirali del girasole

I semi di un girasole formano due famiglie di spirali, una in senso orario e una in senso antiorario. I loro numeri sono molto spesso due numeri di Fibonacci vicini.

Esempio:

Un girasole tipico mostra 34 spirali in un verso e 55 nell'altro. I fiori più piccoli possono mostrarne 21 e 34, quelli molto grandi 89 e 144. Alcuni non seguono lo schema, quindi conta sempre.

1Provaci tu stesso

Un girasole gigante ha 55 spirali in senso orario. Le sue spirali in senso antiorario seguono il numero di Fibonacci successivo.

Quante spirali in senso antiorario ti aspetti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Somma 55 e il numero di Fibonacci subito prima:

Salire le scale

Se sali una scala facendo 1 o 2 gradini alla volta, il numero di modi diversi per arrivare in cima segue la regola di Fibonacci.

Esempio:

1 gradino: 1 modo. 2 gradini: 2 modi (1 + 1 oppure 2). 3 gradini: 3 modi. Per arrivare al gradino $n$ l'ultimo passo parte dal gradino $n - 1$ (passo da 1) o dal gradino $n - 2$ (passo da 2), quindi modi( $n$ ) = modi( $n - 1$ ) + modi( $n - 2$ ).

2Provaci tu stesso

Una scala ha 8 gradini. Sali 1 o 2 gradini alla volta. 1 gradino ha 1 modo, 2 gradini hanno 2 modi, e ogni numero successivo è la somma dei due precedenti.

In quanti modi diversi puoi salire tutti gli 8 gradini?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Somma i modi per 6 e 7 gradini:

Da miglia a chilometri

Un miglio vale circa $1{,}609$ km, molto vicino a $\varphi \approx 1{,}618$. Quindi un numero di Fibonacci di miglia corrisponde all'incirca al numero di Fibonacci successivo di chilometri.

Esempio:

5 miglia $\approx$ 8 km (esattamente $8{,}05$ km), 8 miglia $\approx$ 13 km (esattamente $12{,}87$ km), 13 miglia $\approx$ 21 km (esattamente $20{,}92$ km).

3Provaci tu stesso

Un percorso in bicicletta è lungo 21 miglia. Vuoi una stima veloce in chilometri.

Circa quanti chilometri sono 21 miglia?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa il numero di Fibonacci che segue 21:

Punti chiave

1La successione di Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ segue la regola per ricorrenza $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ con $F_1 = F_2 = 1$
2Il problema dei conigli di Fibonacci (1202) produce esattamente questi numeri mese per mese
3Un termine ogni tre è pari ( $F_3, F_6, F_9, \ldots$ ) e tutti gli altri sono dispari
4La somma dei primi $n$ termini è $F_{n+2} - 1$
5Il rapporto $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ tende alla sezione aurea $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , stando a turno sopra e sotto
6Altri valori iniziali, come i numeri di Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ , hanno lo stesso limite $\varphi$ ; i numeri di Fibonacci compaiono spesso nelle piante, ma non in ogni spirale

Domande frequenti

Se il rapporto si stabilizza su un numero

r

, allora

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}

diventa

r = 1 + \frac{1}{r}

, cioè

r^2 = r + 1

. La soluzione positiva è

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, la sezione aurea. Verifica:

1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1

Glossario

Successione di Fibonacci: La successione $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ in cui ogni termine è la somma dei due precedenti
Regola per ricorrenza: Una regola che calcola ogni termine dai termini precedenti, per esempio $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Sezione aurea ( $\varphi$ ): Il numero $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , limite del rapporto tra numeri di Fibonacci vicini
Numeri di Lucas: La successione $2, 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ costruita con la regola di Fibonacci partendo dai numeri 2 e 1
Spirale aurea: La spirale formata da quarti di cerchio disegnati in quadrati i cui lati sono numeri di Fibonacci

Scheda formule

Regola per ricorrenza

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

F_1 = F_2 = 1

Ogni termine è la somma dei due precedenti

Somma dei primi $n$ termini

F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1

Uno in meno del termine due posti più avanti

Sezione aurea

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Il limite di $\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Proprietà chiave di $\varphi$

\varphi^2 = \varphi + 1

Elevare $\varphi$ al quadrato equivale ad aggiungergli 1

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