Estrarre carte senza rimpiazzo

Un mazzo standard ha 52 carte. Estrai 2 carte senza rimpiazzo. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano cuori?

Trova P(primo cuore): Ci sono 13 cuori su 52 carte = $P(C_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

Trova P(secondo cuore | il primo era cuore): Dopo aver estratto 1 cuore: restano 12 cuori, 51 carte in totale = $P(C_2 | C_1) = \frac{12}{51}$

Moltiplica le probabilità: $P(C_1 \text{ e } C_2) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51}$ = $= \frac{156}{2652}$

Semplifica: $\frac{156}{2652} = \frac{1}{17}$ = $\approx 0{,}059$ ovvero circa $5{,}9\%$

Answer: La probabilità di estrarre 2 cuori di fila è $\frac{1}{17}$ ovvero circa $5{,}9\%$

Selezionare da un gruppo

Un sacchetto contiene 6 biglie rosse e 4 biglie blu. Estrai 2 biglie senza rimpiazzo. Qual è la probabilità di estrarre una biglia rossa prima e poi una blu?

Trova P(rossa prima): 6 biglie rosse su 10 in totale = $P(R) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Trova P(blu seconda | rossa prima): Dopo aver rimosso 1 rossa: 4 blu su 9 rimanenti = $P(B | R) = \frac{4}{9}$

Moltiplica le probabilità: $P(R \text{ poi } B) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9}$ = $= \frac{12}{45}$

Semplifica: $\frac{12}{45} = \frac{4}{15}$ = $\approx 0{,}267$ ovvero circa $26{,}7\%$

Answer: La probabilità è $\frac{4}{15}$ ovvero circa $26{,}7\%$

Tre eventi dipendenti

Un barattolo contiene 5 caramelle rosse, 3 verdi e 2 gialle. Prendi 3 caramelle senza rimpiazzo. Qual è la probabilità di prendere rossa, poi verde, poi gialla?

Trova P(rossa prima): 5 rosse su 10 in totale = $P(R) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Trova P(verde seconda | rossa prima): 3 verdi su 9 rimanenti = $P(V | R) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Trova P(gialla terza | rossa poi verde): 2 gialle su 8 rimanenti = $P(G | R,V) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Moltiplica tutte le probabilità: $P(R,V,G) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ = $= \frac{1}{24} \approx 4{,}2\%$

Answer: La probabilità è $\frac{1}{24}$ ovvero circa $4{,}2\%$

Mistake: Usare lo stesso denominatore per entrambi gli eventi

Why: Quando si estrae senza rimpiazzo, il numero totale di elementi diminuisce. Usare 52 per entrambe le estrazioni di carte ignora questo cambiamento.

Correct: Dopo la prima estrazione, ridurre il denominatore. Seconda estrazione da 51 carte, terza estrazione da 50 carte, ecc.

Mistake: Dimenticare di aggiustare il numeratore

Why: Se estrai un cuore per primo, restano solo 12 cuori, non 13. Il primo evento cambia ciò che rimane.

Correct: Quando si estrae dalla stessa categoria, ridurre sia il numeratore CHE il denominatore. Per categoria diversa, ridurre solo il denominatore.

Mistake: Trattare eventi dipendenti come indipendenti

Why: Usare $P(A) \times P(B)$ invece di $P(A) \times P(B|A)$ dà risposte sbagliate per eventi dipendenti.

Correct: Chiediti sempre: Il primo evento cambia ciò che è disponibile per il secondo? Se sì, gli eventi sono dipendenti.

Controllo qualità

Le fabbriche testano campioni di prodotti. Ogni articolo testato viene rimosso dal lotto, rendendo le selezioni successive dipendenti.

Una scatola ha 100 lampadine, 5 difettose. Test di 3 senza rimpiazzo: $P(\text{tutte buone}) = \frac{95}{100} \times \frac{94}{99} \times \frac{93}{98}$

Strategie dei giochi di carte

I giocatori di carte professionisti tengono traccia di quali carte sono state giocate per calcolare le probabilità rimanenti.

Nel blackjack, se 3 assi sono stati distribuiti da un singolo mazzo, la probabilità che la prossima carta sia un asso è $\frac{1}{49}$, non $\frac{4}{52}$.

Selezione di membri del comitato

Quando si scelgono persone per i comitati, ogni selezione riduce il gruppo per le scelte successive.

Da 8 uomini e 6 donne, selezionare 2 persone: $P(\text{entrambe donne}) = \frac{6}{14} \times \frac{5}{13}$

Q: Come faccio a sapere se gli eventi sono dipendenti o indipendenti?

A: Chiediti: Il primo evento cambia ciò che è possibile per il secondo? Estrarre carte senza rimpiazzo è dipendente (il mazzo si riduce). Lanciare due dadi è indipendente (il primo lancio non influenza il secondo).

Q: Cosa significa 'senza rimpiazzo'?

A: Significa che non rimetti l'elemento dopo averlo selezionato. Questo cambia le probabilità per le selezioni successive perché sia il conteggio totale che possibilmente il conteggio degli elementi desiderati diminuiscono.

Q: Gli eventi possono essere dipendenti anche con rimpiazzo?

A: Sì! Se il risultato di un evento ti dà informazioni che cambiano la probabilità di un altro, sono dipendenti. Per esempio, sapere che oggi ha piovuto influenza la probabilità che piova domani.