Lancio di una moneta equilibrata

Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 teste in 5 lanci di moneta?

Identificare i parametri: $n = 5$ lanci, $k = 3$ teste, $p = 0,5$ (moneta equilibrata) = $n=5$, $k=3$, $p=0,5$

Calcolare la combinazione: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$ = $\binom{5}{3} = 10$

Calcolare $p^k$: $(0,5)^3 = 0,125$ = $p^3 = 0,125$

Calcolare $(1-p)^{n-k}$: $(0,5)^{5-3} = (0,5)^2 = 0,25$ = $(1-p)^2 = 0,25$

Moltiplicare tutte le parti: $P(X=3) = 10 \times 0,125 \times 0,25 = 0,3125$ = $P = 0,3125$

Answer: La probabilità di ottenere esattamente 3 teste in 5 lanci è $0,3125$ o $31,25\%$

Test a risposta multipla

Un test a risposta multipla ha 10 domande con 4 opzioni ciascuna. Se rispondi a caso, qual è la probabilità di indovinare esattamente 4?

Identificare i parametri: $n = 10$ domande, $k = 4$ corrette, $p = \frac{1}{4} = 0,25$ = $n=10$, $k=4$, $p=0,25$

Calcolare la combinazione: $\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ = $\binom{10}{4} = 210$

Calcolare $p^k$: $(0,25)^4 = 0,00390625$ = $p^4 \approx 0,0039$

Calcolare $(1-p)^{n-k}$: $(0,75)^6 \approx 0,1780$ = $(1-p)^6 \approx 0,178$

Moltiplicare tutte le parti: $P(X=4) = 210 \times 0,0039 \times 0,178 \approx 0,146$ = $P \approx 0,146$

Answer: La probabilità di indovinare esattamente 4 risposte corrette è circa $0,146$ o $14,6\%$

Controllo qualità

Una fabbrica ha un tasso di difetti del 2%. Qual è la probabilità di trovare esattamente 1 articolo difettoso in un lotto di 20?

Identificare i parametri: $n = 20$ articoli, $k = 1$ difetto, $p = 0,02$ (tasso di difetti) = $n=20$, $k=1$, $p=0,02$

Calcolare la combinazione: $\binom{20}{1} = 20$ = $\binom{20}{1} = 20$

Calcolare $p^k$: $(0,02)^1 = 0,02$ = $p^1 = 0,02$

Calcolare $(1-p)^{n-k}$: $(0,98)^{19} \approx 0,6812$ = $(1-p)^{19} \approx 0,6812$

Moltiplicare tutte le parti: $P(X=1) = 20 \times 0,02 \times 0,6812 \approx 0,272$ = $P \approx 0,272$

Answer: La probabilità di trovare esattamente 1 articolo difettoso è circa $0,272$ o $27,2\%$

Mistake: Dimenticare di includere il coefficiente di combinazione $\binom{n}{k}$

Why: La combinazione conta tutti i modi diversi di disporre i successi tra le prove. Senza di essa, calcoli solo una disposizione specifica.

Correct: Inizia sempre con la combinazione: $P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$

Mistake: Usare $p^n$ invece di $p^k$

Why: L'esponente $k$ rappresenta il numero di successi, non il numero totale di prove.

Correct: La probabilità di successo è elevata alla potenza dei successi: $p^k$, e la probabilità di fallimento alla potenza dei fallimenti: $(1-p)^{n-k}$

Mistake: Applicare la formula binomiale quando le prove non sono indipendenti

Why: La probabilità binomiale richiede che il risultato di una prova non influenzi le altre. Estrarre carte senza reinserimento, per esempio, cambia le probabilità.

Correct: Verifica l'indipendenza: Conoscere un risultato cambia la probabilità di un altro? Se sì, la distribuzione binomiale non si applica.

Sperimentazioni mediche

I ricercatori usano la probabilità binomiale per valutare l'efficacia dei trattamenti.

Se un farmaco ha un tasso di successo del 70%, possiamo calcolare la probabilità che esattamente 8 pazienti su 10 rispondano positivamente.

Analisi sportiva

Gli allenatori usano la probabilità binomiale per prevedere i risultati delle partite e le prestazioni dei giocatori.

Un cestista ha un tasso di successo nei tiri liberi del 75%. La probabilità binomiale aiuta a calcolare la probabilità di segnare 9 tiri liberi su 10.

Q: Quando devo usare la probabilità binomiale invece di altri metodi?

A: Usa la probabilità binomiale quando hai: (1) un numero fisso di prove, (2) esattamente due risultati per prova, (3) probabilità di successo costante, e (4) prove indipendenti. Se una condizione non è soddisfatta, hai bisogno di un approccio diverso.

Q: Cosa rappresenta la combinazione $\binom{n}{k}$ nella formula?

A: Conta in quanti modi diversi puoi disporre $k$ successi tra $n$ prove. Per esempio, ottenere 2 teste in 3 lanci può avvenire come TTC, TCT o CTT - sono $\binom{3}{2} = 3$ modi.

Q: E se voglio la probabilità di 'almeno' o 'al massimo' k successi?

A: Per 'almeno $k$', somma $P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n)$. Per 'al massimo $k$', somma $P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)$. A volte è più facile usare il complementare.