Distribuzioni campionarie

Un **parametro** è un numero che descrive un'intera **popolazione**, per esempio la media della popolazione $\mu$, la deviazione standard della popolazione $\sigma$ o la proporzione della popolazione $p$. Una **statistica** è un numero calcolato da un **campione**, per esempio la media campionaria $\bar{x}$ o la proporzione campionaria $\hat{p}$. Il parametro è fisso (ma di solito sconosciuto); la statistica cambia da un campione all'altro. La **distribuzione campionaria** di una statistica è la distribuzione dei suoi valori su tutti i possibili campioni casuali della stessa numerosità $n$. ## Distribuzione campionaria della media $\bar{x}$ - **Centro:** $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (le medie campionarie sono centrate sulla media della popolazione) - **Dispersione:** $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, detta **errore standard** - **Forma (teorema del limite centrale):** se la popolazione è normale, $\bar{x}$ è normale per ogni $n$. Altrimenti $\bar{x}$ è comunque circa normale quando $n$ è grande, di solito per $n \geq 30$. Quindi una probabilità su una media campionaria usa il punteggio z $$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$ ## Distribuzione campionaria della proporzione $\hat{p}$ - **Centro:** $\mu_{\hat{p}} = p$ - **Dispersione:** $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ - **Forma:** circa normale quando $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$ Queste formule presuppongono un campione casuale di valori indipendenti (in pratica: il campione è meno del 10 % circa della popolazione).

Parametro o statistica?

Una scuola ha 1200 studenti. La loro altezza media è 165 cm. Un progetto di classe misura un campione casuale di 50 studenti e trova un'altezza media di 163,2 cm. Quale numero è un parametro e quale una statistica?

Trova il numero che descrive l'intera popolazione: 165 cm è la media di tutti i 1200 studenti = Parametro: $\mu = 165$ cm

Trova il numero che viene dal campione: 163,2 cm è la media dei 50 studenti misurati = Statistica: $\bar{x} = 163{,}2$ cm

Pensa a un secondo campione: Un altro campione casuale di 50 studenti darebbe una media un po' diversa, per esempio 166,0 cm = $\bar{x}$ varia, $\mu$ resta fisso

Answer: $\mu = 165$ cm è il parametro, $\bar{x} = 163{,}2$ cm è una statistica. La statistica cambia da un campione all'altro, ed è proprio ciò che descrive una distribuzione campionaria.

Centro ed errore standard della media campionaria

I voti di un esame hanno media $\mu = 70$ e deviazione standard $\sigma = 15$. Estrai campioni casuali di $n = 36$ studenti. Trova la media e l'errore standard di $\bar{x}$. Che cosa succede con $n = 100$?

Centro della distribuzione campionaria: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ = $\mu_{\bar{x}} = 70$

Errore standard per $n = 36$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{36}} = \dfrac{15}{6}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 2{,}5$

Errore standard per $n = 100$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{100}} = \dfrac{15}{10}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}5$

Answer: Le medie campionarie sono centrate su 70. Il loro errore standard è 2,5 per $n = 36$ e solo 1,5 per $n = 100$: campioni più grandi danno medie che restano più vicine a $\mu$.

Quando la media campionaria è normale?

I tempi di attesa di un call center sono fortemente asimmetrici a destra, con $\mu = 8$ minuti e $\sigma = 6$ minuti. Descrivi la distribuzione campionaria di $\bar{x}$ per campioni di $n = 4$ chiamate e di $n = 40$ chiamate.

Centro per entrambe le numerosità: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ qualunque sia $n$ = Centro 8 minuti

Errore standard per $n = 4$: $\dfrac{6}{\sqrt{4}} = \dfrac{6}{2}$ = 3 minuti

Forma per $n = 4$: La popolazione non è normale e $n = 4$ è piccolo, quindi il teorema del limite centrale non aiuta ancora = Ancora asimmetrica a destra

Errore standard e forma per $n = 40$: $\dfrac{6}{\sqrt{40}} \approx \dfrac{6}{6{,}32}$, e $n = 40 \geq 30$ = Circa 0,95 minuti, circa normale

Answer: Entrambe le distribuzioni sono centrate su 8 minuti. Per $n = 4$ le medie sono molto disperse (errore standard 3) e ancora asimmetriche; per $n = 40$ sono raccolte (errore standard circa 0,95) e circa normali grazie al teorema del limite centrale.

Probabilità su una media campionaria

Le batterie di un telefono durano in media $\mu = 50$ ore con $\sigma = 12$ ore. Un negozio prova un campione casuale di 36 batterie. Qual è la probabilità che la media campionaria sia inferiore a 47 ore? Confrontala con la probabilità che UNA batteria duri meno di 47 ore.

Controlla la forma: $n = 36 \geq 30$, quindi per il teorema del limite centrale $\bar{x}$ è circa normale = Possiamo usare i punteggi z

Trova l'errore standard: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6}$ = 2 ore

Calcola il punteggio z di $\bar{x} = 47$: $z = \dfrac{47 - 50}{2}$ = $z = -1{,}5$

Leggi la tavola della normale: $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ = Circa il 6,7 %

Confronta con una sola batteria (se la durata è normale): $z = \dfrac{47 - 50}{12} = -0{,}25$, $P(Z < -0{,}25) = 0{,}4013$ = Circa il 40 %

Answer: $P(\bar{x} < 47) \approx 0{,}0668$, cioè solo il 6,7 % circa. Una batteria sotto le 47 ore è frequente (circa il 40 %), ma una media così bassa su 36 batterie è rara, perché le medie variano molto meno dei singoli valori.

Distribuzione campionaria di una proporzione

In una città il 40 % degli adulti è a favore di un nuovo parco ($p = 0{,}4$). Un giornale intervista un campione casuale di $n = 100$ adulti. Descrivi la distribuzione campionaria di $\hat{p}$ e trova la probabilità che più della metà del campione sia a favore del parco.

Controlla le condizioni: $np = 100 \cdot 0{,}4 = 40 \geq 10$ e $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}6 = 60 \geq 10$ = Circa normale

Centro ed errore standard: $\mu_{\hat{p}} = 0{,}4$, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{100}} = \sqrt{0{,}0024}$ = $\sigma_{\hat{p}} \approx 0{,}049$

Calcola il punteggio z di $\hat{p} = 0{,}5$: $z = \dfrac{0{,}5 - 0{,}4}{0{,}049}$ = $z \approx 2{,}04$

Trova l'area della coda destra: $P(Z > 2{,}04) = 1 - 0{,}9793$ = $\approx 0{,}0207$

Answer: $\hat{p}$ è circa normale con media 0,4 ed errore standard circa 0,049. La probabilità che il sondaggio mostri una maggioranza (più del 50 %) è solo del 2 % circa.

Quasi ogni numero di un sondaggio citato nei telegiornali è una statistica, non un parametro: - **Sondaggi elettorali**: un sondaggio su 1000 elettori stima la proporzione tra tutti gli elettori. L'errore standard ti dice quanto lontano dalla verità è probabile che sia il sondaggio. - **Controllo qualità**: una fabbrica controlla il peso medio di un campione di confezioni invece di pesarle tutte. - **Medicina**: uno studio clinico misura l'effetto medio su qualche centinaio di pazienti e trae conclusioni per tutti. - **Scienze**: fare la media di misure ripetute riduce l'errore casuale. L'idea chiave: l'errore standard $\sigma / \sqrt{n}$ diminuisce quando il campione cresce. Quattro volte più persone dimezzano l'errore, per questo i sondaggi grandi sono più precisi. Il teorema del limite centrale ti permette poi di usare la distribuzione normale, i punteggi z e la tavola della normale standard che già conosci, anche quando la popolazione stessa non è normale.

Mistake: Usare $\sigma$ invece di $\sigma / \sqrt{n}$ in una domanda su una media campionaria

Why: $\sigma$ è la dispersione dei singoli valori. Le medie variano molto meno, quindi con $\sigma$ le medie insolite sembrano fin troppo probabili.

Correct: Per $\bar{x}$ dividi sempre per l'errore standard: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$. Per un singolo valore $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$.

Mistake: Dividere per $n$ invece che per $\sqrt{n}$

Why: Con $\sigma = 12$ e $n = 36$, dividere per $n$ dà $0{,}33$ invece dell'errore standard corretto $2$, così ogni punteggio z risulta 6 volte troppo grande.

Correct: Calcola prima la radice quadrata di $n$: $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$.

Mistake: Pensare che il teorema del limite centrale renda normale la popolazione o i dati

Why: Un grande campione da una popolazione asimmetrica resta asimmetrico: il suo istogramma assomiglia alla popolazione. Solo la distribuzione delle MEDIE campionarie diventa normale.

Correct: Il teorema del limite centrale riguarda la distribuzione campionaria di $\bar{x}$, non i singoli valori.

Mistake: Usare il modello normale per $\hat{p}$ senza controllare $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$

Why: Con $p = 0{,}05$ e $n = 40$ si ha $np = 2$: la maggior parte dei campioni ha 0, 1, 2 o 3 successi e la distribuzione di $\hat{p}$ è molto asimmetrica.

Correct: Controlla prima entrambe le condizioni. Se una non vale, prendi un campione più grande o usa la distribuzione binomiale.

Sondaggi elettorali

Gli istituti di sondaggio intervistano circa 1000 persone e riportano un margine di errore. Quel margine deriva direttamente dall'errore standard di $\hat{p}$.

Se il vero consenso è $p = 0{,}5$, un sondaggio su 1000 persone ha errore standard $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$, quindi circa il 95 % di questi sondaggi cade entro circa 3 punti percentuali dalla verità.

Controllo qualità in un bar

Le macchine che riempiono i bicchieri si controllano con la media di piccoli campioni. Una media troppo lontana dal valore previsto, misurata in errori standard, fa scattare un allarme.

Una macchina riempie bicchieri con $\mu = 250$ mL e $\sigma = 8$ mL. Un ispettore misura 16 bicchieri, quindi l'errore standard è $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

Progettare uno studio medico

Prima di uno studio, i ricercatori scelgono la numerosità del campione in modo che l'errore standard sia abbastanza piccolo. A causa della radice quadrata, per dimezzare l'errore servono quattro volte più pazienti.

La pressione arteriosa ha $\sigma = 20$ mmHg. Con 25 pazienti l'errore standard è $20 / 5 = 4$ mmHg; con 100 pazienti è $20 / 10 = 2$ mmHg.

Un parametro ($\mu$, $\sigma$, $p$) descrive la popolazione ed è fisso; una statistica ($\bar{x}$, $\hat{p}$) viene da un campione e varia da un campione all'altro

La distribuzione campionaria di $\bar{x}$ ha media $\mu$ ed errore standard $\sigma / \sqrt{n}$

Teorema del limite centrale: per $n \geq 30$ (circa) la media campionaria è circa normale qualunque sia la forma della popolazione; se la popolazione è normale, per ogni $n$

Per una probabilità su una media campionaria usa $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ e la tavola della normale standard

La proporzione campionaria $\hat{p}$ ha media $p$ ed errore standard $\sqrt{p(1-p)/n}$; è circa normale quando $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$

Campioni più grandi danno stime più precise: quadruplicare la numerosità dimezza l'errore standard

Q: Perché l'errore standard usa $\sqrt{n}$ e non $n$?

A: La varianza di una media di $n$ valori indipendenti è $\sigma^2 / n$. L'errore standard è la sua radice quadrata: $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. Per questo servono quattro volte più valori per dimezzare l'errore.

Q: Il 30 è un numero magico?

A: No, è una regola pratica. Per una popolazione già quasi normale bastano campioni molto più piccoli; per una popolazione molto asimmetrica (come i redditi) possono servirne più di 30. Prova nel simulatore: la popolazione asimmetrica richiede un $n$ più grande del dado.

Q: Qual è la differenza tra deviazione standard ed errore standard?

A: La deviazione standard $\sigma$ misura quanto variano i singoli valori. L'errore standard $\sigma / \sqrt{n}$ misura quanto varia una statistica, come la media campionaria, da un campione all'altro. Per $n > 1$ l'errore standard è sempre più piccolo.

Q: Conta la dimensione della popolazione?

A: Quasi per niente, purché il campione sia una piccola parte della popolazione (meno del 10 % circa). Un campione casuale di 1000 persone è più o meno ugualmente preciso per una città o per un paese intero. Conta la numerosità del campione $n$.

Esci dalla presentazione

Distribuzioni campionarie

1 / 14

Probabilità / Distribuzioni di probabilità

Distribuzioni campionarie

Scopri come le medie e le proporzioni campionarie cambiano da un campione all'altro, che cos'è l'errore standard e perché il teorema del limite centrale le rende circa normali.

Avanzato30 min

Usa i tasti freccia o la barra spaziatrice per navigare