Il 30 è un numero magico?

No, è una regola pratica. Per una popolazione già quasi normale bastano campioni molto più piccoli; per una popolazione molto asimmetrica (come i redditi) possono servirne più di 30. Prova nel simulatore: la popolazione asimmetrica richiede un $n$ più grande del dado.

Qual è la differenza tra deviazione standard ed errore standard?

La deviazione standard $\sigma$ misura quanto variano i singoli valori. L'errore standard $\sigma / \sqrt{n}$ misura quanto varia una statistica, come la media campionaria, da un campione all'altro. Per $n > 1$ l'errore standard è sempre più piccolo.

Conta la dimensione della popolazione?

Quasi per niente, purché il campione sia una piccola parte della popolazione (meno del 10 % circa). Un campione casuale di 1000 persone è più o meno ugualmente preciso per una città o per un paese intero. Conta la numerosità del campione $n$.

Risorse per insegnanti

Distribuzioni campionarie

Q: Perché l'errore standard usa $\sqrt{n}$ e non $n$?

La varianza di una media di $n$ valori indipendenti è $\sigma^2 / n$. L'errore standard è la sua radice quadrata: $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. Per questo servono quattro volte più valori per dimezzare l'errore.

Scopri come le medie e le proporzioni campionarie cambiano da un campione all'altro, che cos'è l'errore standard e perché il teorema del limite centrale le rende circa normali.

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Scheda da stampare

Definizione

Un parametro è un numero che descrive un'intera popolazione, per esempio la media della popolazione

\mu

, la deviazione standard della popolazione

\sigma

o la proporzione della popolazione

p

. Una statistica è un numero calcolato da un campione, per esempio la media campionaria

\bar{x}

o la proporzione campionaria

\hat{p}

. Il parametro è fisso (ma di solito sconosciuto); la statistica cambia da un campione all'altro.

La distribuzione campionaria di una statistica è la distribuzione dei suoi valori su tutti i possibili campioni casuali della stessa numerosità

n

Distribuzione campionaria della media $\bar{x}$

Centro: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (le medie campionarie sono centrate sulla media della popolazione)
Dispersione: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , detta errore standard
Forma (teorema del limite centrale): se la popolazione è normale, $\bar{x}$ è normale per ogni $n$ . Altrimenti $\bar{x}$ è comunque circa normale quando $n$ è grande, di solito per $n \geq 30$ .

Quindi una probabilità su una media campionaria usa il punteggio z

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Distribuzione campionaria della proporzione $\hat{p}$

Centro: $\mu_{\hat{p}} = p$
Dispersione: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$
Forma: circa normale quando $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$

Queste formule presuppongono un campione casuale di valori indipendenti (in pratica: il campione è meno del 10 % circa della popolazione).

Prova subito

Un sondaggio su 200 elettori scelti a caso rileva che il 54 % è a favore di una nuova legge. In questa situazione, il 54 % è...

Esempi svolti

Una scuola ha 1200 studenti. La loro altezza media è 165 cm. Un progetto di classe misura un campione casuale di 50 studenti e trova un'altezza media di 163,2 cm. Quale numero è un parametro e quale una statistica?

Trova il numero che descrive l'intera popolazione

165 cm è la media di tutti i 1200 studenti → Parametro:

\mu = 165

Trova il numero che viene dal campione

163,2 cm è la media dei 50 studenti misurati → Statistica:

\bar{x} = 163{,}2

Pensa a un secondo campione

Un altro campione casuale di 50 studenti darebbe una media un po' diversa, per esempio 166,0 cm →

\bar{x}

varia,

\mu

resta fisso

Risposta: $\mu = 165$ cm è il parametro, $\bar{x} = 163{,}2$ cm è una statistica. La statistica cambia da un campione all'altro, ed è proprio ciò che descrive una distribuzione campionaria.

Errori comuni

Usare $\sigma$ invece di $\sigma / \sqrt{n}$ in una domanda su una media campionaria

Perché è sbagliato: $\sigma$ è la dispersione dei singoli valori. Le medie variano molto meno, quindi con $\sigma$ le medie insolite sembrano fin troppo probabili.

Corretto: Per $\bar{x}$ dividi sempre per l'errore standard: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ . Per un singolo valore $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Dividere per $n$ invece che per $\sqrt{n}$

Perché è sbagliato: Con $\sigma = 12$ e $n = 36$ , dividere per $n$ dà $0{,}33$ invece dell'errore standard corretto $2$ , così ogni punteggio z risulta 6 volte troppo grande.

Corretto: Calcola prima la radice quadrata di $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ .

Pensare che il teorema del limite centrale renda normale la popolazione o i dati

Perché è sbagliato: Un grande campione da una popolazione asimmetrica resta asimmetrico: il suo istogramma assomiglia alla popolazione. Solo la distribuzione delle MEDIE campionarie diventa normale.

Corretto: Il teorema del limite centrale riguarda la distribuzione campionaria di $\bar{x}$ , non i singoli valori.

Usare il modello normale per $\hat{p}$ senza controllare $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$

Perché è sbagliato: Con $p = 0{,}05$ e $n = 40$ si ha $np = 2$ : la maggior parte dei campioni ha 0, 1, 2 o 3 successi e la distribuzione di $\hat{p}$ è molto asimmetrica.

Corretto: Controlla prima entrambe le condizioni. Se una non vale, prendi un campione più grande o usa la distribuzione binomiale.

Visuale interattivo

Teorema del limite centrale: medie campionarie da una popolazione asimmetrica

Dimensione del campione n

Media della popolazione: μ = 2,6
Media delle medie campionarie: ?
Deviazione standard delle medie campionarie: ?
Errore standard: σ/√n = 2,285/√1 ≈ 2,285

Prova prima n = 1, poi un n più grande: le medie si stringono attorno a μ, la loro deviazione standard cala come σ/√n e la forma diventa normale anche se la popolazione non lo è.

Media di n lanci del dado (μ = 3,5, σ ≈ 1,71)

Dimensione del campione n

Media della popolazione: μ = 3,5
Media delle medie campionarie: ?
Deviazione standard delle medie campionarie: ?
Errore standard: σ/√n = 1,708/√2 ≈ 1,208

Prova prima n = 1, poi un n più grande: le medie si stringono attorno a μ, la loro deviazione standard cala come σ/√n e la forma diventa normale anche se la popolazione non lo è.

Sondaggio: proporzione campionaria con p = 0,4

Dimensione del campione n

Proporzione della popolazione: p = 0,4
Media delle proporzioni campionarie: ?
Deviazione standard delle proporzioni campionarie: ?
Errore standard: √(p(1 − p)/n) = √(0,4 · 0,6/100) ≈ 0,049

Prova un n piccolo, poi uno più grande: le proporzioni si stringono attorno a p, la loro deviazione standard cala come √(p(1 − p)/n) e la forma diventa normale.

P(x̄ < 47) con μ = 50, σ = 12, n = 36 (errore standard 2)

μ = 50 h, σ = 2 h · Trascina una maniglia o scrivi x o z.

z = (x − μ)/σ = (47 − 50)/2 = -1,5

P(X ≤ 47) = P(Z ≤ -1,5) ≈ 0,0668 = 6,68%

Circa il 6,68% dei valori cade nella regione ombreggiata.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Un sondaggio su 200 elettori scelti a caso rileva che il 54 % è a favore di una nuova legge. In questa situazione, il 54 % è...

Esercizi pratici: Distribuzioni campionarie

1. Un sondaggio su 200 elettori scelti a caso rileva che il 54 % è a favore di una nuova legge. In questa situazione, il 54 % è...
2. Una popolazione ha deviazione standard \sigma = 18. Qual è l'errore standard della media campionaria per campioni di numerosità n = 36?
3. Una popolazione ha media \mu = 40 e deviazione standard \sigma = 8. Qual è la media della distribuzione campionaria di \bar{x} per campioni di numerosità n = 25?
4. Le viti prodotte da una macchina hanno lunghezza media \mu = 50 mm e \sigma = 2 mm. Un operaio misura campioni casuali di 16 viti. Trova la media e l'errore standard di \bar{x}.
5. I punteggi di QI hanno \mu = 100 e \sigma = 10 in un gruppo di prova. Qual è l'errore standard del QI medio di campioni casuali di n = 100 persone?
6. Il 20 % delle app di uno store sono giochi (p = 0{,}2). Estrai campioni casuali di n = 100 app. Controlla le condizioni e trova l'errore standard di \hat{p}.
7. I prezzi delle case in una regione sono fortemente asimmetrici a destra. Per quale numerosità la distribuzione campionaria del prezzo medio è più vicina a una normale?
8. Una popolazione ha \mu = 80 e \sigma = 12. Un campione casuale di n = 16 ha media \bar{x} = 86. Qual è il punteggio z di questa media campionaria?
9. Una popolazione ha \sigma = 20. Confronta l'errore standard di \bar{x} per n = 25 e per n = 100.
10. Una moneta è equa (p = 0{,}5). La lanci n = 100 volte e annoti la proporzione di teste \hat{p}. Qual è l'errore standard di \hat{p}?
11. I voti di un esame seguono una distribuzione normale con \mu = 70 e \sigma = 15. Per una classe casuale di n = 25 studenti, trova P(\bar{x} < 67). Usa P(Z < -1) = 0{,}1587.
12. Le batterie di un telefono durano \mu = 50 ore con \sigma = 12 ore. Per un campione casuale di n = 36 batterie, trova P(\bar{x} > 54). Usa P(Z < 2) = 0{,}9772 e scrivi il risultato come numero decimale.
13. Circa il 5 % delle lampadine di una fabbrica è difettoso (p = 0{,}05). Un'ispettrice estrae campioni casuali di n = 120 lampadine. Può usare il modello normale per \hat{p}? Se no, quanto deve essere grande n?
14. Il peso delle mele segue una distribuzione normale con \mu = 180 g e \sigma = 20 g. Trova la probabilità che UNA mela pesi più di 185 g, e che la media di un sacchetto di 16 mele superi 185 g. Usa P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987 e P(Z < 1) = 0{,}8413.
15. Quale affermazione sul teorema del limite centrale è corretta?
16. I tempi di consegna hanno \sigma = 15 minuti. Un'azienda vuole che l'errore standard del tempo medio di consegna sia 1,5 minuti. Quante consegne deve registrare? E per un errore standard di 0,75 minuti?
17. Il 40 % delle famiglie di una città ha un animale domestico (p = 0{,}4). Per un campione casuale di n = 150 famiglie, trova P(\hat{p} > 0{,}46). Usa P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332 e scrivi il risultato come numero decimale.
18. Le lampade LED durano \mu = 1000 ore con \sigma = 80 ore. Per un campione casuale di n = 64 lampade, trova P(990 < \bar{x} < 1020). Usa P(Z < -1) = 0{,}1587 e P(Z < 2) = 0{,}9772.

Perché è importante

Quasi ogni numero di un sondaggio citato nei telegiornali è una statistica, non un parametro:

Sondaggi elettorali: un sondaggio su 1000 elettori stima la proporzione tra tutti gli elettori. L'errore standard ti dice quanto lontano dalla verità è probabile che sia il sondaggio.
Controllo qualità: una fabbrica controlla il peso medio di un campione di confezioni invece di pesarle tutte.
Medicina: uno studio clinico misura l'effetto medio su qualche centinaio di pazienti e trae conclusioni per tutti.
Scienze: fare la media di misure ripetute riduce l'errore casuale.

L'idea chiave: l'errore standard

\sigma / \sqrt{n}

diminuisce quando il campione cresce. Quattro volte più persone dimezzano l'errore, per questo i sondaggi grandi sono più precisi. Il teorema del limite centrale ti permette poi di usare la distribuzione normale, i punteggi z e la tavola della normale standard che già conosci, anche quando la popolazione stessa non è normale.

Applicazioni nel mondo reale

Sondaggi elettorali

Gli istituti di sondaggio intervistano circa 1000 persone e riportano un margine di errore. Quel margine deriva direttamente dall'errore standard di $\hat{p}$.

Esempio:

Se il vero consenso è $p = 0{,}5$ , un sondaggio su 1000 persone ha errore standard $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$ , quindi circa il 95 % di questi sondaggi cade entro circa 3 punti percentuali dalla verità.

1Provaci tu stesso

Un sondaggio più piccolo intervista $n = 400$ elettori scelti a caso. Il vero consenso per una candidata è $p = 0{,}5$ .

Qual è l'errore standard della proporzione campionaria $\hat{p}$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ :

Controllo qualità in un bar

Le macchine che riempiono i bicchieri si controllano con la media di piccoli campioni. Una media troppo lontana dal valore previsto, misurata in errori standard, fa scattare un allarme.

Esempio:

Una macchina riempie bicchieri con $\mu = 250$ mL e $\sigma = 8$ mL. Un ispettore misura 16 bicchieri, quindi l'errore standard è $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

2Provaci tu stesso

I 16 bicchieri hanno una media di $\bar{x} = 246$ mL. La macchina è regolata su $\mu = 250$ mL con $\sigma = 8$ mL.

Qual è il punteggio z di questa media campionaria?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ :

Progettare uno studio medico

Prima di uno studio, i ricercatori scelgono la numerosità del campione in modo che l'errore standard sia abbastanza piccolo. A causa della radice quadrata, per dimezzare l'errore servono quattro volte più pazienti.

Esempio:

La pressione arteriosa ha $\sigma = 20$ mmHg. Con 25 pazienti l'errore standard è $20 / 5 = 4$ mmHg; con 100 pazienti è $20 / 10 = 2$ mmHg.

3Provaci tu stesso

Alcuni ricercatori vogliono che l'errore standard della pressione media sia 2 mmHg. La deviazione standard della popolazione è $\sigma = 20$ mmHg.

Quanti pazienti servono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Da $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ si ottiene $n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2$ :

Punti chiave

1Un parametro ( $\mu$ , $\sigma$ , $p$ ) descrive la popolazione ed è fisso; una statistica ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ ) viene da un campione e varia da un campione all'altro
2La distribuzione campionaria di $\bar{x}$ ha media $\mu$ ed errore standard $\sigma / \sqrt{n}$
3Teorema del limite centrale: per $n \geq 30$ (circa) la media campionaria è circa normale qualunque sia la forma della popolazione; se la popolazione è normale, per ogni $n$
4Per una probabilità su una media campionaria usa $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ e la tavola della normale standard
5La proporzione campionaria $\hat{p}$ ha media $p$ ed errore standard $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; è circa normale quando $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$
6Campioni più grandi danno stime più precise: quadruplicare la numerosità dimezza l'errore standard

Domande frequenti

La varianza di una media di

n

valori indipendenti è

\sigma^2 / n

. L'errore standard è la sua radice quadrata:

\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}

. Per questo servono quattro volte più valori per dimezzare l'errore.

Glossario

Parametro: Numero che descrive un'intera popolazione, come $\mu$ , $\sigma$ o $p$ ; di solito sconosciuto
Statistica: Numero calcolato da un campione, come $\bar{x}$ o $\hat{p}$ ; cambia da un campione all'altro
Distribuzione campionaria: Distribuzione di una statistica su tutti i possibili campioni casuali della stessa numerosità $n$
Errore standard: Deviazione standard di una distribuzione campionaria, per esempio $\sigma / \sqrt{n}$ per la media campionaria
Teorema del limite centrale: Per $n$ grande la distribuzione campionaria della media è circa normale, qualunque sia la forma della popolazione
Proporzione campionaria: Frazione di successi in un campione, $\hat{p} = \dfrac{\text{numero di successi}}{n}$

Scheda formule

Media della media campionaria

\mu_{\bar{x}} = \mu

Le medie campionarie sono centrate sulla media della popolazione

Errore standard della media

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Dispersione delle medie campionarie; diminuisce quando $n$ cresce

Punteggio z di una media campionaria

z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Da usare con la tavola quando $n \geq 30$ o la popolazione è normale

Errore standard di una proporzione

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Modello normale se $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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Definizione

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Teorema del limite centrale: medie campionarie da una popolazione asimmetrica

Media di n lanci del dado (μ = 3,5, σ ≈ 1,71)

Sondaggio: proporzione campionaria con p = 0,4

P(x̄ < 47) con μ = 50, σ = 12, n = 36 (errore standard 2)

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Sondaggi elettorali

Controllo qualità in un bar

Progettare uno studio medico

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Media della media campionaria

Errore standard della media

Punteggio z di una media campionaria

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