Leggere la tavola z

Trova $P(Z \le 1{,}23)$ per la variabile normale standard $Z$.

Dividi $z$ in riga e colonna: $1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03$ = Riga $1{,}2$, colonna $0{,}03$

Leggi il valore dove si incrociano riga e colonna: Riga $1{,}2$, colonna $0{,}03$: $0{,}8907$ = $\Phi(1{,}23) = 0{,}8907$

Controlla che abbia senso: $z = 1{,}23$ è un po' più di 1, e $\Phi(1) = 0{,}8413$ = Un valore poco sopra $0{,}8413$ è ragionevole

Answer: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$, quindi circa l'89,07% dell'area sta a sinistra di $z = 1{,}23$.

Area a destra

Trova $P(Z > 1{,}5)$.

Leggi l'area a sinistra nella tavola: Riga $1{,}5$, colonna $0{,}00$ = $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$

Sottraila dall'area totale 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332$ = $0{,}0668$

Controlla con la regola 68-95-99,7: A destra di $z = 1$ c'è il 16%, a destra di $z = 2$ il 2,5% = $0{,}0668$ (6,68%) sta in mezzo

Answer: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$

Uno z negativo e la simmetria

Trova $P(Z < -0{,}75)$ usando solo la parte positiva della tavola: $\Phi(0{,}75) = 0{,}7734$.

Usa la simmetria: la coda sinistra in $-0{,}75$ è uguale alla coda destra in $0{,}75$: $P(Z < -0{,}75) = P(Z > 0{,}75)$ = $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75)$

Sottrai da 1 il valore della tavola: $1 - 0{,}7734$ = $0{,}2266$

Controlla la grandezza: $-0{,}75$ è a sinistra della media, quindi l'area deve essere minore di $0{,}5$ = $0{,}2266 < 0{,}5$, torna

Answer: $P(Z < -0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$

Area tra due valori di z

Trova $P(-1 < Z < 2)$. Tavola: $\Phi(1) = 0{,}8413$, $\Phi(2) = 0{,}9772$.

Area a sinistra fino al limite superiore: $\Phi(2)$ = $0{,}9772$

Area a sinistra fino al limite inferiore (simmetria): $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ = $0{,}1587$

Sottrai le due aree: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Controlla con la regola 68-95-99,7: Da $-1$ a $0$: 34%, da $0$ a $2$: 47,5% = $34\% + 47{,}5\% = 81{,}5\%$, vicino a $0{,}8185$

Answer: $P(-1 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$

Standardizzare qualsiasi variabile normale

$X$ è normale con $\mu = 50$ e $\sigma = 8$. Trova $P(X < 60)$. Tavola: $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$.

Standardizza il limite: $z = \frac{60 - 50}{8} = \frac{10}{8}$ = $z = 1{,}25$

Riscrivi la domanda con $Z$: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25)$ = Un'area a sinistra

Leggi la tavola: Riga $1{,}2$, colonna $0{,}05$ = $0{,}8944$

Controlla con la regola 68-95-99,7: $\Phi(1) \approx 0{,}84$ e $\Phi(2) \approx 0{,}975$ = $0{,}8944$ sta in mezzo

Answer: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Mistake: Usare il valore della tavola come area a destra: dire $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Why: La tavola z dà sempre l'area a SINISTRA di $z$. Un'area di $0{,}9332$ a destra di uno $z$ positivo è impossibile, perché più di metà della curva starebbe alla sua destra.

Correct: Per un'area a destra sottrai da 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$.

Mistake: Pensare che uno $z$ negativo dia un'area negativa o la stessa area: $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ oppure $0{,}7734$

Why: Le aree non sono mai negative. Uno $z$ negativo è a sinistra della media, quindi l'area alla sua sinistra è minore di $0{,}5$.

Correct: Usa la simmetria: $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$.

Mistake: Sottrarre i valori di z invece delle aree: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Why: La tavola trasforma valori di z in aree. L'area tra due punti è la differenza delle due aree a sinistra, non l'area della differenza.

Correct: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: Cercare il valore originale nella tavola z: leggere $P(X < 60)$ alla riga 60

Why: La tavola vale solo per $Z$, con media 0 e deviazione standard 1. Un valore originale va prima standardizzato.

Correct: Calcola prima $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$, poi leggi $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$.

Controllo qualità

Le fabbriche standardizzano ogni misura e scartano i pezzi troppo lontani dal valore nominale, per esempio a più di 2 deviazioni standard.

Un pezzo con $z = -2{,}3$ è 2,3 deviazioni standard sotto la lunghezza nominale, quindi viene scartato.

Punteggi di test standardizzati

Alcuni esami riportano i risultati direttamente come punteggi z, così ogni studente vede subito quanto è sopra o sotto la media.

Un punteggio di $z = 0$ è esattamente nella media; $z = 1$ è una deviazione standard sopra la media.

Errori delle previsioni meteo

I meteorologi controllano di quanto sbagliano le previsioni di temperatura. Per una previsione ben calibrata, l'errore in °C può seguire la distribuzione normale standard: media 0, deviazione standard 1.

Un errore di $-1{,}2$ °C significa che la temperatura reale è stata di 1,2 gradi più bassa del previsto.

Q: Perché una sola tavola funziona per tutte le distribuzioni normali?

A: Standardizzando, la media si sposta a 0 e la dispersione si riscala a 1. La forma resta la stessa, quindi l'area a sinistra di $x$ in una distribuzione normale con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$ è uguale all'area a sinistra di $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ in $N(0, 1)$.

Q: La mia tavola non ha valori di z negativi. Che cosa faccio?

A: Usa la simmetria: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. Per esempio $\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$. Molti libri stampano una seconda tavola per gli $z$ negativi; entrambe danno gli stessi numeri.

Q: C'è differenza tra $P(Z < z)$ e $P(Z \le z)$?

A: No. $Z$ è continua, quindi la probabilità di cadere esattamente su un valore è 0. Entrambe si leggono nella stessa casella della tavola.

Q: E se il mio $z$ è più grande della tavola, come $z = 4$?

A: La maggior parte delle tavole si ferma intorno a $3{,}49$, dove $\Phi$ vale già $0{,}9998$. Oltre, l'area a sinistra è praticamente 1 e la coda destra praticamente 0.