Distribuzione normale standard

Impara la distribuzione normale standard N(0, 1), come standardizzare qualsiasi variabile normale e come leggere la tavola per le aree a sinistra, a destra e tra due valori.

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Definizione

La distribuzione normale standard è la distribuzione normale con media μ=0\mu = 0 e deviazione standard σ=1\sigma = 1. Si scrive N(0,1)N(0, 1) e la sua variabile si chiama ZZ.

Standardizzare

Ogni variabile normale XX con media μ\mu e deviazione standard σ\sigma diventa la normale standard quando la standardizzi:
Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
Perciò basta una sola tavola per tutte le distribuzioni normali: prima calcoli zz, poi leggi l'area.

La tavola z

La tavola della normale standard (tavola z) riporta l'area cumulata a sinistra di zz:
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z)
La riga dà zz con un decimale (per esempio 1,21{,}2), la colonna dà il secondo decimale (per esempio 0,030{,}03). Dove si incrociano leggi Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907.

Tre regole per ogni area

  • **A sinistra di zz**: si legge direttamente, P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)
  • **A destra di zz**: l'area totale è 1, quindi P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)
  • **Tra aa e bb**: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
La curva è simmetrica rispetto a 0, quindi Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Per una variabile continua, P(Z<z)P(Z < z) e P(Z≤z)P(Z \le z) sono lo stesso numero.

Prova subito

Quale media e quale deviazione standard ha la distribuzione normale standard N(0,1)N(0, 1)?

Esempi svolti

Trova P(Z≤1,23)P(Z \le 1{,}23) per la variabile normale standard ZZ.
1

Dividi zz in riga e colonna

1,23=1,2+0,031{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03 → Riga 1,21{,}2, colonna 0,030{,}03
2

Leggi il valore dove si incrociano riga e colonna

Riga 1,21{,}2, colonna 0,030{,}03: 0,89070{,}8907 → Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907
3

Controlla che abbia senso

z=1,23z = 1{,}23 è un po' più di 1, e Φ(1)=0,8413\Phi(1) = 0{,}8413 → Un valore poco sopra 0,84130{,}8413 è ragionevole

Errori comuni

Usare il valore della tavola come area a destra: dire P(Z>1,5)=0,9332P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332

Perché è sbagliato: La tavola z dà sempre l'area a SINISTRA di zz. Un'area di 0,93320{,}9332 a destra di uno zz positivo è impossibile, perché più di metà della curva starebbe alla sua destra.

Corretto: Per un'area a destra sottrai da 1: P(Z>1,5)=1−0,9332=0,0668P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668.

Pensare che uno zz negativo dia un'area negativa o la stessa area: Φ(−0,75)=−0,7734\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734 oppure 0,77340{,}7734

Perché è sbagliato: Le aree non sono mai negative. Uno zz negativo è a sinistra della media, quindi l'area alla sua sinistra è minore di 0,50{,}5.

Corretto: Usa la simmetria: Φ(−0,75)=1−Φ(0,75)=1−0,7734=0,2266\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266.

Sottrarre i valori di z invece delle aree: P(−1<Z<2)=Φ(2−(−1))=Φ(3)P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)

Perché è sbagliato: La tavola trasforma valori di z in aree. L'area tra due punti è la differenza delle due aree a sinistra, non l'area della differenza.

Corretto: P(−1<Z<2)=Φ(2)−Φ(−1)=0,9772−0,1587=0,8185P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185.

Cercare il valore originale nella tavola z: leggere P(X<60)P(X < 60) alla riga 60

Perché è sbagliato: La tavola vale solo per ZZ, con media 0 e deviazione standard 1. Un valore originale va prima standardizzato.

Corretto: Calcola prima z=60−508=1,25z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25, poi leggi Φ(1,25)=0,8944\Phi(1{,}25) = 0{,}8944.

Visuale interattivo

Leggi la tavola della normale standard: sposta z e osserva riga e colonna

z = 1,23z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Trascina una maniglia o scrivi x o z.

P(Z ≤ 1,23) ≈ 0,8907 = 89,07%

Circa il 89,07% dei valori cade nella regione ombreggiata.

Tavola z: P(Z ≤ z)

z0,010,020,030,040,05
1,00,84380,84610,84850,85080,8531
1,10,86650,86860,87080,87290,8749
1,20,88690,88880,89070,89250,8944
1,30,90490,90660,90820,90990,9115
1,40,92070,92220,92360,92510,9265

La riga 1,2 e la colonna 0,03 danno z = 1,23, quindi P(Z ≤ 1,23) = 0,8907.

Trascina una maniglia: la riga e la colonna evidenziate seguono z.

Normale standard: aree tra due valori di z e il controllo 68-95-99,7

34,1%34,1%13,6%13,6%2,1%2,1%z = -1z = 2z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Trascina una maniglia o scrivi x o z.

P(-1 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,8186 = 81,86%

Circa il 81,86% dei valori cade nella regione ombreggiata.

Standardizzare: X con media 50 e deviazione standard 8, sotto l'asse z

60 · z = 1,25xz26-334-242-1500581662743X

μ = 50, σ = 8 · Trascina una maniglia o scrivi x o z.

z = (x − μ)/σ = (60 − 50)/8 = 1,25

P(X ≤ 60) = P(Z ≤ 1,25) ≈ 0,8944 = 89,44%

Circa il 89,44% dei valori cade nella regione ombreggiata.

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Esercizi pratici

18 esercizi
Problema 1 di 18
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Quale media e quale deviazione standard ha la distribuzione normale standard N(0,1)N(0, 1)?

Perché è importante

La normale standard è l'unica curva a cui si riconduce ogni problema sulla distribuzione normale:
  • Una tavola per tutto: altezze, voti, tempi di reazione ed errori di misura hanno medie e dispersioni diverse, ma dopo la standardizzazione usano tutti la stessa tavola
  • Valori esatti invece di stime: la regola 68-95-99,7 funziona solo per deviazioni standard intere; la tavola dà l'area per qualsiasi zz, come z=1,23z = 1{,}23
  • Statistica e scienze: intervalli di confidenza, test di ipotesi e limiti di tolleranza (come ±1,96\pm 1{,}96 o ±3\pm 3) si leggono tutti dalla normale standard
  • Un controllo incorporato: se un risultato della tavola è lontano da 68%, 95% o 99,7% quando dovrebbe esserne vicino, sai che un passaggio è sbagliato
Appena sai leggere la tavola z e usare le tre regole delle aree, ogni problema sulla normale diventa una breve routine.

Applicazioni nel mondo reale

Controllo qualità

Le fabbriche standardizzano ogni misura e scartano i pezzi troppo lontani dal valore nominale, per esempio a più di 2 deviazioni standard.

Esempio:

Un pezzo con z=−2,3z = -2{,}3 è 2,3 deviazioni standard sotto la lunghezza nominale, quindi viene scartato.

1Provaci tu stesso

Gli errori di una macchina, dopo la standardizzazione, seguono la distribuzione normale standard. Un pezzo viene scartato se Z<−2Z < -2 oppure Z>2Z > 2. Tavola: Φ(2)=0,9772\Phi(2) = 0{,}9772.

Quale frazione dei pezzi viene scartata? Dai un numero decimale.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Due code uguali: 2×(1−0,9772)2 \times (1 - 0{,}9772)

Punteggi di test standardizzati

Alcuni esami riportano i risultati direttamente come punteggi z, così ogni studente vede subito quanto è sopra o sotto la media.

Esempio:

Un punteggio di z=0z = 0 è esattamente nella media; z=1z = 1 è una deviazione standard sopra la media.

2Provaci tu stesso

I risultati di un esame sono riportati come punteggi z e seguono la distribuzione normale standard. Tavola: Φ(0,5)=0,6915\Phi(0{,}5) = 0{,}6915.

Quale frazione degli studenti ha un punteggio z maggiore di 0,50{,}5?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Area a destra: 1−Φ(0,5)1 - \Phi(0{,}5)

Errori delle previsioni meteo

I meteorologi controllano di quanto sbagliano le previsioni di temperatura. Per una previsione ben calibrata, l'errore in °C può seguire la distribuzione normale standard: media 0, deviazione standard 1.

Esempio:

Un errore di −1,2-1{,}2 °C significa che la temperatura reale è stata di 1,2 gradi più bassa del previsto.

3Provaci tu stesso

Gli errori delle previsioni per il giorno dopo (in °C) seguono la distribuzione normale standard. Tavola: Φ(1,5)=0,9332\Phi(1{,}5) = 0{,}9332.

Qual è la probabilità che una previsione sbagli di meno di 1,5 °C, cioè −1,5<Z<1,5-1{,}5 < Z < 1{,}5?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Tra: Φ(1,5)−Φ(−1,5)\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)

Punti chiave

  • 1La distribuzione normale standard N(0,1)N(0, 1) ha media 0 e deviazione standard 1; la sua variabile si chiama ZZ
  • 2Standardizza qualsiasi valore normale con z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} e poi usa l'unica tavola z
  • 3La tavola z dà l'area a SINISTRA: Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z); riga = primo decimale, colonna = secondo decimale
  • 4Area a destra: P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z); tra due valori: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
  • 5Simmetria: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z) e Φ(0)=0,5\Phi(0) = 0{,}5
  • 6Controlla ogni risultato con la regola 68-95-99,7: per esempio Φ(1)−Φ(−1)=0,6826≈68%\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\%

Domande frequenti

Standardizzando, la media si sposta a 0 e la dispersione si riscala a 1. La forma resta la stessa, quindi l'area a sinistra di xx in una distribuzione normale con media μ\mu e deviazione standard σ\sigma è uguale all'area a sinistra di z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} in N(0,1)N(0, 1).
Standardizzando, la media si sposta a 0 e la dispersione si riscala a 1. La forma resta la stessa, quindi l'area a sinistra di xx in una distribuzione normale con media μ\mu e deviazione standard σ\sigma è uguale all'area a sinistra di z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} in N(0,1)N(0, 1).
Usa la simmetria: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Per esempio Φ(−1,2)=1−0,8849=0,1151\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151. Molti libri stampano una seconda tavola per gli zz negativi; entrambe danno gli stessi numeri.
No. ZZ è continua, quindi la probabilità di cadere esattamente su un valore è 0. Entrambe si leggono nella stessa casella della tavola.
La maggior parte delle tavole si ferma intorno a 3,493{,}49, dove Φ\Phi vale già 0,99980{,}9998. Oltre, l'area a sinistra è praticamente 1 e la coda destra praticamente 0.

Glossario

Distribuzione normale standard
La distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1, scritta N(0,1)N(0, 1)
Standardizzare
Trasformare un valore xx in z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}, il numero di deviazioni standard dalla media
Tavola z
Tavola della normale standard con le aree cumulate Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z) a sinistra di ogni zz
Area cumulata Φ(z)\Phi(z)
L'area sotto la curva normale standard a sinistra di zz; è uguale alla probabilità P(Z≤z)P(Z \le z)
Coda
L'area a un'estremità della curva, per esempio a destra di z=2z = 2

Scheda formule

Standardizzazione

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Trasforma qualsiasi valore normale in un valore di $Z$

Area a sinistra

P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)

Si legge direttamente nella tavola z

Area a destra

P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

L'area totale sotto la curva è 1

Tra due valori

P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Area a sinistra maggiore meno area a sinistra minore

Simmetria

Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Per i valori di z negativi

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