Calcolare un punteggio z

In una verifica di matematica i punteggi hanno media $\mu = 74$ punti e deviazione standard $\sigma = 6$ punti. Mia ha preso $82$. Qual è il suo punteggio z?

Scrivi la formula: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ = $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$

Sottrai la media (distanza dalla media): $82 - 74 = 8$ = Mia è 8 punti sopra la media

Dividi per la deviazione standard: $z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$ = $z \approx 1{,}33$

Answer: $z \approx 1{,}33$: Mia è circa 1,33 deviazioni standard sopra la media della classe.

Un punteggio z negativo

In una scuola l'altezza dei quindicenni ha $\mu = 170$ cm e $\sigma = 8$ cm. Tom è alto $158$ cm. Trova il suo punteggio z e spiega che cosa significa.

Sottrai la media: $158 - 170 = -12$ = Tom è 12 cm sotto la media

Dividi per la deviazione standard: $z = \frac{-12}{8} = -1{,}5$ = $z = -1{,}5$

Interpreta il segno e la grandezza: Segno negativo: sotto la media. Grandezza $1{,}5$: una deviazione standard e mezza = 1,5 deviazioni standard sotto la media

Answer: $z = -1{,}5$: Tom è 1,5 deviazioni standard più basso della media. Un punteggio z negativo non è un male, significa solo sotto la media.

Dal punteggio z al valore

I punteggi di un esame hanno $\mu = 64$ e $\sigma = 8$. Il voto più alto va a tutti quelli con $z \ge 1{,}5$. Qual è il punteggio minimo per ottenerlo?

Ricava x dalla formula: $z = \frac{x - \mu}{\sigma} \Rightarrow x = \mu + z\sigma$ = $x = \mu + z\sigma$

Calcola di quanto supera la media: $z\sigma = 1{,}5 \cdot 8 = 12$ = 12 punti sopra la media

Aggiungilo alla media: $x = 64 + 12 = 76$ = $x = 76$

Answer: Con $76$ punti o più si ottiene il voto più alto.

Chi è andato relativamente meglio?

Mia ha preso $82$ in una verifica di matematica ($\mu = 74$, $\sigma = 6$). Leo ha preso $88$ in una verifica di fisica in un'altra classe ($\mu = 80$, $\sigma = 8$). Leo ha più punti. Chi è andato meglio rispetto alla propria classe?

Trova il punteggio z di Mia: $z_{Mia} = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ = $z_{Mia} \approx 1{,}33$

Trova il punteggio z di Leo: $z_{Leo} = \frac{88 - 80}{8} = \frac{8}{8} = 1$ = $z_{Leo} = 1$

Confronta i punteggi z: $1{,}33 > 1$ = Mia spicca di più nella sua classe

Answer: Mia è andata relativamente meglio. Entrambi erano 8 punti sopra la propria media, ma nella classe di Mia i punteggi erano meno dispersi, quindi i suoi 8 punti valgono più deviazioni standard.

Questo valore è insolito?

Il peso dei neonati segue circa una distribuzione normale con $\mu = 3{,}4$ kg e $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bambino pesa $2{,}2$ kg. Questo peso è insolito? Trova anche l'intervallo dei pesi abituali (entro 2 deviazioni standard).

Calcola il punteggio z: $z = \frac{2{,}2 - 3{,}4}{0{,}5} = \frac{-1{,}2}{0{,}5} = -2{,}4$ = $z = -2{,}4$

Confronta con la regola pratica $|z| > 2$: $|-2{,}4| = 2{,}4 > 2$ = Insolito (insolitamente leggero)

Trova l'estremo inferiore dell'intervallo abituale: $x = 3{,}4 + (-2) \cdot 0{,}5 = 2{,}4$ = $2{,}4$ kg

Trova l'estremo superiore dell'intervallo abituale: $x = 3{,}4 + 2 \cdot 0{,}5 = 4{,}4$ = $4{,}4$ kg

Answer: $z = -2{,}4$, quindi $2{,}2$ kg è un peso insolitamente basso. I pesi abituali sono tra $2{,}4$ kg e $4{,}4$ kg.

Mistake: Sottrarre nell'ordine sbagliato: $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Why: Così il segno si inverte. Un valore sopra la media avrebbe un punteggio z negativo, che dice il contrario della verità.

Correct: Sempre valore meno media: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$. Per $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$: $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$, non $-1{,}33$.

Mistake: Dimenticare le parentesi: digitare $82 - 74 / 6$ sulla calcolatrice

Why: La calcolatrice divide prima e ottiene $82 - 12{,}33 = 69{,}67$, che non è affatto un punteggio z.

Correct: Prima sottrai, poi dividi: $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$.

Mistake: Confrontare direttamente punteggi grezzi di prove diverse

Why: 88 punti in una prova con $\mu = 80$, $\sigma = 8$ non sono automaticamente meglio di 82 punti in una prova con $\mu = 74$, $\sigma = 6$. Le prove hanno medie e dispersioni diverse.

Correct: Trasforma prima ogni valore in punteggio z, poi confronta: $1$ contro $1{,}33$, quindi l'82 è relativamente migliore.

Mistake: Pensare che un punteggio z negativo sia un cattivo risultato

Why: Il segno dice solo se il valore è sotto o sopra la media. Se questo sia un bene dipende dal contesto.

Correct: Per tempi di corsa o prezzi, più basso è meglio, quindi $z = -2$ può essere un risultato eccellente. Per i voti, più alto è meglio.

Sport: confrontare tempi di velocità

Gli allenatori confrontano gli atleti con i punteggi z. Nella corsa un tempo più basso è migliore, quindi un punteggio z negativo significa più veloce della media.

In una gara regionale dei 100 m i tempi hanno $\mu = 11{,}0$ s e $\sigma = 0{,}2$ s. Un tempo di $11{,}3$ s ha $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$: più lento della media.

Medicina: curve di crescita

I pediatri esprimono l'altezza o il peso di un bambino come punteggio z rispetto ai bambini della stessa età. I valori sotto $z = -2$ vengono controllati con più attenzione.

Un bambino con punteggio z di altezza $z = 0$ è esattamente nella media per la sua età, con $z = 1$ è una deviazione standard più alto della media.

Controllo qualità: scatole di cereali

Una fabbrica riempie scatole di cereali. Le scatole il cui peso ha $|z| > 2$ vengono tolte dalla linea e controllate.

La macchina riempitrice dà $\mu = 500$ g e $\sigma = 4$ g. Una scatola di $504$ g ha $z = 1$: del tutto normale.

Q: Un punteggio z può essere decimale o maggiore di 3?

A: Sì. La maggior parte dei punteggi z sono decimali, come $1{,}33$ o $-0{,}75$. Valori oltre $3$ o sotto $-3$ sono possibili, ma molto rari in una distribuzione normale.

Q: Servono dati normali per calcolare un punteggio z?

A: Puoi calcolare un punteggio z per qualsiasi insieme di dati con media e deviazione standard. Trasformarlo in una percentuale (come con la regola 68-95-99,7) funziona bene solo se i dati sono circa normali.

Q: Perché il punteggio z della media è sempre 0?

A: Perché $x - \mu = 0$ quando $x = \mu$, e $0$ diviso $\sigma$ fa $0$. La media dista zero deviazioni standard da se stessa.

Q: Qual è la differenza tra un punteggio z e un percentile?

A: Un punteggio z misura una distanza in deviazioni standard, un percentile dice quale percentuale di valori sta sotto. Sono collegati (con dati normali, $z = 1$ corrisponde circa all'84° percentile) e nelle prossime lezioni imparerai a passare dall'uno all'altro.