Un punteggio z può essere decimale o maggiore di 3?

Sì. La maggior parte dei punteggi z sono decimali, come $1{,}33$ o $-0{,}75$. Valori oltre $3$ o sotto $-3$ sono possibili, ma molto rari in una distribuzione normale.

Servono dati normali per calcolare un punteggio z?

Puoi calcolare un punteggio z per qualsiasi insieme di dati con media e deviazione standard. Trasformarlo in una percentuale (come con la regola 68-95-99,7) funziona bene solo se i dati sono circa normali.

Perché il punteggio z della media è sempre 0?

Perché $x - \mu = 0$ quando $x = \mu$, e $0$ diviso $\sigma$ fa $0$. La media dista zero deviazioni standard da se stessa.

Qual è la differenza tra un punteggio z e un percentile?

Un punteggio z misura una distanza in deviazioni standard, un percentile dice quale percentuale di valori sta sotto. Sono collegati (con dati normali, $z = 1$ corrisponde circa all'84° percentile) e nelle prossime lezioni imparerai a passare dall'uno all'altro.

Risorse per insegnanti

Punteggi z (standardizzazione)

Impara che cosa dice un punteggio z, come calcolarlo, come tornare al valore di partenza e come confrontare risultati di prove diverse.

Avanzato25 minLezione

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Definizione

Un punteggio z (detto anche punto z o valore standardizzato) indica di quante deviazioni standard un valore si trova sopra o sotto la media.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

$x$ è il valore che stai guardando
$\mu$ (mu) è la media della distribuzione
$\sigma$ (sigma) è la deviazione standard

Come si legge:

$z > 0$ : il valore è sopra la media
$z < 0$ : il valore è sotto la media
$z = 0$ : il valore è esattamente la media
$|z|$ dice quanto è lontano, misurato in deviazioni standard

Esempio: in una verifica di matematica con

\mu = 74

\sigma = 6

, un punteggio di

82

z = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33

. Il punteggio è

1{,}33

deviazioni standard sopra la media.

Tornare da z a x: ricava

x

dalla formula:

x = \mu + z\sigma

Poiché le unità si semplificano (punti diviso punti), un punteggio z non ha unità di misura. Proprio questo lo rende così utile: puoi confrontare un voto, un'altezza e un tempo di corsa sulla stessa scala. Un valore con

|z| > 2

si dice spesso insolito, perché si trova a più di 2 deviazioni standard dalla media.

Prova subito

Dei punteggi hanno media

\mu = 50

e deviazione standard

\sigma = 5

. Qual è il punteggio z di un risultato di

60

Esempi svolti

In una verifica di matematica i punteggi hanno media

\mu = 74

punti e deviazione standard

\sigma = 6

punti. Mia ha preso

82

. Qual è il suo punteggio z?

Scrivi la formula

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

→

x = 82

\mu = 74

\sigma = 6

Sottrai la media (distanza dalla media)

82 - 74 = 8

→ Mia è 8 punti sopra la media

Dividi per la deviazione standard

z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33

→

z \approx 1{,}33

Risposta: $z \approx 1{,}33$ : Mia è circa 1,33 deviazioni standard sopra la media della classe.

Errori comuni

Sottrarre nell'ordine sbagliato: $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Perché è sbagliato: Così il segno si inverte. Un valore sopra la media avrebbe un punteggio z negativo, che dice il contrario della verità.

Corretto: Sempre valore meno media: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Per $x = 82$ , $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ : $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ , non $-1{,}33$ .

Dimenticare le parentesi: digitare $82 - 74 / 6$ sulla calcolatrice

Perché è sbagliato: La calcolatrice divide prima e ottiene $82 - 12{,}33 = 69{,}67$ , che non è affatto un punteggio z.

Corretto: Prima sottrai, poi dividi: $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$ .

Confrontare direttamente punteggi grezzi di prove diverse

Perché è sbagliato: 88 punti in una prova con $\mu = 80$ , $\sigma = 8$ non sono automaticamente meglio di 82 punti in una prova con $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ . Le prove hanno medie e dispersioni diverse.

Corretto: Trasforma prima ogni valore in punteggio z, poi confronta: $1$ contro $1{,}33$ , quindi l'82 è relativamente migliore.

Pensare che un punteggio z negativo sia un cattivo risultato

Perché è sbagliato: Il segno dice solo se il valore è sotto o sopra la media. Se questo sia un bene dipende dal contesto.

Corretto: Per tempi di corsa o prezzi, più basso è meglio, quindi $z = -2$ può essere un risultato eccellente. Per i voti, più alto è meglio.

Visuale interattivo

Verifica di matematica: μ = 74 punti, σ = 6 punti. Trascina il punteggio e guarda z

μ = 74 punti, σ = 6 punti · Trascina una maniglia o scrivi x o z.

z = (x − μ)/σ = (82 − 74)/6 = 1,33

Chi è andato relativamente meglio?

Quale risultato è migliore rispetto al proprio gruppo? Toccalo.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Dei punteggi hanno media

\mu = 50

e deviazione standard

\sigma = 5

. Qual è il punteggio z di un risultato di

60

Perché è importante

Un numero da solo spesso dice poco. 82 punti sono un buon risultato? Dipende da come sono andati tutti gli altri. Il punteggio z risponde a questa domanda con un solo numero.

Scuola ed esami: confrontare risultati di classi, materie o anni diversi, anche se le prove avevano difficoltà diverse
Medicina: le curve di crescita dei bambini e la densità ossea si esprimono in punteggi z, un bambino con $z = -2{,}5$ per l'altezza viene visitato dal medico
Sport: confrontare atleti di specialità diverse, come un velocista e un saltatore in lungo
Controllo qualità: le fabbriche segnalano i prodotti le cui misure hanno $|z| > 2$ o $|z| > 3$
Economia e scienza: individuare valori insoliti (valori anomali) nei dati

Nelle prossime lezioni userai i punteggi z per trovare aree e probabilità sotto la curva normale: questo è quindi il passo chiave.

Applicazioni nel mondo reale

Sport: confrontare tempi di velocità

Gli allenatori confrontano gli atleti con i punteggi z. Nella corsa un tempo più basso è migliore, quindi un punteggio z negativo significa più veloce della media.

Esempio:

In una gara regionale dei 100 m i tempi hanno $\mu = 11{,}0$ s e $\sigma = 0{,}2$ s. Un tempo di $11{,}3$ s ha $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$ : più lento della media.

1Provaci tu stesso

Nella stessa gara ( $\mu = 11{,}0$ s, $\sigma = 0{,}2$ s) Sara corre in $10{,}6$ s.

Qual è il punteggio z di Sara?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\frac{10{,}6 - 11{,}0}{0{,}2}$ :

Medicina: curve di crescita

I pediatri esprimono l'altezza o il peso di un bambino come punteggio z rispetto ai bambini della stessa età. I valori sotto $z = -2$ vengono controllati con più attenzione.

Esempio:

Un bambino con punteggio z di altezza $z = 0$ è esattamente nella media per la sua età, con $z = 1$ è una deviazione standard più alto della media.

2Provaci tu stesso

Per i bambini di 8 anni l'altezza ha $\mu = 128$ cm e $\sigma = 5{,}5$ cm. Una pediatra controlla ogni bambino con $z < -2$ .

Sotto quale altezza (in cm) un bambino viene controllato?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $x = \mu + z\sigma$ con $z = -2$ :

Controllo qualità: scatole di cereali

Una fabbrica riempie scatole di cereali. Le scatole il cui peso ha $|z| > 2$ vengono tolte dalla linea e controllate.

Esempio:

La macchina riempitrice dà $\mu = 500$ g e $\sigma = 4$ g. Una scatola di $504$ g ha $z = 1$ : del tutto normale.

3Provaci tu stesso

Una scatola sulla linea pesa $489$ g ( $\mu = 500$ g, $\sigma = 4$ g).

Qual è il punteggio z di questa scatola?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\frac{489 - 500}{4}$ :

Punti chiave

1Un punteggio z indica di quante deviazioni standard un valore dista dalla media: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
2z positivo: sopra la media, z negativo: sotto la media, $z = 0$ : esattamente la media
3Per tornare da z a un valore, usa $x = \mu + z\sigma$
4Un punteggio z non ha unità di misura, quindi si possono confrontare valori di distribuzioni diverse: lo z più grande è relativamente più alto
5Un valore con $|z| > 2$ di solito si considera insolito, si trova a più di 2 deviazioni standard dalla media
6Prima sottrai sempre, poi dividi: $(x - \mu) / \sigma$

Domande frequenti

Sì. La maggior parte dei punteggi z sono decimali, come

1{,}33

-0{,}75

. Valori oltre

3

o sotto

-3

sono possibili, ma molto rari in una distribuzione normale.

Glossario

Punteggio z (punto z): Il numero di deviazioni standard di cui un valore si trova sopra (positivo) o sotto (negativo) la media
Media (μ): Il centro della distribuzione, il valore medio
Deviazione standard (σ): Una misura di quanto i valori sono dispersi intorno alla media
Standardizzare: Trasformare un valore $x$ nel suo punteggio z con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Valore insolito: Un valore a più di 2 deviazioni standard dalla media, cioè $|z| > 2$

Scheda formule

Punteggio z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Di quante deviazioni standard x dista dalla media

Valore da un punteggio z

x = \mu + z\sigma

Tornare da un punteggio z all'unità di misura originale

Valori insoliti

|z| > 2

A più di 2 deviazioni standard dalla media

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