Risolvere le proporzioni

Impara a trovare valori sconosciuti nelle proporzioni usando il prodotto in croce e altre strategie.

Intermedio25 minLezione
Scheda da stampare

Definizione

Una proporzione è un'equazione che afferma che due rapporti sono uguali.
ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
Quando un valore è sconosciuto, possiamo risolvere la proporzione per trovarlo.
Metodo del prodotto in croce: Se ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, allora a×d=b×ca \times d = b \times c
Questo funziona perché moltiplicare entrambi i membri per bdbd ci dà:
a×d=b×ca \times d = b \times c
Esempio: Per risolvere 34=x12\frac{3}{4} = \frac{x}{12}:
  • Prodotto in croce: 3×12=4×x3 \times 12 = 4 \times x
  • Semplificare: 36=4x36 = 4x
  • Dividere: x=9x = 9

Prova subito

Quale metodo si usa per risolvere le proporzioni moltiplicando in diagonale?

Esempi svolti

Trova xx: 58=x24\frac{5}{8} = \frac{x}{24}
1

Impostare il prodotto in croce

5×24=8×x5 \times 24 = 8 \times x → I prodotti in croce sono uguali
2

Moltiplicare i valori noti

120=8x120 = 8x
3

Dividere entrambi i membri per 8

1208=8x8\frac{120}{8} = \frac{8x}{8} → 15=x15 = x
4

Verificare sostituendo

58=1524=58\frac{5}{8} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} ✓ → Entrambi i rapporti valgono 58\frac{5}{8}

Errori comuni

Applicare male il prodotto in croce: 34=x12\frac{3}{4} = \frac{x}{12} diventa 3×4=x×123 \times 4 = x \times 12

Perché è sbagliato: Il prodotto in croce significa moltiplicazione diagonale: il numeratore di una frazione per il denominatore dell'altra.

Corretto: Corretto: 3×12=4×x3 \times 12 = 4 \times x, quindi 36=4x36 = 4x, dando x=9x = 9

Impostare la proporzione con unità non corrispondenti

Perché è sbagliato: Entrambi i rapporti devono confrontare le stesse grandezze nello stesso ordine (es. matite su costo, non costo su matite).

Corretto: Mantieni la coerenza: matitecosto=matitecosto\frac{\text{matite}}{\text{costo}} = \frac{\text{matite}}{\text{costo}} oppure costomatite=costomatite\frac{\text{costo}}{\text{matite}} = \frac{\text{costo}}{\text{matite}}

Dimenticare di verificare la risposta

Perché è sbagliato: Senza verifica, potresti non accorgerti di errori di calcolo.

Corretto: Sostituisci sempre la tua risposta nella proporzione originale e verifica che entrambi i rapporti siano uguali.

Visuale interattivo

Diagramma a nastro per rapporti

5:3
x
3
3
3
3
3
= 15
24 − x
3
3
3
= 9
24
= 8 parti (24)
x:5
24 − x:3
Se il totale è:
Rapporto:5:3
Forma frazionaria:5/8 e 3/8
x valore:15
24 − x valore:9

Regola le parti del rapporto con i pulsanti + e -.

Bilancia

8x=120
8x
120
Applica a entrambi i lati:

Soluzione: x = 15

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Quale metodo si usa per risolvere le proporzioni moltiplicando in diagonale?

Perché è importante

Risolvere le proporzioni è essenziale in molte situazioni della vita quotidiana:
  • Cucina: Se una ricetta per 4 persone richiede 200 g di farina, quanto ne serve per 10 persone?
  • Mappe e modelli: Una scala di 1 cm = 50 km permette di calcolare le distanze reali
  • Medicina: I medici calcolano i dosaggi dei farmaci in base al peso del paziente
  • Fotografia: Ridimensionare le immagini mantenendo le proporzioni
  • Edilizia: Scalare i progetti alle dimensioni reali dell'edificio
Le proporzioni ci aiutano ad aumentare o diminuire le quantità mantenendo costanti le relazioni!

Applicazioni nel mondo reale

Adattare le ricette

I cuochi usano le proporzioni per adattare le quantità degli ingredienti in base al numero di porzioni.

Esempio:

Una ricetta di biscotti produce 24 biscotti con 3 uova. Per 40 biscotti: 324=x40\frac{3}{24} = \frac{x}{40}, quindi x=5x = 5 uova.

1Provaci tu stesso

Una ricetta di pasta per 6 persone richiede 450 grammi di pasta. Stai cucinando per 10 persone.

Quanti grammi di pasta ti servono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Imposta la proporzione: 4506=x10\frac{450}{6} = \frac{x}{10}

Lettura delle mappe

I cartografi usano rapporti di scala per rappresentare le distanze reali sulle mappe.

Esempio:

Se la scala di una mappa è 1:100.000, allora 1 cm sulla mappa equivale a 1 km nella realtà. Una strada di 5,5 cm sulla mappa è in realtà lunga 5,5 km.

2Provaci tu stesso

Una mappa escursionistica ha una scala dove 3 cm rappresentano 2 km. Misuri un sentiero di 12 cm sulla mappa.

Qual è la lunghezza reale del sentiero?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Imposta: 32=12x\frac{3}{2} = \frac{12}{x}

Dosaggio dei farmaci

I farmacisti calcolano i dosaggi appropriati dei farmaci in base al peso del paziente usando le proporzioni.

Esempio:

Un farmaco è prescritto a 5 mg per kg di peso corporeo. Per un paziente di 60 kg: 51=x60\frac{5}{1} = \frac{x}{60}, quindi x=300x = 300 mg.

3Provaci tu stesso

Un farmaco per bambini è dosato a 10 mg per 5 kg di peso corporeo. Un bambino pesa 35 kg.

Quale dosaggio deve ricevere il bambino?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Imposta: 105=x35\frac{10}{5} = \frac{x}{35}

Punti chiave

  • 1Una proporzione è un'equazione che mostra due rapporti uguali: ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
  • 2Prodotto in croce: se ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, allora a×d=b×ca \times d = b \times c
  • 3Il metodo del fattore di scala moltiplica entrambe le parti di un rapporto per lo stesso numero
  • 4Imposta sempre le proporzioni con unità corrispondenti nelle stesse posizioni
  • 5Verifica la tua risposta sostituendola nella proporzione originale

Domande frequenti

Il prodotto in croce è una scorciatoia per moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per il prodotto dei denominatori (bdbd). Questo elimina le frazioni e ci dà ad=bcad = bc.
Il prodotto in croce è una scorciatoia per moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per il prodotto dei denominatori (bdbd). Questo elimina le frazioni e ci dà ad=bcad = bc.
Sì! Puoi usare il metodo del fattore di scala (trova il moltiplicatore che trasforma un rapporto nell'altro) o moltiplicare entrambi i membri per un denominatore alla volta.
Il prodotto in croce funziona comunque! Per 6x=35\frac{6}{x} = \frac{3}{5}, prodotto in croce: 6×5=x×36 \times 5 = x \times 3, quindi 30=3x30 = 3x, dando x=10x = 10.

Glossario

Proporzione
Un'equazione che afferma che due rapporti sono uguali, come ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
Prodotto in croce
Un metodo per risolvere le proporzioni moltiplicando in diagonale: se ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, allora ad=bcad = bc
Fattore di scala
Il numero per cui moltiplichi per trasformare un rapporto in un rapporto equivalente
Rapporti equivalenti
Rapporti che esprimono la stessa relazione, come 23\frac{2}{3} e 46\frac{4}{6}
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

Altro su questo argomento

Figure simili

Intermedio25 min

Disegni in scala

Intermedio25 min