Figure simili

Impara cosa rende le figure simili e come usare le proporzioni per trovare misure mancanti.

Intermedio25 minLezione
Scheda da stampare

Definizione

Due figure sono simili se hanno la stessa forma ma non necessariamente la stessa dimensione. Le figure simili hanno:
  1. 1.Angoli corrispondenti che sono uguali
  2. 2.Lati corrispondenti che sono proporzionali
Usiamo il simbolo ∼\sim per mostrare la similitudine. Se il triangolo ABC è simile al triangolo DEF, scriviamo:
△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF
Il fattore di scala è il rapporto tra i lati corrispondenti di figure simili.

Prova subito

Il triangolo ABC ha lati di 2, 3 e 4 cm. Il triangolo DEF ha lati di 4, 6 e 8 cm. Qual è il fattore di scala da ABC a DEF?

Esempi svolti

Il triangolo ABC ha lati di 3 cm, 4 cm e 5 cm. Il triangolo DEF ha lati di 6 cm, 8 cm e 10 cm. Questi triangoli sono simili?
1

Verifica se i rapporti dei lati sono uguali

63=2\frac{6}{3} = 2, 84=2\frac{8}{4} = 2, 105=2\frac{10}{5} = 2 → Tutti i rapporti sono uguali a 2
2

Conferma il fattore di scala

Ogni lato di DEF è esattamente 2 volte il lato corrispondente di ABC → Fattore di scala = 2
3

Concludi

Poiché tutti i lati corrispondenti hanno lo stesso rapporto, i triangoli sono simili → △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Errori comuni

Confondere simile con congruente

Perché è sbagliato: Le figure congruenti hanno esattamente la stessa dimensione E forma. Le figure simili hanno la stessa forma ma possono avere dimensioni diverse.

Corretto: Simile = stessa forma, dimensione diversa permessa. Congruente = stessa forma E stessa dimensione.

Non abbinare correttamente i lati corrispondenti

Perché è sbagliato: Quando confronti figure simili, devi abbinare i lati nell'ordine corretto in base alle loro posizioni.

Corretto: Abbina sempre il lato più corto al più corto, il più lungo al più lungo, oppure usa le posizioni degli angoli per identificare i lati corrispondenti.

Sommare invece di moltiplicare per il fattore di scala

Perché è sbagliato: Il fattore di scala è una relazione moltiplicativa, non additiva.

Corretto: Se il fattore di scala è 2, moltiplica la lunghezza originale per 2, non aggiungere 2.

Visuale interattivo

Triangoli simili

534ABC1068DEF△ABC ∼ △DEF

LLLLe tre coppie di lati sono in proporzione con lo stesso rapporto k.

  • DE : AB = 10 : 5 = 2
  • EF : BC = 6 : 3 = 2
  • FD : CA = 8 : 4 = 2

Sposta il cursore per cambiare il rapporto k. Gli angoli restano uguali, ogni lato viene moltiplicato per k.

Grafico della funzione

0510152025300510xyA12B8C12D8E18F12G18H12

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Due figure sono simili se hanno la stessa _____ ma non necessariamente la stessa _____.

Perché è importante

Le figure simili appaiono ovunque nel nostro mondo:
  • Mappe e planimetrie: Una mappa è simile al terreno reale che rappresenta
  • Fotografia: Ingrandire o ridurre le foto mantiene la similitudine
  • Architettura: I modellini di edifici sono simili alle strutture reali
  • Arte: Gli artisti usano la similitudine per creare prospettiva e profondità
  • Ingegneria: I prototipi in scala aiutano a testare i design prima della produzione finale
Capire la similitudine ci aiuta a lavorare con oggetti di diverse dimensioni mantenendo le stesse proporzioni.

Applicazioni nel mondo reale

Lettura delle mappe

Le mappe usano la similitudine per rappresentare grandi aree su piccoli fogli. La scala ti dice il rapporto tra la distanza sulla mappa e la distanza reale.

Esempio:

Se una mappa ha una scala di 1:50.000, allora 1 cm sulla mappa rappresenta 50.000 cm (o 500 m) nella realtà.

1Provaci tu stesso

Su una mappa con scala 1:25.000, due città sono distanti 8 cm.

Qual è la distanza reale tra le città in chilometri?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: 8×250008 \times 25000 cm, poi converti in km

Ingrandimento di foto

Quando ingrandisci o riduci una foto, crei una figura simile. Il rapporto d'aspetto rimane lo stesso.

Esempio:

Una foto di 4 per 6 pollici ingrandita di un fattore 2 diventa 8 per 12 pollici. Il rapporto 4:6 = 8:12 = 2:3.

2Provaci tu stesso

Una foto è larga 10 cm e alta 15 cm. Vuoi ingrandirla a 24 cm di larghezza.

Quanto sarà alta la foto ingrandita?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Imposta la proporzione: 1015=24x\frac{10}{15} = \frac{24}{x}

Punti chiave

  • 1Le figure simili hanno la stessa forma ma non necessariamente la stessa dimensione
  • 2Gli angoli corrispondenti nelle figure simili sono uguali
  • 3I lati corrispondenti nelle figure simili sono proporzionali
  • 4Il fattore di scala è il rapporto tra i lati corrispondenti
  • 5Usa le proporzioni per trovare le misure mancanti nelle figure simili

Domande frequenti

Sì! Tutti i quadrati hanno quattro angoli di 90 gradi e quattro lati uguali. Qualsiasi coppia di quadrati avrà angoli corrispondenti e lati proporzionali, rendendoli simili.
Sì! Tutti i quadrati hanno quattro angoli di 90 gradi e quattro lati uguali. Qualsiasi coppia di quadrati avrà angoli corrispondenti e lati proporzionali, rendendoli simili.
No. Anche se tutti i rettangoli hanno quattro angoli di 90 gradi, i loro rapporti tra i lati possono differire. Un rettangolo 2 per 4 non è simile a un rettangolo 2 per 6 perché i rapporti 2:4 e 2:6 non sono uguali.
Guarda la posizione dei lati rispetto agli angoli. Il lato più corto di una figura corrisponde al lato più corto dell'altra. Puoi anche usare nomi di angoli corrispondenti (es., il lato AB corrisponde al lato DE).

Glossario

Figure simili
Figure che hanno la stessa forma ma non necessariamente la stessa dimensione
Lati corrispondenti
Lati in figure simili che si trovano nella stessa posizione relativa
Angoli corrispondenti
Angoli in figure simili che si trovano nella stessa posizione relativa
Fattore di scala
Il rapporto dei lati corrispondenti tra due figure simili
Proporzione
Un'equazione che afferma che due rapporti sono uguali

Scheda formule

Fattore di scala

k=lato della figura piuˋ grandelato corrispondente della figura piuˋ piccolak = \frac{\text{lato della figura più grande}}{\text{lato corrispondente della figura più piccola}}

Il rapporto tra i lati corrispondenti di figure simili

Proporzione

ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Un'equazione che mostra che due rapporti sono uguali

Prodotto in croce

a×d=b×ca \times d = b \times c

Se due frazioni sono uguali, i loro prodotti in croce sono uguali

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

Altro su questo argomento

Risolvere le proporzioni

Intermedio25 min

Disegni in scala

Intermedio25 min